ข้อสอบ สพฐ 2555 (รอบแรก) เป็นไงกันมั่งครับ

[polsk133]

ข้อสอบฉบับจริงอยู่ #91 (หน้า7) และ#131หน้า9



ปีนี้ไม่ให้ข้อสอบกลับมา :sweat:

ผมทำข้อ6คะแนน ได้ข้อเดียวเอง ข้อแรก มองไม่ออกง่ายแท้ๆ:sweat:

ปีนี้มี ง่าย 10 ข้อข้อละ 2 คะแนน
กลาง 10 ข้อข้อละ 4 คะแนน
ยาก 5 ข้อข้อละ 6คะแนน
อังกฤษ 5 ข้อข้อละ 2 คะแนน

ข้อ 6 คะแนนข้อแรก

จงหาค่าของ $\sum_{n = 1}^{99} \frac{n^2}{n^2-100n+5000}$

ข้อ 6 คะแนน ข้อ2

$ABC$ เป็นสามเหลี่ยมมีด้าน $AB$ ยาว $2011$ หน่วย $BC$ ยาว $2012$ หน่วย $CA$ ยาว $2013$ หน่วย วงกลม $O$ สัมผัสกับวงกลมล้อมรอบสามเหลี่ยม $ABC$ ที่จุด $A$ และสัมผัสกับด้าน BC ที่จุด Dและตัดกับด้าน $AB$ และ $CA$ ที่ $E$ และ $F$ ตามลำดับ จงหา $EF$

ข้อ 6 คะแนน ข้อ 3

สามเหลี่ยม $ABC$ มีมุมฉากที่ $B$ มี $AB$ ยาว $40$ หน่วย $BC$ ยาว $30$ หน่วย จุด $M$ เป็นจุดแบ่งครึ่ง $AC$ และจุด $N$ เป็นจุดใดๆที่ทำให้ $AN=CN=65$ หน่วย จงหาพื้นที่ของสามเหลี่ยม $BMN$

ข้อ 6 คะแนนข้อ 4

a,b,c,d,e,f เป็นเลขโดด

m แทนจำนวนเต็มบวก $abcabc$
n แทนจำนวนเต็มบวก $dffd$

ถ้า f=0 แล้ว มีคู่อันดับ (m,n) กี่คู่อันดับที่ทำให้ $\sqrt{m+n}$ เป็นจำนวนเต็ม ข้อนี้คิดได้ 8

ข้อ 6 คะแนนข้อ 5

x,y,z เป็นจำนวนจริงบวกที่มากกว่า 3 ที่ทำให้

$$\frac{(x+2)^2}{y+z-2} + \frac{(y+4)^2}{x+z-4} + \frac{(z+6)^2}{x+y-6} =36$$

จงหาค่ามากสุดของ $x^2+y^2+z^2$

[Look Like Love]

ผม ม.2 ทำได้ยี่สิบกว่าข้อครับ เเต่ปผิดบานเเน่ นอน เริ่มโจทย์เเรกที่ทำเเล้วเเต่ไม่มั่นใจครับ
1.ในการทำหนังสือใช้เลขโดดทั้งหมด 444 ตัว อยากทราบว่าหนังสือมีทั้งหมดกี่หน้า
ผมตอบ 178 หน้า มั้งครับ (มั่ว :confused:
2.ที่ให้หาจำนวนที่มากที่สุดหารลงตัว ขอนี้มั่วเเลกครับ
เด๊วมาถามใหม่นะครับบบ :please:

[gon]

ปีนี้ไม่ให้ข้อสอบกลับมา :sweat:

กลายเป็นความลับสวรรค์ไปแล้วหรือครับนี่ อีกราย :laugh:

ผม ม.2 ทำได้ยี่สิบกว่าข้อครับ เเต่ปผิดบานเเน่ นอน เริ่มโจทย์เเรกที่ทำเเล้วเเต่ไม่มั่นใจครับ
1.ในการทำหนังสือใช้เลขโดดทั้งหมด 444 ตัว อยากทราบว่าหนังสือมีทั้งหมดกี่หน้า
ผมตอบ 178 หน้า มั้งครับ มั่ว :confused:

ถ้าโจทย์ตามนี้ ก็จะได้ 184 หน้าครับ. :cool:

[polsk133]

1.พิจารณา
1-9 ใช้ 9 ตัว
10-99 ใช้ 2x90=180ตัว
รวมเป็น 189 ตัว แสดงว่ายังขาดอีก 444-189=255
พิจารณาหน้าที่ 100-999 ใช้หน้าละ 3 ตัว เห็นได้ชัดว่า ต้องอยู่ในช่วงนี้
ดังนั้นต้องนับโดยเริ่มที่ 100 ไปอีก 255/3=85 ตัว ได้ 184 ครับ

[Look Like Love]

อ่าใช้ๆๆผมจำคำตอบไม่ได้เเต่เเนวคิดเดียวกันไม่รุ้บวกเลขถูกป่าว^_^เหร๊ญญเอาคะเเนนเท่าไหร่ครับ สงสัยจะชวดปีนี้

[HL~arc-en-ciel]

ข้อ6คะแนนข้อแรก ผมเคยทำได้ แต่พอไป... คิดไม่ออกซะงั้น

[วะฮ่ะฮ่า03]

คุณ polsk133 ทำข้อ 6 คะแนนได้ข้อไหนหรอครับ

[gon]

จงหาค่าของ $\sum_{n = 1}^{99} \frac{n^2}{n^2-100n+5000}$

$$\sum_{n = 1}^{99}(1+100\cdot\frac{n-50}{(n-50)^2+50^2}) = 99 + 0 = 99$$

[วะฮ่ะฮ่า03]

ข้อ6 คะแนน
สามเหลี่ยม ABC มีมุมBเป็นมุมฉาก AB=40 BC=30 จุดMเป็นจุดแบ่งครึ่งด้าน AC และมีจุด N ซึ่งอยู่บนระนาบเดียวกีนที่ทำให้ AM=BM=65 แล้วสามเหลี่ยม BMN มีพื้นที่=?

[polsk133]

คุณ polsk133 ทำข้อ 6 คะแนนได้ข้อไหนหรอครับ

ข้อ 4 ครับ:cry::cry::cry::nooo:

[~ToucHUp~]

ทำข้อ 6 คะแนนไม่ได้ซักข้อ แต่ข้ออื่นได้หมดครับ:D
แต่จะคิดเลขผิดหรือเปล่านี่ก็อีกเรื่อง:wacko:

ปล.ตอนเหลือครึ่งชั่วโมงสุดท้าย ตรวจคำตอบแล้วผิดไปตั้ง 5 ข้อ แต่โชคดีที่แก้ทัน:sweat:

[วะฮ่ะฮ่า03]

ข้อ6คะแนนข้อ 5 ใครทำได้บ้างครับ ตอบอะะไรช่วยบอกหน่อย:)

[polsk133]

ข้อ6คะแนนข้อ 5 ใครทำได้บ้างครับ ตอบอะะไรช่วยบอกหน่อย:)

คุณวะฮ่ะฮ่า03 เก็บข้อ 6 คะแนน 4 ข้อเลยรึเปล่าครับ :laugh:

[วะฮ่ะฮ่า03]

โอ้ๆ ไม่ไหวครับ ได้ข้อเดียว เอง TT

ข้อภาษาอังกฤษ ทำกันได้มั้ยครับ

[~ToucHUp~]

$$\sum_{n = 1}^{99}(1+100\cdot\frac{n-50}{(n-50)^2+50^2}) = 99 + 0 = 99$$

มายังไงอ่ะครับ

[polsk133]

$$\sum_{n = 1}^{99}(1+100\cdot\frac{n-50}{(n-50)^2+50^2}) = 99 + 0 = 99$$

:died::great::great:

ตอนสอบมองไม่ออกว่า 1-49 มันจะติดลบ แล้ว 51-99 มันจะมาทดแทน:cry::cry:

มายังไงอ่ะครับ

1-49 พจน์หลังจะมีปัญหาแต่พอบวกกับที่แทนด้วย 51-99 มันจะตัดกันเหลือ 0 พอดีครับ

ส่วน 50 พจน์หลังก็ได้ 0 ครับ:happy: หรือพูดง่ายๆก็คือ จับคู่ 1กับ99 2กับ98 ... แต่ละคู่จะรวมกันได้ 2

