ช่วยหน่อยครับ

[Mastermander]

จากโจทย์เพิ่มเติม (http://www.mathcenter.net/sermpra/sermpra41/sermpra41p03.shtml)
ข้อ3. ผมคิดได้ K [:greateq] $ \frac{9}{16} $ ไม่แน่ใจเท่าไร ช่วยเฉลยด้วยครับ
แล้วก็รบกวนเฉลยข้อ4.ด้วยครับ

[warut]

สำหรับข้อ 3. ลองไปดูที่ผมเคยทำ ข้อ 29. ของคุณ nooonuii นะครับ

[warut]

ข้อ 4. จงหาคำตอบของสมการ\frac{2^x+2^{-x}}{3^x+3^{-x}} = \frac{4^x+4^{-x}}{9^x+9^{-x}}ให้

u= u(x)= 2^x+2^{-x}
v= v(x)= 3^x+3^{-x}

จะได้\frac{u}{v} = \frac{u^2-2}{v^2-2}คูณไขว้แล้วแยกตัวประกอบจะได้ (uv+2)(v-u)=0
เนื่องจาก u(x) และ v(x) มากกว่า 0 เสมอ ดังนั้น uv+2\ne0
จึงเหลือเพียงกรณี v-u=0
โดยอาศัยสมมาตรของ u(x) และ v(x) ตามแนวแกน y และความจริงที่ว่าเมื่อ x>0 แล้วv(x)-u(x)= 2^x \left(\left(\frac{3}{2}\right)^x-1\right) \left(1- \frac{1}{6^x}\right) >0ดังนั้น v-u=0 ก็ต่อเมื่อ x=0 นั่นคือ x=0 เป็นคำตอบเพียงอันเดียวของสมการโจทย์ครับ

ป.ล. ทั้งหมดนี้เป็นวิธีทำของผมเอง จึงอาจไม่ตรงกับเฉลยของคุณ nooonuii นะครับ

[Mastermander]

ขอบคุณครับ :happy:

[Mastermander]

อีก2ข้อครับ

กำหนดให้ดีกรีเฉลี่ยของกราฟคือผลรวมดีกรีของทุกจุดยอดในกราฟหารด้วยจำนวนจุดยอดทั้งหมด สำหรับกราฟใดๆ ที่มีจำนวนจุดยอดอย่างน้อย 2 จุดและมีเส้นเชื่อมอย่างน้อย 1 เส้น พิจารณาข้อความต่อไปนี้
(1) เมื่อลบจุดยอดที่มีดีกรีสูงสุด 1 จุด และเส้นเชื่อมที่เกิดกับจุดยอดทุกเส้นออกจากกราฟ ดีกรีเฉลี่ยของกราฟใหม่จะลดลงเสมอ
(2) เมื่อลบจุดยอดที่มีดีกรีต่ำสุด 1 จุด และเส้นเชื่อมที่เกิดกับจุดยอดทุกเส้นออกจากกราฟ ดีกรีเฉลี่ยของกราฟใหม่จะเพิ่มขึ้นเสมอ
ข้อความใดถูกต้องครับ


จงหาจำนวนจริง \( a \) ทั้งหมดที่ทำให้อสมการ
$$ \sin^6x + \cos^6x+ a\sin x \cos x \geq 0 $$
เป็นจริงสำหรับทุกจำนวนจริง $ x $

[warut]

ข้อความเดิมของคุณ Mastermander:
จงหาจำนวนจริง \( a \) ทั้งหมดที่ทำให้อสมการ
$$ \sin^6x + \cos^6x+ a\sin x \cos x \geq 0 $$
เป็นจริงสำหรับทุกจำนวนจริง $ x $เนื่องจาก $$\sin^6x+\cos^6x= 1-\frac34\sin^22x$$ถ้าเราให้ $y=\sin2x$ อสมการโจทย์จะกลายเป็น $$1-\frac34y^2+ \frac a2y\ge0 $$จัดรูปโดยการทำให้เป็นกำลังสองสมบูรณ์ จะได้ $$(3y-a)^2\le a^2+12$$กรณีที่ 1 $\quad a\ge0$
ค่าสูงสุดของ $(3y-a)^2$ จะเกิดขึ้นเมื่อ $y=-1$
แก้อสมการ $(-3-a)^2\le a^2+12$ จะได้ $a\le\frac12$

กรณีที่ 2 $\quad a<0$
ค่าสูงสุดของ $(3y-a)^2$ จะเกิดขึ้นเมื่อ $y=1$
แก้อสมการ $(3-a)^2\le a^2+12$ จะได้ $a\ge-\frac12$

