ข้อสอบ AITMO 2011

[math ninja]

บุคคล http://files.chiuchang.org.tw:8080/MyWeb/download/docu/AITMO_2011%20Individual.pdf
ทีม http://files.chiuchang.org.tw:8080/MyWeb/download/docu/AITMO_2011%20Team.pdf
ช่วยคิดที ยากมากกกกกกกกกกกกก

[jenwit]

ขอบคุณมากครับข้อสอบยากใช้ได้เลย :wacko:

[mebius]

ข้อ 1.
กำหนดให้ $6!=a!xb!$เมื่อ $a>1,b>1$จงหาค่าของ $axb$
$6!=6x5x4x3x2x1=3x2x1x5x4x3x2x1=3!x5!$
$a=3,b=5,ab=15$

[mebius]

ข้อ 2.
ถ้า $3^{2011}+3^{2011}+3^{2011}+3^{2011}+3^{2011}+3^{2011}+3^{2011}+3^{2011}+3^{2011}=3x$
จงหาค่า $x$

$9(3^{2011})=3x$
$x=3^{2012}$

[Euler-Fermat]

ขอบคุณมากครับ :)

[กิตติ]

ข้อ 4 ลองเขียนพจน์ทั่วไปได้ว่า $a_n=(10^n+2)(10^n-2)=10^{2n}-4$
$S={10^2+10^4+..+10^{40}-80}=A+20$
$10^4+10^6+...+10^{40}=A$
$10^6+...+10^{42}=10^2A$
$A=\frac{10^{42}-10^4}{99} $
$A=10^2{10^{21}-10^2}$

เดี๋ยวมาคิดต่อแบตโน๊ตบุ๊ตจะหมดแล้ว

มาต่อจากเมื่อวาน...จริงๆดูตรง $10^4+10^6+...+10^{40}+20$
เขียนออกมาได้ว่าคือ $10101010101010101010101010101010101010020$
โจทย์ถามผลรวมของเลขในแต่ละหลัก ตอบ $21$

[banker]

ข้อสอบประเภทบุคคล
9050

9051

9052

9053

9054

9056

9068

9057

9058

9059

9060

9061

9062

9063

9064

9065

9066

9067

[banker]

9073

9074

9075

9076

9077

9078

9079

9080

9081

9082

9083

[banker]

http://www.mathcenter.net/forum/attachment.php?attachmentid=9060&d=1338803704

$2^{\color{red}{5}} + 7 ^{\color{red}{2}} = \color{red}{3}^4$

$xyz = 5 \times 2 \times 3 = 30$

[banker]

http://www.mathcenter.net/forum/attachment.php?attachmentid=9065&d=1338803717

$\frac{3}{1!+2!+3!} + \frac{4}{2!+3!+4!} + \frac{5}{3!+4!+5!} + ... + \frac{8}{6!+7!+8!} $

$\frac{3}{1!(1+2+6)} + \frac{4}{2!(1+3+12)} + \frac{5}{3!(14+20)} + ...+ \frac{8}{6!(1+7+56)} $

$\frac{1}{3 \cdot 1!} + \frac{1}{4 \cdot 2!} + \frac{1}{5 \cdot 3!} + ... + \frac{1}{8 \cdot 6!}$

$\frac{2}{3!} + \frac{3}{4!} + \frac{4}{5!} + ... + \frac{7}{8!} $

$\frac{3-1}{3!} + \frac{4-1}{4!} + \frac{5-1}{5!} + ... + \frac{8-1}{8!} $

$ (\frac{3}{3!} - \frac{1}{3!}) + (\frac{4}{4!} - \frac{1}{4!}) + (\frac{5}{5!} - \frac{1}{5!}) + ... + (\frac{8}{8!} - \frac{1}{8!}) $

$ (\frac{1}{2!} - \frac{1}{3!}) + (\frac{1}{3!} - \frac{1}{4!}) + (\frac{1}{4!} - \frac{1}{5!}) + ... + (\frac{1}{7!} - \frac{1}{8!}) $

$ \frac{1}{2!} - \frac{1}{8!} $

[banker]

http://www.mathcenter.net/forum/attachment.php?attachmentid=9059&d=1338803676


9086

ลากเส้นทแยงมุม EB จะได้ EB // FA

M เป็นจุดใดๆที่อยู่ห่าง B เท่ากับ 8 หน่วย ในที่นี้ให้ M อยู่บน EB ทำให้ BM = 8

จะได้ สามเหลี่ยม 6 รูป มีพื้นที่ดังรูป (ตามความยาวฐาน)

