ช่วยทีครับ หาค่าอนุกรมอนันต์ของลำดับ aเอ็น=1/(3n-2)(3n+2) อะครับ

[esdgr]

หาอนุกรมอนันต์ โดยกำหนดลำดับ a_{n}=\frac{1}{(3n-2)(3n+2)}
แบบเพื่อนให้คิดแล้วคิดไม่ได้อะครับ เรียนผู้รู้ชี้แนะด้วยครับ


แง่มๆ ใช้ไม่เป็นอะครับ(แบบเพิ่งเป้นสมาชิก)
คือเอาตามนี้ละกันครับ
จงหาค่าอนุกรมอนันต์ของลำดับ aเอ็น=1/(3n-2)(3n+2)
คือ 3n-2 กับ3n+2 เป็นส่วนทั้งคู่คือตัวเศษมีแค่ 1 ตัวเดียวอ่าครับ

(เฉลยแล้วสอนพิมพ์ด้วยก็ดีนะฮะ อิๆ)

[gon]

ข้อความเดิมของคุณ esdgr:
หาอนุกรมอนันต์ โดยกำหนดลำดับ a_{n}=\frac{1}{(3n-2)(3n+2)}
[ 24 มิถุนายน 2005 20:41: ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ esdgr ]

มันง่ายมากเลยน้อง แค่เติมคำว่า หรือ ประกบเข้าไปเท่านั้นเอง (ตรงช่องว่างหลัง x ไม่ต้องมีนะ)

สำหรับข้อนี้หลักการ คือ S_{\infty} = \lim_{n \to \infty} S_n

ซึ่งเราจะพบว่า \frac{1}{(3n-2)(3n+2)} = \frac{1}{4}(\frac{1}{3n - 2} - \frac{1}{3n+2})

ดูนี่ประกอบเลยครับ. วิธีการผลต่าง (http://www.mathcenter.net/sermpra/sermpra18/sermpra18p01.shtml)

[esdgr]

ผมก็ทำแบบอนุกรม Telecopic นั่นแหละครับ แต่ว่ามันไม่ได้อะครับ คือมันไม่ตัดกันอะครับ คือตัดกันไม่ได้ รบกวนดูให้อีกทีนะครับ ขอบคุณมากครับ

[gon]

อ้อ. ลืมดูไปครับ นึกว่าเป็นโจทย์อย่างง่าย :D เดี๋ยวต้องใช้เคล็ดธานี รอสักแป๊บนะครับ อาจจะออก

เมื่อกี๊ลองโกงโดยใช้โปรแกรม Mathematica จัดการครับ. :p ได้คำตอบออกมาเป็น \frac{1}{72}(9+2\sqrt{3}\pi)
ดูท่าจะต้องใช้วิชาชั้นสูงอย่าง Abel's Limit Theorem แล้วกระมัง อืม . มันคงต้องคิดหนักตรงอินทิเกรต เดี๋ยวจะค่อย ๆ ลองทำดูเรื่อย ๆ ครับ. โจทย์นี้มาจากไหนครับ คงไม่ใช่โจทย์เด็ก ม.ปลายแล้วนะ :cool:

[warut]

ข้อนี้ไม่ใช่คำถามระดับมัธยมแน่นอน คุณ gon อาจจะย้ายไปไว้หมวดอื่นก็ได้นะครับ

ถ้าให้ Mathematica ทำ ผมเดาว่ามันคงทำโดยการแปลงให้อยู่ในรูปของค่าของ digamma function:\psi(x):=
\frac{\Gamma'(x)}{\Gamma(x)}โดยที่ \Gamma(x) คือ gamma function ซึ่งจะได้ว่า\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{(3n-2)(3n+2)}=
\frac{1}{12}\left(\psi(\frac{5}{3})-\psi(\frac{1}{3})\right)เสร็จแล้วมันก็แทนค่า special values ของ digamma function ที่มันท่องจำไว้ก็จะได้ผลออกมาอย่างที่คุณ gon บอกนั่นแหละครับ