[~ToucHUp~]

:died::great::great:

ตอนสอบมองไม่ออกว่า 1-49 มันจะติดลบ แล้ว 51-99 มันจะมาทดแทน:cry::cry:



1-49 พจน์หลังจะมีปัญหาแต่พอบวกกับที่แทนด้วย 51-99 มันจะตัดกันเหลือ 0 พอดีครับ

ส่วน 50 พจน์หลังก็ได้ 0 ครับ:happy:

ขอบคุณมากครับ:great:

อยากได้วิธีทำข้อ 6 คะแนนอ่ะครับ คิดไม่ออกเลย

[วะฮ่ะฮ่า03]

ข้อแรก ตอน6คะแนนนะครับ ผมคคิดเป็น พจน์แรก+พจน์ที่99 =2
พจน์2+พจน์98=2
...มี49พจน์ กับ เศษคือพจน์ที่50=1
ก็จึงได้ 99 ครับ

[polsk133]

ข้อ 6 คะแนนข้อ 4

a,b,c,d,e,f เป็นเลขโดด

m แทนจำนวนเต็มบวก $abcabc$
n แทนจำนวนเต็มบวก $dffd$

ถ้า f=0 แล้ว มีคู่อันดับ (m,n) กี่คู่อันดับที่ทำให้ $\sqrt{m+n}$ เป็นจำนวนเต็ม ข้อนี้คิดได้ 8



$\overline{abcabc} \ + \ \overline{d00d} \ = 100100a+10010b + 1001c + 1001 d= 1001(100a+10b+c+d)$

จาก $1001=7\times11\times13$ ดังนั้น $100a+10b+c+d = 7\times11\times13\times k^2$

แต่ $a,b,c,d$ เป็นเลขโดด ดังนั้น $100a + 10b + c + d =1001$

แต่ $a,b$ ต้องมีค่าเท่ากับ $9$ ดังนั้น $c+d =11$ แยกคู่อันดับ c,d ได้ $8$ คู่ครับ

[ณัฐธัญ(ไอซ์)]

ข้ออังกฤษตอบอะไรบ้างครับ

[polsk133]

ข้ออังกฤษตอบอะไรบ้างครับ

ข้อแรกแปลไม่ออกมั่วไปว่า 5000:blood:
ข้อสอง d
ข้อ 5 ได้ 60

ข้ออังกฤษคงเป็นข้อแถมของคนที่แปลได้ครับ:kaka: (ส่วนผมอ่อนอังกฤษ:tired:แต่ก็พอแปลได้ยกเว้นข้อ1):dry:

[~ToucHUp~]

#19 ผมคิดเหมือนคุณจนถึงบรรทัดที่ 3 แล้วผมก็บวกเลขผิด แล้วก็ลืมไปว่า c+d มันมากกว่า 9 ได้:cry:
การได้เหรียญนี่เขาคิดเป็นอันดับหรือเป็นคะแนนเหรอครับ ผมหายไปแล้ว 30 คะแนนอะ:sweat:

ข้ออังกฤษข้อแรกตอบ 5000 ถูกแล้วครับ
ข้อสองแปลไม่ออกแต่เห็นศัพท์ที่คล้ายๆกับ equal เลยตอบว่า d ไป.....
ข้อที่เป็นมุมรู้สึกว่าจะตอบ 80 degree นะครับ ข้ออื่นจำไม่ได้

[วะฮ่ะฮ่า03]

ข้อแรกได้ 48x200=9600 แต่โจทย์ถามคนเดียว จึงหาร2ได้ 4800ครับ
ข้อสองตอบ d
ข้อสาม จำไม่ได้ครับ
ข้อสี่ ได้80องศา
ข้อห้า ได้60 ครับ

[polsk133]

อันดับครับ แต่ไม่แน่ใจ รู้สึกจะแยกมา 30 เปอเซ็นจากทั้งหมดจะได้ เหรียญ แล้วแบ่งต่อ 1:2:3 เป็น ทอง เงิน ทองแดง
(ไม่แน่ใจนะครับ)

คนอื่นคิดว่าไงมั่งครับ ผมว่าข้อสอบปีนี้ง่ายกว่าปีที่แล้ว


ปล.คงต้องให้คุณ gon ตั้งกระทู้สอนอีก แล้วไปแจมของประถม:haha::haha:

[~ToucHUp~]

ข้อแรกได้ 48x200=9600 แต่โจทย์ถามคนเดียว จึงหาร2ได้ 4800ครับ
ข้อสองตอบ d
ข้อสาม จำไม่ได้ครับ
ข้อสี่ ได้80องศา
ข้อห้า ได้60 ครับ

ลืมไปเลยว่าคนที่ได้รับเงินไม่ต้องให้เงิน:blood:หายไปอีกข้อเลยครับ:cry:
แปลออกซะเปล่า...

[วะฮ่ะฮ่า03]

ลืมไปเลยว่าคนที่ได้รับเงินไม่ต้องให้เงิน:blood:หายไปอีกข้อเลยครับ:cry:
แปลออกซะเปล่า...

อันนี้มีเขียนบอกอยู่ข้างล่างในวงเล็บครับ:)

[~ToucHUp~]

อันนี้มีเขียนบอกอยู่ข้างล่างในวงเล็บครับ:)
อ่าครับ ผมผิดเอง:cry::cry::cry:

[วะฮ่ะฮ่า03]

อันดับครับ แต่ไม่แน่ใจ รู้สึกจะแยกมา 30 เปอเซ็นจากทั้งหมดจะได้ เหรียญ แล้วแบ่งต่อ 1:2:3 เป็น ทอง เงิน ทองแดง
(ไม่แน่ใจนะครับ)

คนอื่นคิดว่าไงมั่งครับ ผมว่าข้อสอบปีนี้ง่ายกว่าปีที่แล้ว


ปล.คงต้องให้คุณ gon ตั้งกระทู้สอนอีก แล้วไปแจมของประถม:haha::haha:

ข้อสอบปีที่แล้ว ผมจำอะไรไม่ได้เลยครับ :(

[polsk133]

แปลไม่ออกพูดไม่ออกบอกไม่ถูก:haha::haha::blood::blood::blood:

[arcobalena]

สามเหลี่ยมABC มีABยาว2011 BCยาว2012 ACยาว2013 วงกลมO สัมผัสวงกลมที่ล้อมสามเหลี่ยมABCที่A และสัมผัสBCที่จุดD ตัดAB AC ที่ E และ F ตามลำดับให้หา EF

[polsk133]

ข้อสอบปีที่แล้ว ผมจำอะไรไม่ได้เลยครับ :(

http://www.mathcenter.net/forum/showthread.php?t=12912

รื้อฟื้นให้ครับ:haha::sung:

[วะฮ่ะฮ่า03]

ข้อ6คะแนน ทำให้คะแนนผมหล่นไปเยอะเลยครับTT

http://www.mathcenter.net/forum/showthread.php?t=12912

รื้อฟื้นให้ครับ:haha::sung:

ขอบคุณมากครับ:) ข้อสอบปีนี้ข้อ 2-4คะแนน ดูจะง่ายกว่าปีที่แล้วครับ

[AnDroMeDa]

ปีนี้ไม่ให้ข้อสอบกลับมา :sweat:

ผมทำข้อ6คะแนน ได้ข้อเดียวเอง ข้อแรก มองไม่ออกง่ายแท้ๆ:sweat:

ปีนี้มี ง่าย 10 ข้อข้อละ 2 คะแนน
กลาง 10 ข้อข้อละ 4 คะแนน
ยาก 5 ข้อข้อละ 6คะแนน
อังกฤษ 5 ข้อข้อละ 2 คะแนน