จะได้พื้นที่แรเงาที่โจทย์ให้หา เป็นครึ่งหนึ่งของหกเหลี่ยมด้านเท่า

ABM + CDM +EFM = $\frac{1}{2} (6 \times \frac{\sqrt{3} }{4} \times 10^2) = 75\sqrt{3} \ $ตารางหน่วย


ไม่ว่าจุด M จะอยู่ตรงไหนในหกเหลี่ยมด้านเท่า ถ้าลากเส้นจากจุด M มายังจุดทั้ง 6 พื้นที่แรเงาทั้งสามดังรูปที่โจทย์แสดง จะเป็นครึ่งหนึ่งของหกเหลี่ยมด้านเท่าเสมอ ?

[กิตติ]

http://www.mathcenter.net/forum/attachment.php?attachmentid=9057&d=1338803676

ข้อ 6.จากจำนวน $n^2-n+1$ จนถึง $n^2+n+1$ มีจำนวนพจน์เท่ากับ $2n+1$
$n^2-n+1$ และ $n^2+n+1$ ต่างก็เป็นจำนวนคี่
จำนวนคู่จำนวนแรกคือ $n^2-n+2$ และจำนวนคู่ท้ายคือ $n^2+n$ จะมีจำนวนพจน์เท่ากับ $2n-1$
สูตรหาผลบวกของอนุกรมนี้คือ $\frac{(2n-1)(n^2+1)}{4} $
$10000<(2n-1)(n^2+1)<12000$
$n=18$

ขอแก้ตามที่คุณทิดมี สึกใหม่ว่า...จำนวนคู่มีทั้งหมด $n$ จำนวน
สูตรหาผลบวกของอนุกรมนี้คือ $n(n^2+1) $
$2500<n(n^2+1)<3000$
$2500<(n^3+n)<3000$
ถ้า $n=10 \rightarrow n^3+n=1010$
ถ้า $n=13 \rightarrow n^3+n=2210$
ถ้า $n=14 \rightarrow n^3+n=2758$
ถ้า $n=15 \rightarrow n^3+n=3090$
$n=14$

[banker]

http://www.mathcenter.net/forum/attachment.php?attachmentid=9058&d=1338803676

9087

ED = 39+25 - 56 = 8

สามเหลี่ยม ABD เป็นสามเหลี่ยมหน้าจั่ว มี BF แบ่งครึ่งมุม ABD จะได้ F เป็นจุดกึ่งกลางด้าน AD

ทำนองเดียวกัน จะได้ G เป็นจุดกึ่งกลางด้าน AE

GF จะขนาน ED และเป็นครึ่งหนึ่งของ ED

GF = 4 หน่วย

[ทิดมี สึกใหม่]

9202

number of paths which start with a move to the right= $\frac{(จำนวนคอลัมน์ขวามือ+จำนวนแถวขวามือ)!}{จำนวนคอลัมน์ขวามือ!xจำนวนแถวขวามือ!}$

number of paths which start with a move up $\qquad$ = $\frac{(จำนวนแถวที่เคลื่อนขึ้น+จำนวนคอลัมน์ที่เคลื่อนขึ้น)!}{จำนวนแถวที่เคลื่อนขึ้น!xจำนวนคอลัมน์ที่เคลื่อนขึ้น!}$

number of paths which start with a move to the right= $\frac{(14+10)!}{14!x10!}$ = $\frac{24!}{14!x10!}$ ......(1)
number of paths which start with a move up $\qquad$ = $\frac{(9+15)!}{9!x15!}$ = $\frac{24!}{9!x15!}$ ............(2)
:great:ตอบ ratio = $\frac{(1)}{(2)}$ = $\frac{24!x9!x15!}{24!x10!x14!}$ = $\frac{3}{2}$

[ทิดมี สึกใหม่]

9216
จาก \(\overline{abc}\)=9x\(\overline{ac}\)+4xc
เขียนรูปแบบกระจายได้ =100\(\overline{a}\)+10\(\overline{b}\)+\(\overline{c}\)=90\(\overline{a}\)+9\(\overline{c}\)+4\(\overline{c}\)

$\qquad$ $\qquad$ $\qquad$ -> 100\(\overline{a}\)+10\(\overline{b}\)+\(\overline{c}\)=90\(\overline{a}\)+9\(\overline{c}\)+4\(\overline{c}\)
$\qquad$ $\qquad$ $\qquad$ -> 10\(\overline{(a+b)}\)=12\(\overline{c}\)