ดังนั้นคำตอบของข้อนี้คือ $-\frac12\le a\le\frac12$ ครับผม :)

[warut]

ข้อความเดิมของคุณ Mastermander:
กำหนดให้ดีกรีเฉลี่ยของกราฟคือผลรวมดีกรีของทุกจุดยอดในกราฟหารด้วยจำนวนจุดยอดทั้งหมด สำหรับกราฟใดๆ ที่มีจำนวนจุดยอดอย่างน้อย 2 จุดและมีเส้นเชื่อมอย่างน้อย 1 เส้น พิจารณาข้อความต่อไปนี้
(1) เมื่อลบจุดยอดที่มีดีกรีสูงสุด 1 จุด และเส้นเชื่อมที่เกิดกับจุดยอดทุกเส้นออกจากกราฟ ดีกรีเฉลี่ยของกราฟใหม่จะลดลงเสมอ
(2) เมื่อลบจุดยอดที่มีดีกรีต่ำสุด 1 จุด และเส้นเชื่อมที่เกิดกับจุดยอดทุกเส้นออกจากกราฟ ดีกรีเฉลี่ยของกราฟใหม่จะเพิ่มขึ้นเสมอ
ข้อความใดถูกต้องครับก่อนอื่นอยากให้สังเกตว่าข้อความทั้งสอง incompatible กัน คือไม่สามารถเป็นจริงพร้อมกันทั้งคู่ได้ ถ้าเราพิจารณากราฟที่ทุกจุดยอดมีดีกรีเท่ากันหมด ดังนั้นจุดยอดใดๆก็จะเป็นจุดยอดที่มีดีกรีสูงสุดและเป็นจุดยอดที่มีดีกรีต่ำสุดด้วย ถ้าเราเอามันออกไปจุดนึงตามแบบที่โจทย์กำหนด ไม่ว่าผลจะออกมาว่าดีกรีเฉลี่ยเพิ่มขึ้น ลดลง หรือคงที่ ก็จะทำให้มีอย่างน้อยหนึ่งข้อที่ผิดอย่างแน่นอนครับ

ดังนั้นโดยใช้วิธีพิจารณาดังกล่าวกับกราฟที่มีจุดยอด 3 จุด ต่อกันเป็นรูปสามเหลี่ยม ($K_3$) จะเห็นว่าถ้าเราเอาจุดยอดออกไป 1 จุด ดีกรีเฉลี่ยจะลดลงจาก 2 เป็น 1 ดังนั้นข้อ (2) ผิดครับ

ต่อไปเป็นการพิสูจน์ว่าข้อ (1) ถูกครับ

ให้กราฟอันหนึ่งมีจุดยอด $n$ จุด และดีกรีของจุดยอดแต่ละจุดคือ $d_1,d_2, \dots, d_n$ โดยที่ $d_1\le d_2\le\dots\le d_n$ จะเห็นว่าถ้าเราเอาจุดยอดที่มีดีกรีสูงสุด ($=d_n$) ออกไป 1 จุด ผลรวมดีกรีของทุกจุดยอดของกราฟใหม่จะมีค่าเท่ากับ $d_1+d_2+ \dots +d_{n-1}- d_n$ เพราะการนำเอาจุดยอดที่มีดีกรีสูงสุดออกไป ย่อมต้องไปลดดีกรีของจุดยอดทุกอันที่เคยเชื่อมต่อกับจุดยอดที่เอาออกไปนั้นด้วย ดังนั้นสิ่งที่เราต้องการพิสูจน์คือ $$ \frac{d_1+d_2+ \dots+ d_n}{n} > \frac{d_1+d_2+ \dots +d_{n-1}-d_n}{n-1} $$ หลังจากแปลงรูป เราจะพบว่าอสมการนี้สมมูลกับอสมการ $$2nd_n >d_1+d_2+ \dots+ d_n$$ ซึ่งจะเห็นว่าเป็นจริง ดังนั้นข้อ (1) ถูกครับ :)

[passer-by]

คำถามที่น้อง Mastermander ถามเพิ่มล่าสุด เพิ่งเป็นข้อสอบสมาคม48 (ม.ปลาย) มาหมาดๆครับ

[warut]

จ๊าก ฟ้าดินลงโทษฐานไม่ได้ช่วยเฉลย เลยจำไม่ได้ว่าเป็นข้อสอบสมาคมฯ ขอบคุณคุณ passer-by ครับที่ช่วยบอกและทำลิ้งก์ให้ (โจทย์ที่มาจากข้อ 28. นี่ผมคุ้นๆแต่นึกไม่ออกว่าเห็นที่ไหน)