ข้อ 6 คะแนนข้อ 5

x,y,z เป็นจำนวนจริงบวกที่มากกว่า 3 ที่ทำให้

$$\frac{(x+2)^2}{y+z-2} + \frac{(y+4)^2}{x+z-4} + \frac{(z+6)^2}{x+y-6} =36$$

จงหาค่ามากสุดของ $x^2+y^2+z^2$

โดยอสมการโคชี Engel Form ได้ว่า$$36=\frac{(x+2)^2}{y+z-2} + \frac{(y+4)^2}{x+z-4} + \frac{(z+6)^2}{x+y-6}\geqslant \frac{(x+y+z+12)^2}{2(x+y+z)-12} \Leftrightarrow (x+y+z-24)^2\leqslant 0 \Rightarrow x+y+z=24 เท่านั้น $$
แทนในสมการเริ่มต้นได้ว่า
$$\frac{(x+2)^2}{22-x} + \frac{(y+4)^2}{20-y} + \frac{(z+6)^2}{18-z} =36,let x+2=a,y+4=b,z+6=c \Rightarrow \frac{a^2}{24-a} + \frac{b^2}{24-b} + \frac{c^2}{24-c} =36$$
แต่จาก $\frac{a^2}{24-a} \geqslant 3a-24 \Leftrightarrow (a-12)^2\geqslant 0$ ได้ว่า
$$36=\frac{a^2}{24-a} + \frac{b^2}{24-b} + \frac{c^2}{24-c} \geqslant (3a-24)+(3b-24)+(3c-24)=3(a+b+c)-72=3(36)-72=36$$
ทำให้$a=b=c=12\Rightarrow x=10,y=8,z=6\Rightarrow x^2+y^2+z^2=200$

[วะฮ่ะฮ่า03]

โดยอสมการโคชี Engel Form ได้ว่า$$36=\frac{(x+2)^2}{y+z-2} + \frac{(y+4)^2}{x+z-4} + \frac{(z+6)^2}{x+y-6}\geqslant \frac{x+y+z+12}{2(x+y+z)-12} \Leftrightarrow (x+y+z-24)^2\leqslant 0 \Rightarrow x+y+z=24 เท่านั้น $$
แทนในสมการเริ่มต้นได้ว่า
$$\frac{(x+2)^2}{22-x} + \frac{(y+4)^2}{20-y} + \frac{(z+6)^2}{18-z} =36,let x+2=a,y+4=b,z+6=c \Rightarrow \frac{a^2}{24-a} + \frac{b^2}{24-b} + \frac{c^2}{24-c} =36$$
แต่จาก $\frac{a^2}{24-a} \geqslant 3a-24 \Leftrightarrow (a-12)^2\geqslant 0$ ได้ว่า
$$36=\frac{a^2}{24-a} + \frac{b^2}{24-b} + \frac{c^2}{24-c} \geqslant (3a-24)+(3b-24)+(3c-24)=3(a+b+c)-72=3(36)-72=36$$
ทำให้$a=b=c=12\Rightarrow x=10,y=8,z=6\Rightarrow x^2+y^2+z^2=200$

0_0 ลำบาก..

[polsk133]

Engle From ใช่ Modified ไหมครับ ทำไมได้ $x+y+z+12$ ไม่ใช่ $(x+y+z+12)^2$

แต่ วิธีทำโหดมากครับ :please::please::please::great::great:

[jengpdslovemath]

เพิ่งอยู่ม.1 สะเพร่าไปหลายข้ออยู่ฮะ ข้อ 6 คะแนนทำไม่ค่อยได้เลย T_T

[AnDroMeDa]

Engle From ใช่ Modified ไหมครับ ทำไมได้ $x+y+z+12$ ไม่ใช่ $(x+y+z+12)^2$

แต่ วิธีทำโหดมากครับ :please::please::please::great::great:

ใช่ครับ
ปล.ผมพิมพ์ผิดแก้ละครับ

[Look Like Love]

ข้อ $(x+z)(x+y+z)=?$
$(y+z)(x+y+z)=?$
$ (x+y)(x+y+z)=?$
เเล้ว$2y+z-x=?$ ตอบ 9 ปะครับ y=3 z=4 x=1 บอกผมด้วยยยคนที่ไปสอบบ

[{([?])}]

6 คะแนนข้อ 3 ผมตอบ 210 อะ

ส่วน #38 จำได้ว่่าตอบ 18 นะครับ

[~ToucHUp~]

#38 ผมก็ได้ 18 ครับ:)

[ณัฐธัญ(ไอซ์)]

ประกาศผลวันไหนครับ

[jengpdslovemath]

ข้อ $(x+z)(x+y+z)=?$
$(y+z)(x+y+z)=?$
$ (x+y)(x+y+z)=?$
เเล้ว$2y+z-x=?$ ตอบ 9 ปะครับ y=3 z=4 x=1 บอกผมด้วยยยคนที่ไปสอบบ
ตอบ 18 ไม่ใช่เหรอฮะ
x=2 y=6 z=8

[polsk133]

มายืนยันอีกเสียงว่า 18 ครับ :) ประกาศผลวันที่ 6 ครับ ไม่ก็ 16 ถ้าผมฟังไม่ผิดน่าจะ 6/2 นี้แหละครับ :D

[ณัฐธัญ(ไอซ์)]

ข้อที่ตอบ 18 กันผมแก้ผิดครับ TT ได้ 30 กว่าเลยครับ

[[T]ime[Z]ero]

#38 เราได้ 9 อ่ะ :confused:

[วะฮ่ะฮ่า03]

ข้อ $(x+z)(x+y+z)=?$
$(y+z)(x+y+z)=?$
$ (x+y)(x+y+z)=?$
เเล้ว$2y+z-x=?$ ตอบ 9 ปะครับ y=3 z=4 x=1 บอกผมด้วยยยคนที่ไปสอบบ

จำได้ว่าข้อนี้ x+y+z=16 แล้วก็แก้สมการ 3 สมการเอา

[Mol3ilE]

เซ็งอังกฤษข้อแรกมากครับ อ่านอังกฤษไม่ออก -*-

[Cachy-Schwarz]

อ่านอังกฤษไม่ออกหรืออ่านออกเเต่แปลไม่ได้ครับ - -'

[วะฮ่ะฮ่า03]

เซ็งอังกฤษข้อแรกมากครับ อ่านอังกฤษไม่ออก -*-

ก็ง่ายๆเองนิครับ อัง = อ-ะ-ง กฤษ=กริด (ล้อเล่นครับ :))

[jengpdslovemath]

ที่อื่นไม่แจกข้อสอบกลับมากันหรือฮะ

[{([?])}]

ใช่ครับ ถ้ามีก็จัดไปเลยครับ :')

[กระบี่บูรพา]

ปีนี้ผมพยายามจะเอาข้อสอบกลับ เขายังไม่ให้ รอ 2-3 วันครับ อาจจะได้

[Mol3ilE]

ประกาศวันไหนอ่ะครับ

[artty60]

ข้อ 6 คะแนน ข้อ2

ABC เป็นสามเหลี่ยมมีด้าน AB ยาว 2011 หน่วย BC ยาว 2012 หน่วย CA ยาว 2013 หน่วย วงกลม O สัมผัสกับวงกลมล้อมรอบสามเหลี่ยม ABC ที่จุด A และสัมผัสกับด้าน BC ที่จุด Dและตัดกับด้าน AB และ CA ที่ E และ F ตามลำดับ จงหา EF

วาดรูป แล้วคำนวณจะได้

$EF=\frac{\sqrt3}{2}AD$

ใช้ Pytagoras และ Heron's

[[T]ime[Z]ero]

ที่เราไปสอบเขาให้เอาข้อสอบกลับมาอ่ะ

[วะฮ่ะฮ่า03]

ช่วย scan ลงได้มั้ยครับ ลืมข้อสอบหมดละ

[artty60]

ข้อ3.
พ.ท. $\bigtriangleup BMN=210$

ใช้ Pytagoras และ พ.ท.สามเหลี่ยม

แต่ไม่รู้คิดเลขผิดรึเปล่า

[BLACK-Dragon]

โดยอสมการโคชี Engel Form ได้ว่า$$36=\frac{(x+2)^2}{y+z-2} + \frac{(y+4)^2}{x+z-4} + \frac{(z+6)^2}{x+y-6}\geqslant \frac{(x+y+z+12)^2}{2(x+y+z)-12} \Leftrightarrow (x+y+z-24)^2\leqslant 0 \Rightarrow x+y+z=24 เท่านั้น $$
แทนในสมการเริ่มต้นได้ว่า
$$\frac{(x+2)^2}{22-x} + \frac{(y+4)^2}{20-y} + \frac{(z+6)^2}{18-z} =36,let x+2=a,y+4=b,z+6=c \Rightarrow \frac{a^2}{24-a} + \frac{b^2}{24-b} + \frac{c^2}{24-c} =36$$
แต่จาก $\frac{a^2}{24-a} \geqslant 3a-24 \Leftrightarrow (a-12)^2\geqslant 0$ ได้ว่า
$$36=\frac{a^2}{24-a} + \frac{b^2}{24-b} + \frac{c^2}{24-c} \geqslant (3a-24)+(3b-24)+(3c-24)=3(a+b+c)-72=3(36)-72=36$$
ทำให้$a=b=c=12\Rightarrow x=10,y=8,z=6\Rightarrow x^2+y^2+z^2=200$