สังเกตุ เทอมขวามือต้องลงท้ายด้วย 0 เสมอ แสดงว่า c=5 เท่านั้น และ 12\(\overline{c}\)=60
ทำให้คู่อันดับ (a,b)={(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1),(6,0)} เท่านั้น
ดังนั้น
$\qquad$ $\qquad$ $\qquad$ \(\overline{abc}\)=155 , 245 ,335 , 425 ,515 และ 605

[Suwiwat B]

ข้อ 3 ประเภททีมครับ

[nooonuii]

ข้อ $3$ ประเภททีมใช้ AM-GM ทีเดียวก็ออกแล้วครับ

[Suwiwat B]

ข้อ 3 sectionB ประเภทบุคคลครับ

[กิตติ]

http://www.mathcenter.net/forum/attachment.php?attachmentid=9076&d=1338805411

ลองทำตามที่คุณNoooNuiiแนะนำ

$a^2+b^2+c^2+d^2+ab+ac+ad+bc+bd+cd \geq 10(\sqrt[10]{(abcd)^5} )$
$\geq 10(\sqrt{abcd}) $
$\geq 20$

[ทิดมี สึกใหม่]

9239
9240 แบ่งพื้นที่ออกเป็น 4 ส่วน , กำหนดให้ AF=x ,FB=y ,
กำหนดให้พื้นที่ทั้งหมด = m ตารางหน่วย และ
$\quad$ หาพื้นที่ส่วนต่าง ๆ ดังนี้
9241
$\quad$ พื้นที่ BFC = $\frac{y}{x+y}$ ของ ABC =$\frac{my}{x+y}$ .....(ก)

$\quad$ พื้นที่ BFD = $\frac{k}{k+k}$ ของ BFC =$\frac{my}{2(x+y)}$ ...(1)


$\quad$ พื้นที่ FDE = 2 x พื้นที่ BFD = $\frac{my}{x+y}$ .......(2)
9242
$\quad$ พื้นที่ AFC = $\frac{x}{x+y}$ ของ ABC =$\frac{mx}{x+y}$ .....(ข)
$\quad$ พื้นที่ AFE = $\frac{2p}{2p+3p}$ ของ AFC =$\frac{2mx}{5(x+y)}$ .....(3)
9245
$\quad$ พื้นที่ ADC = $\frac{k}{k+k}$ ของ ABC =$\frac{m}{2}$ .....(ค)
$\quad$ พื้นที่ DEC = $\frac{3p}{2p+3p}$ ของ ADC =$\frac{3}{5}$ของ ADC=$\frac{3m}{10}$ .....(4)

นำพื้นที่ทั้ง 4 ส่วนมารวมกันได้ $\quad$ (1)+(2)+(3)+(4)=m

$\qquad$m =$\frac{my}{2(x+y)}$+ $\frac{my}{x+y}$+$\frac{2mx}{5(x+y)}$+$\frac{3m}{10}$

$\qquad$ $\frac{m(x+y)}{(x+y)}$ =$\frac{my}{2(x+y)}$+ $\frac{my}{x+y}$+$\frac{2mx}{5(x+y)}$+$\frac{3m(x+y)}{10(x+y)}$

$\qquad$ $\frac{10m(x+y)}{10(x+y)}$ =$\frac{5my}{10(x+y)}$+ $\frac{10my}{10(x+y)}$+$\frac{4mx}{10(x+y)}$+$\frac{3m(x+y)}{10(x+y)}$

$\qquad$ $\qquad$ $10m(x+y) = 15my +4mx+3m(x+y)$


$\qquad$ $\qquad$ $10mx+10my = 15my +4mx+3mx+3my$

$\qquad$ $\qquad$ $3x = 8y$
ดังนั้น ตอบ $\qquad$ $\qquad$ $\frac{x}{y}$=$\frac{AF}{FB}$=$\frac{8}{3}$