แต่ถ้าเราจะทำแบบ manual ทำแบบต่อไปนี้น่าจะดีกว่าครับ จาก\sum_{n=1}^\infty\left(x^{3n-3}-x^{3n+1}\right)=
\frac{x^4-1}{x^3-1}\,,\quad|\,x|<1ดังนั้น\sum_{n=1}^\infty a_n=
\frac{1}{4}\sum_{n=1}^\infty\left(\frac{1}{3n-2}-\frac{1}{3n+2}\right)
=\frac{1}{4}\sum_{n=1}^\infty\left(\int_0^1x^{3n-3}-x^{3n+1}\,dx\right)
=\frac{1}{4}\int_0^1\sum_{n=1}^\infty\left(x^{3n-3}-x^{3n+1}\right)dx
=\frac{1}{4}\int_0^1\frac{x^4-1}{x^3-1}\,dxเมื่อหาค่าของ integral ออกมาแล้วก็จะได้ผลลัพธ์ตามต้องการครับ

[M@gpie]

มิน่าล่ะครับ ผมถึงได้ตัดกันไม่หมดซักที 55
มีวิธี mamual แบบนี้ด้วย เยี่ยมจริงๆครับ
ขออนุญาตทำการอินทิเกรตล่ะครับ พิจารณา
\begin{array} \int \frac{x^4 -1 }{x^3 -1 } dx & = & \int \frac{x^3+x^2+x+1}{x^2+x+1} dx \\ & = & \int \left( x + \frac{1}{x^2+x+1} \right) dx
\\ & = & \left( \frac{x^2}{2} + \frac{2}{\sqrt{3}} \arctan ( \frac{2x + 1}{\sqrt{3}} ) \right) dx \end{array}
แทนค่าลิมิตตั้งแต่ x=0 ถึง x=1 จะได้ค่าอินทิกรัล \int _{0} ^1 \frac{x^4 -1 }{x^3 -1 } dx = \frac{1}{2} + \frac{\pi}{3 \sqrt{3}}
จากผลของคุณ warut จะได้ว่า
\sum _{n=1} ^{\infty} a_n = \frac{1}{8} + \frac{\pi}{12\sqrt{3}}
ซึ่งก็เท่าที่ mathematica คิดไว้ให้จากพี่ gon

[gon]

ขอบคุณ คุณ warut และ น้อง M@gpie ที่ช่วยสานต่อจนจบนะครับ. :D
ผมลองไปเล่นต่อกรณีอย่างง่ายนิดหน่อย ได้ผลลัพธ์สวยดี เอามาเขียนให้ดูกัน เดี๋ยวจะลองต่ออีกสักหน่อยครับ ท่าทางสนุกดี :cool:

สำหรับทุกจำนวนคี่บวก c ใด ๆ
\Sigma_{n=1}^{ \infty}\frac{1}{(2n-1)(2n+c)} = \frac{1}{c+1}[\frac{1}{2}\Sigma_{m=1}^{\frac{c+1}{2}}\frac{1}{2m-1}]


สำหรับทุกจำนวนคู่บวก c ใด ๆ
\Sigma_{n=1}^{ \infty}\frac{1}{(2n-1)(2n+c)} = \frac{1}{c+1}[\frac{1}{2}\Sigma_{m=1}^{\frac{c}{2}}\frac{1}{m} + \ln 2]

[esdgr]

ถ้าเกิดว่ามันคิดยากอย่างงี้ผมว่าคงไม่ใช่ของมอปลายแล้วแหละครับ
จิงๆโจทย์ข้อนี้คืออาจานให้ทำในห้องครับ คือเป็นโจทย์ตัวอย่างอะครับ
เพราะฉะนั้นถ้าคิดยากขนาดนี้สรุปได้อย่างเดียวว่าอาจานแต่งโจทย์ผิดครับ
เพราะว่าผมลองคิดมันยังไงก็ไม่ตัดกันสักที
ขอบคุณมากๆนะครับที่ช่วยตอบปัญหาให้ผมคับ

[kongp]

ยันว่าใช้ความรู้ม.ปลาย แต่อาจสลับซับซ้อน คนเค้าถึงแนะให้อ่าน Algebra ของ Hall กัน ต้องใช้ช่วงเวลาหนึ่งในวัยเยาว์ศึกษา ความรู้มีเยอะ เราไม่ได้ใช้ทั้งหมดก็ไม่เป็นไรมั้ง