วิธีเดียวกันเลยครับ :)

ปล. อยากรู้เฉลยวิธีข้อนี้แบบ ม.ต้นจริงครับว่าเขาจะทำอย่างไร

6 คะแนนข้อแรก

$\dfrac{49^2}{(49-50)^2+50^2}+\dfrac{51^2}{(51-50)^2+50^2}=2$

[mini-j]

ข้อ 6 คะแนนข้อแรก ถ้าลองเขียนแบบนั้นแล้ว
ให้เอาตัวเเรกจับบวกกับตัวสุดท้าย
เพราะส่วนมันเท่ากันอะ
คืดใครก็ได้พิมที มันไม่ยากมาก แต่เราก็ผิดเหมือนกัน

[BLACK-Dragon]

ข้อ3.
พ.ท. $\bigtriangleup BMN=210$

ใช้ Pytagoras ล้วนๆ

แต่ไม่รู้คิดเลขผิดรึเปล่า

เอ้ย (อย่าว่าผมลาวเลยนะครับ :haha:) คำว่า "อยู่บนระนาบเดียวกัน" แปลว่าอะไรหรอครับ :confused:

[mini-j]

เอ้ย (อย่าว่าผมลาวเลยนะครับ :haha:) คำว่า "อยู่บนระนาบเดียวกัน" แปลว่าอะไรหรอครับ :confused:

นั่น!พอกันเลย อ่านซำประมาณสิบรอบ ยังงง เห้อ

[[T]ime[Z]ero]

เอ้ย (อย่าว่าผมลาวเลยนะครับ :haha:) คำว่า "อยู่บนระนาบเดียวกัน" แปลว่าอะไรหรอครับ :confused:

ใช่ ผมไม่เข้าใจโจทยว่า N อยู่ตรงไหน อยู่ระนาบเดียวกะอะไรอะ:blood:

[Ulqiorra Sillfer]

ผมว่าบาง ครั้งรูปมันกำกวมก็น่าจะวาดรูปมาให้เลยซะก็ดี = =

[mini-j]

แต่คนตอบ 210 เยอะนะ แต่ก็ยังงงว่ารูปมันเป็นไง

[artty60]

เอ้ย (อย่าว่าผมลาวเลยนะครับ :haha:) คำว่า "อยู่บนระนาบเดียวกัน" แปลว่าอะไรหรอครับ :confused:

คงแบบ 2 มิติธรรมดา

ข้อ4. ตอบ 8

แต่คนตอบ 210 เยอะนะ แต่ก็ยังงงว่ารูปมันเป็นไง

วาดรูปแล้วจะได้สามเหลี่ยมANCเป็นสามเหลี่ยมหน้าจั่วคร่อมสามเหลี่ยมABC

ให้ACเป็นฐาน

หาส่วนสูงของสามเหลี่ยมANCได้

ต่อไปหาส่วนสูงสามเหลี่ยมมุมฉากเพื่อนำไปหาส่วนสูงของสามเหลี่ยมBMNโดยมีMNเป็นฐานครับ

[mini-j]

ข้อ 4ได้ 8 เหมือนกัน
ข้อ 2011 2012 2013 ตอบไรกัน ใครคิดได้บ้าง

[วะฮ่ะฮ่า03]

ข้อ 6 คะแนนข้อแรก ถ้าลองเขียนแบบนั้นแล้ว
ให้เอาตัวเเรกจับบวกกับตัวสุดท้าย
เพราะส่วนมันเท่ากันอะ
คืดใครก็ได้พิมที มันไม่ยากมาก แต่เราก็ผิดเหมือนกัน

พจน์แรกกับพจน์สุดท้าย : $\frac{99^2+1^2}{4901} =2$
ทำงี้ไปเรื่อยๆ 49 คู่ =2x49=98
เหลือพจน์ที่50 : $\frac{50^2}{50^2-100(50)+5000} =1$
$\therefore $98+1=99

[mini-j]

อ่า ขอบคุณ

[Look Like Love]

ข้อเจาะกล่องได้เท่าไหร่กันครับ ?

[{([?])}]

81 อะมั้งครับ

[HL~arc-en-ciel]

ผมเครียดตรงมีปัญหาเกี่ยวกับภาษานี่แหละครับ

[polsk133]

ระนาบเดียวกันคือ ให้มันเป็นสองมิติมั้งครับ ไม่งั้นเป็น3มิติได้ แต่ไม่รู้คำตอบมันจะเท่าเดิมไหม

[Thgx0312555]

พจน์แรกกับพจน์สุดท้าย : $\frac{99^2+1^2}{4901} =2$
ทำงี้ไปเรื่อยๆ 49 คู่ =2x49=98
เหลือพจน์ที่50 : $\frac{50^2}{50^2-100(50)+5000} =1$
$\therefore $98+1=99
ใช้วิธี run กลับข้างก็ได้ครับจะได้ไม่เหลือเศษ
ให้พจน์ที่ n คือ $a_n$ ผลรวมคือ S

พิสูจน์ให้ได้ว่า $a_n+a_{100-n}=2$
$S = a_1+a_2+...a_{99}$
$S = a_{99}+a_{98}+...+a_1$

บวกทีละพจน์เลย
$2S = (a_1+a_{99})+(a_2+a_{98})+...+(a_{99}+a_1) = 2x99$
$S = 99$

[คusักคณิm]

)};132110']6 คะแนนข้อ 3 ผมตอบ 210 อะ

ส่วน #38 จำได้ว่่าตอบ 18 นะครับ

ได้18เหมือนกันครับ ^^ คิดออก 30 วิสุดท้าย นั่งหน้าโง่ตั้งนาน 555555555

โจทย์เท่าที่ผมจำได้

-สาี่ำมจำนวนเต็มบวกคูณกันได้ 60 แต่ละจำนวนเไม่ซ้ำกันเลย จงหาผลบวกที่มากสุดที่เป็นไปได้ของ 4จำนวนนี้

-ลูกเต๋าทอย 3 ครั้ง จงหาวิธีที่ผลรวมแต้มไม่เกิน 6

จำได้แต่ข้อง่ายๆ แฮ่ๆ :sweat:

[Mol3ilE]

16กับ 20ป่าวอ่ะคับ

[กระบี่บูรพา]

คนมีข้อสอบ ช่วยกันลงหน่อยครับ เพื่อการเรียนรู้ครับ ช่วยกันหน่อยครับ

[คusักคณิm]

16กับ 20ป่าวอ่ะคับ

ได้เท่ากันครับ ^^

[jengpdslovemath]

อยากให้ช่วยอธิบายข้อที่มีสามเหลียมที่มีด้านยาว 2011 2012 2013 ให้ทีน่ะฮะ

[gon]

อยากให้ช่วยอธิบายข้อที่มีสามเหลียมที่มีด้านยาว 2011 2012 2013 ให้ทีน่ะฮะ

อธิบายไม่ได้ครับ ยังไม่เห็นข้อสอบเลย :o

[ยังห่างไกลจากความเป็นเทพ]

อธิบายไม่ได้ครับ ยังไม่เห็นข้อสอบเลย :o


ข้อ 6 คะแนน ข้อ2

$ABC$ เป็นสามเหลี่ยมมีด้าน $AB$ ยาว $2011$ หน่วย $BC$ ยาว $2012$ หน่วย $CA$ ยาว $2013$ หน่วย วงกลม $O$ สัมผัสกับวงกลมล้อมรอบสามเหลี่ยม $ABC$ ที่จุด $A$ และสัมผัสกับด้าน BC ที่จุด Dและตัดกับด้าน $AB$ และ $CA$ ที่ $E$ และ $F$ ตามลำดับ จงหา $EF$


ข้อนี้มั้งครับ

[-[S]ycoraX-]