[ทิดมี สึกใหม่]

http://www.mathcenter.net/forum/attachment.php?attachmentid=9057&d=1338803676

ข้อ 6.จากจำนวน $n^2-n+1$ จนถึง $n^2+n+1$ มีจำนวนพจน์เท่ากับ $2n+1$
$n^2-n+1$ และ $n^2+n+1$ ต่างก็เป็นจำนวนคี่
จำนวนคู่จำนวนแรกคือ $n^2-n+2$ และจำนวนคู่ท้ายคือ $n^2+n$ จะมีจำนวนพจน์เท่ากับ $2n-1$
สูตรหาผลบวกของอนุกรมนี้คือ $\frac{(2n-1)(n^2+1)}{4} $
$10000<(2n-1)(n^2+1)<12000$
$n=18$
จำนวนพจน์ของเลขคู่น่าจะเป็นดังนี้นะครับ ไม่รู้เข้าใจถูกหรือเปล่า
จำนวนพจน์ทั้งหมดของเลขคู่ =$\frac{จำนวนคู่สุดท้าย -จำนวนคู่ตัวแรก}{2} $+1
$\qquad$ $\qquad$ $\qquad$ $\qquad$=$\frac{(n^2+n)-(n^2-n+2)}{2} $+1
$\qquad$ $\qquad$ $\qquad$ $\qquad$=$n$

[กิตติ]

เดี๋ยวขอกลับไปแก้ืที่คิดไว้ เป็นไปตามที่คุณทิดมี สึกใหม่ช่วยดูให้ ขอบคุณครับ

[math ninja]

ข้อ 3 บุคคล part A ตอบ 42
ช่วงแรก 15 วิ
ช่วงที่ 2 12 วิ
ช่วงที่ 3 9 วิ
ช่วงที่ 4 6 วิ
รวมเป็น 42 วิ
ข้อ 5 บุคคล part A ตอบ 84
แยกกรณีเอา
ข้อ 10 บุคคล part A ตอบ 87
ใช้วาดแผนผังเซต แล้วตั้งสมการหาเอา
น้อยสุดคือ 87

[math ninja]

ช่วยคิดข้อ 11 บุคคล part A และข้อ 2 บุคล part B ที:please::please::please::please::confused:

[Suwiwat B]

ข้อ 11 ผมคิดเเบบนี้นะครับ
โจทย์ต้องการค่าน้อยสุดของ $\displaystyle\sum_{1\leqslant i<j\leqslant 2011 }^{}(a_i a_j)$
$$= \frac{1}{2}[(\sum_{i = 1}^{2011}a_i)^2 - \sum_{i = 1}^{2011}(a_i)^2 ]$$
ดังนั้น ค่าจะน้อยสุดก็ต่อเมื่อ $\displaystyle(\sum_{i = 1}^{2011}a_i)^2$ น้อยสุด เเละ $\displaystyle\sum_{i = 1}^{2011}(a_i)^2$ มากสุด คิดได้สองกรณี
กรณีที่ 1 :$\displaystyle (\sum_{i = 1}^{2011}a_i)^2 $เป็น$ 0$ จะได้ว่ามันจะต้องมี$ 0$ อยู่ 1 ตัวเเละ $1$ กับ$ -1$ เป็น$จำนวนเท่ากัน$ เพื่อทำให้$\displaystyle \sum_{i = 1}^{2011}(a_i)^2$ มีค่าสูงสุดคือ $2010 $ทำให้ค่าที่โจทย์ต้องการเป็น $$\frac{1}{2}[0-2010] = -1005$$

กรณีที่ 2 : $\displaystyle (\sum_{i = 1}^{2011}a_i)^2$ เป็น$ 1 $จะได้ว่ามันจะต้องมี$ 1$ มากกว่า $-1$ หรือ$ -1 $มากกว่า $1$ เป็นจำนวน 1 ตัว เพื่อทำให้ค่า $\displaystyle \sum_{i = 1}^{2011}(a_i)^2$ มีค่าสูงสุดคือ$ 2011 $ทำให้ค่าที่โจทย์ต้องการเป็น $$\frac{1}{2}[1-2011] = -1005$$

จากทั้งสองกรณีจะได้ว่าค่าต่ำสุดของ $\displaystyle\sum_{1\leqslant i<j\leqslant 2011 }^{}(a_i a_j)$ คือ $-1005$

[math ninja]

ข้อ 6 ทีม ตอบ 999981 ถึง 1000018
ใช่เปล่า

[gnap]

http://www.mathcenter.net/forum/attachment.php?attachmentid=9060&d=1338803704

$2^{\color{red}{5}} + 7 ^{\color{red}{2}} = \color{red}{3}^4$

$xyz = 5 \times 2 \times 3 = 30$

ข้อนี้นั่งแทนอย่างเดียวใช่มั้ยครับ
หรือมีวิธีอื่น:confused:

[banker]

http://www.mathcenter.net/forum/attachment.php?attachmentid=9063&d=1338803704

11522

ยังคิดวิธีไม่ออก เล็งไปเล็งมา

ถ้าวงกลมทั้งสองเท่ากัน และผ่านจุดศูนย์กลางซึ่งกันและกัน

มุม C ก็น่าจะเท่ากับ 60 องศา

[pont494]

ช่วยแปลโจทย์ประเภทเดี่ยว ตอนแรก ข้อ 5 ตอนสอง ข้อ 2 ผมอ่านไม่เข้าใจเลยครับ
และช่วยแสดงวิธีทำ ตอนแรก ข้อ 12 ให้ละเอียดหน่อยได้ไหมครับ ผมไม่ค่อยเข้าใจ
กับตอนสอง ข้อ 3 ให้หน่อยครับ ขอบคุณมากนะครับ

[computer]

ข้อ 5 ตอนแรก
ให้หาจำนวนวิธีซื้อลูกแก้ว 1 ถุง (ใน 1 ถุงมีลูกแก้ว 10 ลูก) โดยที่ในถุงนั้นต้องมีลูกแก้วครบทุกสี (มี 4 สี)

ประมาณว่าถ้าจะซื้อลูกแก้วตามเงื่อนไขดังกล่าวจะซื้อได้กี่ถุงที่ต่างกันนะค่ะ


stars & bars

[pont494]

ขอบคุณครับ
ตามที่คุณ computer บอกตอบ C(9,3)

[lek2554]

http://www.mathcenter.net/forum/attachment.php?attachmentid=9061&d=1338803704

ข้อ A) หมายความว่ามีคนใช้แหล่งข่าวแต่ละชนิดอย่างละ 50 คน ใช่ไหมครับ

ผมทำตามนี้ ได้ $e=-35$ แสดงว่าโจทย์ไม่เป็นจริงหรือเปล่าครับ
17695

ผมเจอใน AOPS
คนหนึ่งตอบ 87 http://artofproblemsolving.com/community/c3h567959p3329536
อีกคนหนึ่งตอบ 148 http://artofproblemsolving.com/community/q2h448220p2523005

[Amankris]

as well as แปลว่า และ ครับ

ข้อนี้ได้ $86\le N\le148$

[lek2554]

ขอบคุณ คุณ Amankris มากครับ ผมแปลโจทย์ผิดนี่เอง

ต้องแปลว่า "มี 50 คนใช้ทีวีและใช้แหล่งอื่นด้วย" ซึ่งหมายถึง $b+d+e=50$ ถูกไหมครับ

ลองทำใหม่ใช้รูปเดิม

$b+d+e=50$
$a+d+g=61$
$a+b+c=13$
$b+d+e+f=74$
$2a+2b+c+2d+e+f+g=61+13+74=148$
$N+a+b+d=148$
$N=148-(a+b+d)$ โดยที่ $0≤a≤11$ และ $0≤b+d≤50$

ดังนั้น $87\leqslant N\leqslant 148$

ผมหาเลข 86 ไม่เจอครับ

[Amankris]

โดยที่ $0≤a≤11$

ผมคิดว่าข้อความนี้ไม่จริงนะครับ

[lek2554]

เอาใหม่ครับ

$N=148-(a+b+d)$ โดยที่ $0≤a+b≤13,0≤b+d≤50$ และ $0≤a+d≤61$

$N$ จะมีค่าน้อยสุดเมื่อ $a,b$ และ $d$ มีค่ามากที่สุด

ถ้า $a=13$ จะได้ $b_{max}=0$ และ $d_{max}=48$ ดังนั้น $N=148-13-48=87$

ถ้า $a=12$ จะได้ $b_{max}=1$ และ $d_{max}=49$ ดังนั้น $N=148-12-1-49=86$

ถ้า $a=11$ จะได้ $b_{max}=2$ และ $d_{max}=48$ ดังนั้น $N=148-11-2-48=87$

ถ้า $a=10$ จะได้ $b_{max}=3$ และ $d_{max}=47$ ดังนั้น $N=148-10-3-47=88$

ถ้า $a=9$ จะได้ $b_{max}=4$ และ $d_{max}=46$ ดังนั้น $N=148-9-4-46=89$

จะเห็นว่า ถ้า $a$ มีค่าน้อยลง จะได้ $N$ มีค่ามากขึ้น

ดังนั้น $N$ มีค่าน้อยที่สุดเท่ากับ $86$

ขอบคุณอีกครั้งครับ คุณ Amankris