-ลูกเต๋าทอย 3 ครั้ง จงหาวิธีที่ผลรวมแต้มไม่เกิน 6


เห็นเพื่อนผมบอกว่า ทอดลูกเต๋า 3 ลูกพร้อมกัน ผมสงสัยว่า (1,2,1) , (1,1,2) , (2,1,1) เหมือนกันหรือเปล่าครับ:confused:

[bell18]

ทอดลูกเต๋า ไม่ว่าจะพร้อมกัน หรือจะทีละลูก (1,2,1),(1,1,2),(2,1,1) ก็แตกต่างกันครับ

[polsk133]

ถือว่าลูกเต๋าคนละลูกครับ(ถ้าทอดพร้อมกัน) เลยต่างกัน

[Night Baron]

ข้อ 6 คะแนนข้อ 5

x,y,z เป็นจำนวนจริงบวกที่มากกว่า 3 ที่ทำให้

$$\frac{(x+2)^2}{y+z-2} + \frac{(y+4)^2}{x+z-4} + \frac{(z+6)^2}{x+y-6} =36$$

จงหาค่ามากสุดของ $x^2+y^2+z^2$

ผมลองเสนอวิธีคิดของผมเอง โดยลองแบ่งให้มันเท่าๆกันเลย เพื่อที่ค่า$x^2+y^2+z^2$จะได้มากสุด
$\frac{(x+2)^2}{y+z-2}$ = $\frac{(y+4)^2}{x+z-4}$ = $\frac{(z+6)^2}{x+y-6}$ =12
จากนั้นลองแก้โดยจับทีละคู่
$\frac{(x+2)^2}{y+z-2}=12$ ...(1)
$\frac{(y+4)^2}{x+z-4}=12$ ...(2)
$\frac{(z+6)^2}{x+y-6}=12$ ...(3)
จาก(1);$(x+2)^2=12y+12z-24$...(4)
จาก(2);$(y+4)^2=12z+12x-48$...(5)
จาก(3);$(z+6)^2=12y+12x-72$...(6)
นำ (4)+(5)+(6);$x^2+y^2+z^2-20x-16y-12z+200=0$
$(x-10)^2+(y-8)^2+(z-6)^2=0$
จะได้ x=10,y=8,z=6
หาค่า$x^2+y^2+z^2$ = 100+64+36=200

[Tanat]

ผมเครียดตรงมีปัญหาเกี่ยวกับภาษานี่แหละครับ

เอ่อ..... แต่ชื่อแฝงที่ใช้ตอบกระทู้ เหมือนมาจากเมืองนอกเลยอ่ะ (มันแปลกดีน่ะ) :D

[artty60]

#84 เยี่ยมครับ แต่
เราจะพิสูจน์ยังไงครับว่าวิธีนี้ได้ค่ามากสุด

[asdfqwer]

รู้สึกข้อสอบมันจะมีลิขสิทธ์นะครับ :aah::aah::aah::aah::aah:

[วะฮ่ะฮ่า03]

ห้องสอบของผมก็ไม่ได้ข้อสอบกลับมาครับ

[asdfqwer]

มันจะโดนไรไหมครับเนี่ยถ้าอัพขึ้นอ่าา:sweat:
พอดีผมได้ข้สอบกลับมาครับ

[Ulqiorra Sillfer]

มันจะโดนไรไหมครับเนี่ยถ้าอัพขึ้นอ่าา:sweat:
พอดีผมได้ข้สอบกลับมาครับ

เป็นผมผมก็อัพนะครับ เพราะถึงยังไงเราทำเพื่อเป็นความรู้ไม่ใช่ทางการค้าอะไร คงไม่มีอะไรเสียหายหรอกครับ
:great::great:

[asdfqwer]

ผมอัพนะครับ:mellow::mellow:
ขออภัย ผมไม่ได้ลบรอบทด ให้ดูเป็นแนวทางครับ:haha::haha::haha:
หากมีอะไรไม่ดีก็ขออภัยมา ณ ที่นี้เลยครับบ

[BLACK-Dragon]

ขอบคุณมากครับ :D

[วะฮ่ะฮ่า03]

ยอดเลยครับ :)

#91 ดูๆแล้วได้คะแนนเยอะ พอสมควรครับ

[asdfqwer]

ขอบคุณครับ :kaka:

[HL~arc-en-ciel]

ผิดแบบโง่ๆ.... เซ็ง

[กระบี่บูรพา]

ขอบคุณสำหรับข้อสอบ

[yellow]

1) ภาษาอังกฤษ

ในชั้นเรียนของนักเรียน 50 คน นักเรียนได้บริจาคเงินคนละ 200 บาท เพื่อช่วยเหลือเพื่อนร่วมชั้น 2 คนของพวกเขาที่เป็นผู้ประสบภัยน้ำท่วม ถามว่าเพื่อนที่เป็นผู้ประสบภัยจะได้รับเงินคนละเท่าใด (ผู้ที่บริจาคเงินไม่รวมถึงผู้ประสบภัย, ผู้ประสบภัยทั้งสองคนได้รับเงินเท่ากัน)

ตอบ $\frac{48}{2}\times 200 = 4,800$ บาท

[yellow]

2) นิพจน์ใดต่อไปนี้ มีค่าเท่ากับ 3x - 2

ตอบ ข้อ d

3) พ่ออายุแก่กว่าลูก 4 เท่า และอายุของทั้งสองคนต่างกัน 36 ปี ถามว่าพ่อมีอายุเท่าใด

ตอบ 48 ปี

[yellow]

4) จากรูปที่กำหนดให้ด้านล่าง ถ้า AB // CD .... จงหา x + y

ตอบ 80

5) ABCD เป็นรูปสี่เหลี่ยม และ BD เป็นเส้นทแยงมุมเส้นหนึ่งซึ่งตั้งฉากกับ DC ดังรูป

ถ้า AB = CD = 5 cm, AD = BC = 13 cm, BD = 12 cm และพื้นที่ของ ABCD = $a$ $cm^3$ จงหาค่า a

ตอบ 60

[polsk133]

ขอบคุณ #91 มากครับ

[yellow]

1)

ฐาน = 8

12 = $\frac{1}{2}$ x 8 x สูง

สูง = 3

K = 2-3 = -1 หรือ 2+3 = 5

โจทย์ให้ k > 0 ดังนั้น k = 5

[yellow]

2)

ปริมาตรไม้ที่เจาะออก = 3 ( 3 x 3 x 5 ) - 2 ( 3 x 3 x 3 ) = 135 - 54 = 81 ลูกบาศก์หน่วย

[yellow]

3)

ต้นทุน A = $\frac{555}{1.11} = 500$ บาท

ต้นทุน B = $\frac{5,555}{1.01} = 5,500$ บาท

กำไร = $(555-500)+(5,555-5,500) = 110$ บาท

ต้นทุน = $500+5500 = 6,000$ บาท

%กำไร = $\frac{110 \times 100}{6000} = \frac{11}{6}$

$a = 11$

[yellow]

4)

เส้นทแยงมุม = $9\sqrt{2}$

สี่เหลี่ยมจัตุรัสมีความยาวด้านละ a จะได้

$a^2 + a^2 = ( 9\sqrt{2})^2$

$2a^2 = 2(9^2)$

$a = 9$

เส้นรอบรูป = $4\times 9 = 36$


5)

$P(3) = 0$

$3\bullet 3^2 + 3b + 3 = 0$

$30 + 3b = 0$

$b = -10$

[yellow]

6)

$\frac{[(x-2012) - 2010][(x-2012) + 2010]}{(2x - 8044)(x-2) }$

$\frac{(x-4022)(x-2)}{2(x - 4022)(x-2) }$

$\frac{1}{2}$

$m = 2$

[yellow]

7)

$(\frac{2^{30} + 2^{20}}{2^{22} + 2^{12}})^{\frac{3}{4}} $

$(\frac{(2^{10} + 1)(2^{20})}{(2^{10} + 1)(2^{12})})^{\frac{3}{4}} $

$(2^8)^{\frac{3}{4}} $

$2^6$

$64$

[yellow]

8)

$283 = aq + r$ --- (1)

$427 = bq + r$ --- (2)

$715 = cq + r$ --- (3)



$(2) - (1)$ $144 = (b-a)q$

$(3) - (2)$ $288 = (c-b)q$

$(3) - (1)$ $432 = (c-a)q$


หรม ของ $144, 288, 432$ คือ $144$

[yellow]

9)

$P(-1) = (-1)^{2555} + 2555 = 2554$

[yellow]

10)

$N = 3333...3$ $(670$ ตัว $)$ $+ 1$

ผลรวมของเลขโดด = $3\bullet 670 + 1 = 2011$

[yellow]

11)

ตัวเลขหลักพัน หลักร้อย จัดได้ 4 วิธี คือ 66, 69, 96, 99

ตัวเลขที่หาร 3 ไม่ลงตัว มี 6 ตัว คือ 1,2,4,5,7,8

จำนวนที่จัดได้ = $4 \times 6 \times 6 = 144$ จำนวน

[yellow]

12)

คะแนนรวม = $100 \times 7.45 = 745$ คะแนน

$745 = 5a + (6)(7) + 7b + (8)(43)+(10)(21)$

$149 = 5a + 7b$ ---- (1)

$100 = a+7+b+43+21$

$29 = a + b$ --- (2)

(1) - 4x(2)

$33 = a + 3b$

[yellow]

13)

$(x-7)(y-7) = 29 \bullet 1$

$x= 36, y = 8$

$x+y = 44$

[yellow]

14)

$(4+2a)x^2 - 12x + b = 0$

มีคำตอบเดียวเมื่อ

$(-12)^2 - 4(4+2a)(b) = 0$

$144 - 8(2+a)(b) = 0$

$18 - (2+a)(b) = 0$

$6 \bullet 3 - (2+a)(b) = 0$ --> $a = 4,b =3$

[yellow]

15)

หน้า 1-9 ใช้เลขโดด $9$ ตัว

หน้า 10-99 ใช้เลขโดด $2\times 90 = 180$ ตัว

หน้า 3 หลักมี = $\frac{444-180-9}{3} = 85$ หน้า

จำนวนหน้า - 100 + 1 = 85 หน้า

จำนวนหน้า = 184 หน้า

[yellow]

16)

$60 = 2^2 \times 3 \times 5$

โจทย์ให้เป็นผลคูณจากจำนวนเต็มบวกสี่ตัวไม่ซ้ำกัน และต้องการให้ได้ผลบวกมากสุด จึงเอา 2 ไปคูณ 5 ดังนั้น

$60 = 1 \times 2\times 3\times 10$

ผลบวก = $1+2+3+10 = 16$

[yellow]

17)

3 แต้ม (1,1,1) มี 1 วิธี

4 แต้ม (1,1,2) (1,2,1) (2,1,1) มี 3 วิธี

5 แต้ม (1,1,3) (1,3,1) (3,1,1) (2,2,1) (2,1,2) (1,2,2) มี 6 วิธี

6 แต้ม (1,1,4) (1,4,1) (4,1,1) (1,2,3) (1,3,2) (2,1,3) (2,3,1) (3,1,2) (3,2,1) (2,2,2) มี 10 วิธี

รวม 20 วิธี

[yellow]

18)

ให้

AB = x

CD = 2x

พื้นที่สี่เหลี่ยมคางหมู ABCD

$18 = \frac{1}{2} \times h \times 3x$

$6 = \frac{1}{2} \times h \times x$

ซึ่ง $\frac{1}{2} \times h \times x$ เท่ากับ พื้นที่สามเหลี่ยม ABD ดังนั้น พื้นที่สามเหลี่ยม ABD = 6 ตารางหน่วย

โจทย์กำหนดให้ E เป็นจุดแบ่งครึ่ง BD

ดังนั้น พื้นที่สามเหลี่ยม ABE = 3 ตารางหน่วย

[yellow]

19)

จับสามสมการบวกกัน

$2(x+y+z)^2 = 512$

$(x+y+z) = 16$

จะได้

$(y+z)(16) = 224$

$y+z = 14$ ---- (1)

$(x+z)(16) = 160$

$x+z = 10$ ---- (2)

2x(1) - (2)

$2y + z - x = 8$

[yellow]

20)

AB เป็นเส้นสัมผัสของวงกลม จึงตั้งฉากกับ EF

$sin EAF = \frac{EF}{EA} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$

$EAF = 30^\circ$

ได้ OAB เป็นสามเหลี่ยมหน้าจั่วที่มีมุมที่ฐาน = $30^\circ$

ดังนั้น

$AB = 2 ( 6 cos 30^\circ )$

$AB = 2 ( 6 \bullet \frac{\sqrt{3} }{2}) $

$AB = 6 \bullet 1.73 = 10.38$

[yellow]

ข้อ 6 คะแนน รู้สึกจะเฉลยไปหมดแล้วมั๊ง

ไปกินข้าวดีกว่า :p

[hillkoogame]

2)

ปริมาตรไม้ที่เจาะออก = 2 ( 3 x 3 x 5 ) - ( 3 x 3 x 3 ) = 90 - 27 = 63 ลูกบาศก์หน่วย

ผิดครับ มันตอบ 81 ผมมั้นใจ

[ยังห่างไกลจากความเป็นเทพ]

ผิดครับ มันตอบ 81 ผมมั้นใจ

ผมก็ำำได้ 81 ครับ

2)

ปริมาตรไม้ที่เจาะออก = 2 ( 3 x 3 x 5 ) - ( 3 x 3 x 3 ) = 90 - 27 = 63 ลูกบาศก์หน่วย

ลืมคิดปริมาตรหายไป 2 ผิวป่าวครับ ตอนนี้ที่ิมันได้แกนกลาง(3x3x3) กับผิวนอก (3x3x1) แค่ 4 ผิวครับ ขาดผิวนอกอีก 2 ผิวครับ

[yellow]

ผมก็ำำได้ 81 ครับ



ลืมคิดปริมาตรหายไป 2 ผิวป่าวครับ ตอนนี้ที่ิมันได้แกนกลาง(3x3x3) กับผิวนอก (3x3x1) แค่ 4 ผิวครับ ขาดผิวนอกอีก 2 ผิวครับ


ขอบคุณครับ :) แก้ให้แล้ว

[yellow]

21)

$\sum_{n = 1}^{99}\frac{n^2}{(n-50)^2 + 50^2}$

$[\frac{1^2}{49^2+50^2} + \frac{99^2}{49^2+50^2}]+ [\frac{2^2}{48^2+50^2} + \frac{98^2}{48^2+50^2}] + ... + [\frac{49^2}{1^2+50^2} + \frac{51^2}{1^2+50^2}] + \frac{50^2}{0+50^2}$

$[\frac{(50-49)^2}{49^2+50^2} + \frac{(50+49)^2}{49^2+50^2}]+ [\frac{(50-48)^2}{48^2+50^2} + \frac{(50+48)^2}{48^2+50^2}] + ... + [\frac{(50-1)^2}{1^2+50^2} + \frac{(50+1)^2}{1^2+50^2}] + \frac{50^2}{50^2}$

$\frac{2(50^2+49^2)}{49^2+50^2}+ \frac{2(50^2+48^2)}{48^2+50^2} + ... + \frac{2(50^2+1^2)}{1^2+50^2} + \frac{50^2}{50^2}$

$2+2+...+2 + 1 = 99$

[asdfqwer]

ข้อ 6 คะแนน รู้สึกจะเฉลยไปหมดแล้วมั๊ง

ไปกินข้าวดีกว่า :p

ผมรวมเฉลยข้อ6คะแนนไว้นะครับ จะได้ง่ายหน่อย
21. 99 จาก #8 (สำหรับคนงง คำอธิบายอยู่ #16นะครับ), อีกวิธีจาก #18,124
22. 1509 จาก #130,132 ครับ(อยู่ข้างล่าง)
23. 210 จาก #57 ครับ
24. 8 จำนวน จาก#19
25. 200 จาก #33
ดูพลาดหรือขาดอะไรไปขอโทษด้วยนะครับ:please:

[Night Baron]

อยากทราบเฉลยข้อ 22 ครับๆ

[Amankris]

#125

ผมว่า #54 ยังทำไม่ถูกนะ

[jengpdslovemath]

#91 ได้คะแนนเยอะจังฮะ

[หยินหยาง]

มาทิ้งคำตอบข้อ 22 ไว้ให้
EF = 1509 หน่วย ลองตรวจดูก็แล้วกัน

[gon]

ผมเขียนเฉลยอธิบายข้อ 22. อย่างละเอียดเสร็จแล้ว :happy:

ท่านใดที่ยังติดข้อนี้อยู่ก็ลองโหลดมาอ่านดูได้ครับ. :cool:

7588

[banker]

เพื่อป้องกันข้อสอบหาย save ไว้ในเว็บนี้ก่อน

7590

7591

7592

7593

7594

7595

7596

7597

7598

7599

7600

7601

7602

7603

7604

7605

7609

7606

7607

7608
7626

7610

7611

7612

7613

7614

7615

7616

7617

7618

7619

[หยินหยาง]

ข้อ 22 ผมเสนอให้อีกวิธีแต่ก็คล้ายกับคุณ gon โดยใช้เส้นสัมผัสวงกลมที่จุด A ในการพิสูจน์สามเหลี่ยมคล้าย และใช้ทบ.กำลังของจุด เพื่อหาค่า EF จากรูป จะได้ว่า


$\frac{AF}{AC} = \frac{AE}{AB} = \frac{EF}{BC} = k$

$1-\frac{AF}{AC} = \frac{FC}{AC} = 1-\frac{AE}{AB} = \frac{EB}{AB} = 1- k$

ทบ.กำลังของจุด จะได้ว่า

$CD^2 = AC*FC = AC^2*(1-k)$......................(1)
$DB^2 = AB*EB = AB^2*(1-k)$......................(2)

$\therefore \frac{CD}{DB} = \frac{AC}{AB} $ แทนค่าตามที่โจทย์กำหนด เพื่อหาค่า BD

$\frac{2012-BD}{BD} = \frac{2013}{2011}$
แก้สมการจะได้ว่า $ BD =\frac{2011}{2} $ นำค่านี้ไปแทนในสมการ (2) จะได้ $BE = \frac{2011}{4} $

ดังนั้น $k = \frac{3}{4} $

$\therefore EF = \frac{3}{4}(2012) = 1509$ หน่วย

[lek2554]

#131

คุณลุง ลืมเอารูปข้อ 20 มา ครับ

[artty60]

ข้อ22 ผมคิดแบบประมาณน่ะ

ขอบคุณคุณgonและคุณหยินหยางที่มาช่วยเฉลยข้อ22อย่างละเอียดครับ

รบกวนช่วยเฉลยโจทย์เรขาในข้อสอบTUGMO'54 ตอนที่3ข้อ8ให้หน่อยนะครับ ยังคิดไม่ออกครับ:please::please:

[กระบี่บูรพา]

ทบ.กำลังของจุด หาอ่านได้ที่ไหนครับ

[polsk133]

พิมพ์ใน google ว่า power of point ก็น่าจะเจอครับ ไม่ก็พิมพ์ว่า ผลคูณคอร์ด

[คusักคณิm]

มีเฉลยครบทุกข้อจากสพฐ (พ่อเพื่อนเป็นศึกษานิเทศ)
เด๋วพรุ่งนี้ผมเอามาลงให้คับ

[bell18]

มีเฉลยครบทุกข้อจากสพฐ (พ่อเพื่อนเป็นศึกษานิเทศ)
เด๋วพรุ่งนี้ผมเอามาลงให้คับ

ขอบคุณล่วงหน้าครับ:great:

[yellow]

23)

$AC^2 = AB^2 + BC^2$

$AC^2 = 40^2 + 30^2$

$AC = 50$

$AM = 25$

$AN^2 = AM^2 + MN^2$

$65^2 = 25^2 + MN^2$

$MN = 60$ ซึ่ง $MN$ คือฐานของสามเหลี่ยม $BMN$

ลากเส้น $BD$ ตั้งฉากกับ $AC$ ได้ สามเหลี่ยม $ABC$ คล้ายกับ สามเหลี่ยม $BDC$

$\frac{BC}{CD} = \frac{AC}{BC}$

$\frac{30}{CD} = \frac{50}{30}$

$CD = 18$

$DM = CM - CD = 25 - 18 = 7$ ซึ่ง $DM$ คือความสูงของสามเหลี่ยม $BMN$

พื้นที่สามเหลี่ยม $BMN = \frac{1}{2} \times 60 \times 7 = 210$ ตารางหน่วย

[ยังห่างไกลจากความเป็นเทพ]

23)

$AC^2 = AB^2 + BC^2$

$AC^2 = 40^2 + 30^2$

$AC = 50$

$AM = 25$

$AN^2 = AM^2 + MN^2$

$65^2 = 25^2 + MN^2$

$MN = 60$ ซึ่ง $MN$ คือฐานของสามเหลี่ยม $BMN$

ลากเส้น $BD$ ตั้งฉากกับ $AC$ ได้ สามเหลี่ยม $ABC$ คล้ายกับ สามเหลี่ยม $BDC$

$\frac{BC}{CD} = \frac{AC}{BC}$

$\frac{30}{CD} = \frac{50}{30}$

$CD = 18$

$DM = CM - CD = 25 - 18 = 7$ ซึ่ง $DM$ คือความสูงของสามเหลี่ยม $BMN$

พื้นที่สามเหลี่ยม $BMN = \frac{1}{2} \times 60 \times 7 = 210$ ตารางหน่วย

ผมอยากรู้ว่า ข้อนี้ผมคิดอีกไอเดียแต่ไม่หลุดอ่ะครับ
คือ ผมหา MN = 60 เท่ากันจากพีทากอรัส
หา BM = 25 เพราะ สามเหลี่ยม ABC เป็นสามเหลี่ยมที่แนบในครึ่งวงกลมที่มี M เป็นจุดศูนย์กลาง
แต่ผมหา BN ไม่ได้อ่ะครับ เพราะถ้าหาได้ว่าจะใช้ Heron หาต่อก็จบเหมือนกัน เลยอยากรู้ว่ามันมีวิธีหา BN ไหมครับ??:please::please:

[artty60]

7658

โจทย์ข้อ23

ตามรูปนี้จะหาคำตอบได้ง่ายไม่งง

[คusักคณิm]

เฉลยของสพฐ นะคับ
ฉ 1 ตอน1ข้อละ2คะแนน
1.5
2.81 cm3
3.11
4.36cm
5.-10
6.2
7.$2^6$or64
8.144
9.2554
10.2008
ฉ1ตอน2 ข้อละ 4 คะแนน

11.144จำนวน
12.33
13.44
14.4
15.184 หน้า
16.16
17.20วิธี
18.3ตารางหน่วย
19.18
20.10.38 หน่วย
ฉ 1ตอน 3ข้อละ 6คะแนน
21.99
22.1509หน่วย
23.210 ตารางหน่วย
24.8 คู่อันดับ
25.200

ภาษาอังกฤษ ฉ 2 ข้้อละ 2 คะแนน
1.4800 Baht
2.d
3.48 years old
4.80 degrees
5.60

[วะฮ่ะฮ่า03]

ขอบคุณคุณ คusักคณิm ครับ

[jengpdslovemath]

ข้อ 10 ไม่ได้ตอบ 2011 หรือฮะ

[gnap]

\prod_{n = 1}^{\infty} ข้อ 10 ไม่ได้ตอบ 2011 หรือฮะ

ผมก็ได้ 2011ครับ:mellow:

[วะฮ่ะฮ่า03]

1000...2 มี 0 = 669 ตัว หาร 3 ออกได้
3333...4 มี 3 =669 ตัว มี4 = 1ตัว
3(669)+4=2011

[กระบี่บูรพา]

\prod_{n = 1}^{\infty}

ผมก็ได้ 2011ครับ:mellow:
ผมก็ได้ 2011 ครับ แย้งได้ไหมเนี่ย:confused:

[math magic]

เห็นได้ว่า
10ยกกำลัง2+2/3 =34
10ยกกำลัง3+2/3 =334
10ยกกำลัง4+2/3 =3334
..
จะได้ว่า 10ยกกำลัง 670+3/4 = 33333..668ตัว +4
= 668*3+4 =2008 ครับ :laugh: มุ่งมั่นเพื่อเตรียมอุดม

[BLACK-Dragon]

เห็นได้ว่า
10ยกกำลัง2+2/3 =34
10ยกกำลัง3+2/3 =334
10ยกกำลัง4+2/3 =3334
..
จะได้ว่า 10ยกกำลัง 670+3/4 = 33333..668ตัว +4
= 668*3+4 =2008 ครับ :laugh: มุ่งมั่นเพื่อเตรียมอุดม

น่าจะนับเลขตกไปเล็กน้อย วิธีคุณน่าจะเป็นแบบนี้

$\dfrac{10^2+2}{3}=34$ มี 2 หลัก

$\dfrac{10^3+2}{3}=334$ มี 3 หลัก

.
.
.

$\dfrac{10^{670}+2}{3}=33...334$ มี 670 ผลบวกของเลขโดดคือ

$3(670)+1=2011$ ครับ

[asdfqwer]

ผมก็ว่า 2011ครับ:)

[กระบี่บูรพา]

เห็นได้ว่า
10ยกกำลัง2+2/3 =34
10ยกกำลัง3+2/3 =334
10ยกกำลัง4+2/3 =3334
..
จะได้ว่า 10ยกกำลัง 670+3/4 = 33333..668ตัว +4
= 668*3+4 =2008 ครับ :laugh: มุ่งมั่นเพื่อเตรียมอุดม
ยกกำลัง 2 มี 3 1ตัว
ยกกำลัง 3 มี 3 2 ตัว
ยกกำลัง 670 ทำไมมี 668 ตัวละครับ ต้อง 669 สิครับ 3*669+4

[math magic]

ขอโทษครับ:confused:

[IloveMathPK]

21)

$\sum_{n = 1}^{99}\frac{n^2}{(n-50)^2 + 50^2}$

$[\frac{1^2}{49^2+50^2} + \frac{99^2}{49^2+50^2}]+ [\frac{2^2}{48^2+50^2} + \frac{98^2}{48^2+50^2}] + ... + [\frac{49^2}{1^2+50^2} + \frac{51^2}{1^2+50^2}] + \frac{50^2}{0+50^2}$

$[\frac{(50-49)^2}{49^2+50^2} + \frac{(50+49)^2}{49^2+50^2}]+ [\frac{(50-48)^2}{48^2+50^2} + \frac{(50+48)^2}{48^2+50^2}] + ... + [\frac{(50-1)^2}{1^2+50^2} + \frac{(50+1)^2}{1^2+50^2}] + \frac{50^2}{50^2}$

$\frac{2(50^2+49^2)}{49^2+50^2}+ \frac{2(50^2+48^2)}{48^2+50^2} + ... + \frac{2(50^2+1^2)}{1^2+50^2} + \frac{50^2}{50^2}$

$2+2+...+2 + 1 = 99$

มันใช้ยังไงหรอครับ พอดีเห็นเยอะแต่ใช้ไม่เคยเป็นเลยอะครับ

[วะฮ่ะฮ่า03]

มันใช้ยังไงหรอครับ พอดีเห็นเยอะแต่ใช้ไม่เคยเป็นเลยอะครับ

หมายถึงอะไรหรอครับ

[IloveMathPK]

$\sum_{n = 1}^{99}\frac{n^2}{(n-50)^2 + 50^2}$

ที่มีซิกม่าอะครับ ผมเห็นบ่อย เรียกว่าทฤษฏี หรือ สูตร ชื่ออะไรหรอครับ

[วะฮ่ะฮ่า03]

เป็นสัญลักษณ์ไม่ใช่สูตรครับ แทนผลรวม
ตรง ข้างล่าง n=1 กับข้างบน 99 คือ เริ่มที่ n=1 ถึง n=99 แทนลงในพจน์ที่ให้มาแล้วแต่ละพจน์บวกกันครับ

[IloveMathPK]

เป็นสัญลักษณ์ไม่ใช่สูตรครับ แทนผลรวม
ตรง ข้างล่าง n=1 กับข้างบน 99 คือ เริ่มที่ n=1 ถึง n=99 แทนลงในพจน์ที่ให้มาแล้วแต่ละพจน์บวกกันครับ
อ่อครับ ผมเห็นซิกม่า เลยนึกว่าเป็นพวกทฤษฏีบท

[polsk133]

โดยอสมการโคชี Engel Form ได้ว่า$$36=\frac{(x+2)^2}{y+z-2} + \frac{(y+4)^2}{x+z-4} + \frac{(z+6)^2}{x+y-6}\geqslant \frac{(x+y+z+12)^2}{2(x+y+z)-12} \Leftrightarrow (x+y+z-24)^2\leqslant 0 \Rightarrow x+y+z=24 เท่านั้น $$
แทนในสมการเริ่มต้นได้ว่า
$$\frac{(x+2)^2}{22-x} + \frac{(y+4)^2}{20-y} + \frac{(z+6)^2}{18-z} =36,let x+2=a,y+4=b,z+6=c \Rightarrow \frac{a^2}{24-a} + \frac{b^2}{24-b} + \frac{c^2}{24-c} =36$$
แต่จาก $\frac{a^2}{24-a} \geqslant 3a-24 \Leftrightarrow (a-12)^2\geqslant 0$ ได้ว่า
$$36=\frac{a^2}{24-a} + \frac{b^2}{24-b} + \frac{c^2}{24-c} \geqslant (3a-24)+(3b-24)+(3c-24)=3(a+b+c)-72=3(36)-72=36$$
ทำให้$a=b=c=12\Rightarrow x=10,y=8,z=6\Rightarrow x^2+y^2+z^2=200$

อยากทราบว่า บรรทัดสีแดง คิดขึ้นมาได้ไงหรอครับ มองออกได้ไงว่ามันมาจาก $(a-12)^2 \geqslant 0$

[gnap]

[QUOTE=วะฮ่ะฮ่า03;132063]ข้อ6คะแนนข้อ 5 ใครทำได้บ้างครับ ตอบอะะไรช่วยบอกหน่อย:)[/QUOTE

พอดีเวลาเหลือผมเลยมานั่งแทนเลขเอาครับ
ได้ x=10 y=8 z=6
:):):)

[Night Baron]

ผมลองเสนอวิธีคิดของผมเอง โดยลองแบ่งให้มันเท่าๆกันเลย เพื่อที่ค่า$x^2+y^2+z^2$จะได้มากสุด
$\frac{(x+2)^2}{y+z-2}$ = $\frac{(y+4)^2}{x+z-4}$ = $\frac{(z+6)^2}{x+y-6}$ =12
จากนั้นลองแก้โดยจับทีละคู่
$\frac{(x+2)^2}{y+z-2}=12$ ...(1)
$\frac{(y+4)^2}{x+z-4}=12$ ...(2)
$\frac{(z+6)^2}{x+y-6}=12$ ...(3)
จาก(1);$(x+2)^2=12y+12z-24$...(4)
จาก(2);$(y+4)^2=12z+12x-48$...(5)
จาก(3);$(z+6)^2=12y+12x-72$...(6)
นำ (4)+(5)+(6);$x^2+y^2+z^2-20x-16y-12z+200=0$
$(x-10)^2+(y-8)^2+(z-6)^2=0$
จะได้ x=10,y=8,z=6
หาค่า$x^2+y^2+z^2$ = 100+64+36=200



ผมเคยเฉลยไว้แล้ว แต่ยังไม่มีวิธีพิสูจน์อ่ะครับ

[MuangTH]

ปัจจุบันนี้ต้องอ่านอังกฤษให้ออกถึงจะได้คะแนนเยอะนะครับพวกข้อสอบแข่งขันเนี่ย
:sweat::sweat::sweat::sweat::sweat:

[MuangTH]

ข้อนี้ง่ายดีครับ ถ้ามองออกก็คิดได้เลย โดยแทนค่านิดๆเอง
โดย 29 เป็นจำนวนเฉพาะดังนั้นมีเพียง 1 และ 29 เท่านั้น ที่หาร 29 ลงตัว ( โจทย์ให้เฉพาะจำนวนเต็มบวกนะเออ )
ดังนั้น ( x - 7 ) หรือ ( y - 7 ) ต้องเป็น 1 ไม่ก็ 29
จะได้ว่า x อาจจะเป็น 8 , y เป็น 36 หรือ x เป็น 36 , y เป็น 8 ก็ได้
ซึ่งไม่ว่ากรณีไหน x+y ก็จะได้ 36+8 ซึ่งเท่ากับ 44 นั่นเอง
:haha::haha::haha::haha::haha::haha:

ปล.ใครเฉลยไปแล้วขออภัยด้วยครับ