มาร่วมกันเฉลย PAT 1 มี.ค. 2555 กันครับ ^^

[Relaxation]

http://image.free.in.th/z/il/1yan2.jpghttp://image.free.in.th/z/id/psiv3.jpghttp://image.free.in.th/z/ii/5df94.jpg
http://image.free.in.th/z/iq/db8r5.jpg
http://image.free.in.th/z/it/uira6.jpg
http://image.free.in.th/z/ix/n8cr7.jpg
http://image.free.in.th/z/iz/dh4d8.jpg
http://image.free.in.th/z/ih/cwrl9.jpg
http://image.free.in.th/z/ik/nn910.jpg
http://image.free.in.th/z/ic/pd211.jpg
http://image.free.in.th/z/ip/2cf12.jpg
http://image.free.in.th/z/ij/e9213.jpg
http://image.free.in.th/z/it/yvb14.jpg
http://image.free.in.th/z/iv/19715.jpg
http://image.free.in.th/z/ib/jio16.jpg
http://image.free.in.th/z/iv/zry17.jpg
http://image.free.in.th/z/is/awf18.jpg
http://image.free.in.th/z/ia/uwx19.jpg
http://image.free.in.th/z/ic/zbv20.jpg
http://image.free.in.th/z/iw/rt021.jpg
http://image.free.in.th/z/ib/nfg22.jpg
http://image.free.in.th/z/il/muw23.jpg
http://image.free.in.th/z/ic/avr24.jpg
http://image.free.in.th/z/ih/dcm25.jpg
http://image.free.in.th/z/iu/cuq26.jpg
http://image.free.in.th/z/in/xgm27.jpg
http://image.free.in.th/z/iz/px428.jpg
http://image.free.in.th/z/iq/bw629.jpg
http://image.free.in.th/z/iy/pbo30.jpg

ครบแล้วครับ CREDIT : จาก นาย อั๋น พูดว่า ในกลุ่ม คณิตมัธยมปลาย https://www.facebook.com/groups/399935686699873/ ครับ ^^

[กิตติ]

ข้อ11.$\log(\sqrt{x+1}+5 )=\log x$
เนื่องจาก $\log$ เป็นฟังก์ชั่น 1-1 ดังนั้นจับเ่ท่ากันได้
$\sqrt{x+1}+5= x$ และ $x>0$
$\sqrt{x+1}=x-5$
$x+1=x^2-10x+25$
$x^2-11x+24=0$
ผลคูณของสมาชิกของเซต $A$ คือ $24$

$\log_2(3x)+\log_4(9x)+\log_8(27x)=3+2\log_64(x)$
$\log_2\left(\,(3x)(\sqrt{9x})(\sqrt[3]{27x} )\right)=\log_2(8\sqrt[3]{x} ) $
เนื่องจาก $\log$ เป็นฟังก์ชั่น 1-1 ดังนั้นจับเ่ท่ากันได้
$\sqrt[3]{x} (27\sqrt{x^3}-8)=0$ แต่ $x\not= 0$
$27\sqrt{x^3}-8=0$
$x=\frac{4}{9} $

ผลคูณของสมาชิกทั้งสองคือ $\frac{96}{9} $

แก้คำตอบ
ข้อนี้โดนดักหลุมเบ้อเร้อเลย ขอบคุณคุณPasser-byที่เช็คคำตอบของ $x^2-11x+24=0$ ว่าใช้ได้ค่าเดียว ผมชอบลืมการตรวจคำตอบที่ได้จากการยกกำลังของสมการ
โดนดักไปข้อหนึ่ง ข้อนี้เหลือคำตอบคือ $\frac{32}{9}$

[banker]

มาหาโจทย์ที่ม.ต้นพอทำได้

9405

9406

โดยปิธากอรัส c = 19

ความยาวรอบรูป = 19+19+2+5 = 45 หน่วย



ลืมไปว่า ถ้าเป็น ม.ปลาย ใช้กฏcosine ได้นี่นา

$c^2 = 5^2 + (c+2)^2 - 2\cdot 5 (c+2)cos60^\circ $

$c = 19$

[poper]

มาเลือกข้อง่ายๆทำก่อน อิอิ
9407


$$\bigg(\frac{3}{5}\bigg)^{(5x^2-23x+3)}>\bigg(\frac{3}{5}\bigg)^{-(x+5)}$$
เนื่องจากฐานน้อยกว่า $1$ ดังนั้น
$5x^2-23x+3<-(x+5)$
$5x^2-22x+8<0$
$(5x-2)(x-4)<0$
$\therefore \frac{2}{5}<x<4$


1. $\frac{1}{5}<x<3$
2. $\frac{1}{4}<x<4$
3. $\frac{1}{2}<x<5$
4. $-1<x<3$

ตอบข้อ 2.

[poper]

9408

ก. $b^2=ac$ take log ฐาน $x$ ทั้งสองข้างจะได้
$$2log_xb=log_xa+log_xc$$ $$2\frac{1}{log_bx}=\frac{1}{log_ax}+\frac{1}{log_cx}$$ $$2(log_ax)(log_cx)=(\log_bx)(log_cx)+(log_bx)(log_ax)$$ $$(log_ax\cdot log_cx)-(\log_ax\cdot log_bx)=(log_bx\cdot log_cx)-(log_ax\cdot log_cx)$$ $$log_ax(log_cx-log_bx)=log_cx(log_bx-log_ax) $$ $$log_ax(log_bx-log_cx)=log_cx(log_ax-log_bx)$$ จริง

ข. $a^2=c^2-b^2=(c+b)(c-b)$ take log ทั้งสองข้าง จะได้
$$2loga=log(c+b)+log(c-b)$$ $$2=log_a(c+b)+log_a(c-b)$$ $$2=\frac{1}{log_{(c+b)}a}+\frac{1}{log_{(c-b)}a}$$ $$2(log_{(c+b)}a)(log_{(c-b)}a)=log_{(c+b)}a+log_{(c-b)}a$$ จริง

ตอบข้อ 1.

[poper]

9409

เส้นตรง $AB : y-1=\frac{4}{3}(x+1)$ ดังนั้น เส้นตรง $CD : y+3=-\frac{3}{4}(x-2)$
แก้สมการหาจุดตัด ได้ $D\bigg(-\frac{46}{25},-\frac{3}{25}\bigg)$

จะได้ $$\overrightarrow{AD} =\bigg(-\frac{46}{25}+1\bigg)i+\bigg(-\frac{3}{25}-1\bigg)j$$ $$=-\frac{21}{25}i-\frac{28}{25}j=-\frac{7}{25}(3i+4j)$$

ตอบข้อ 3.

[banker]

9410


$a*(b*c) = a*(b^c) = a^{b^c}$
$(a*c)*b = (a^c)*b = (a^c)^b = a^{bc}$
ข้อ 1 ผิด


$(a*b)*c = (a^b)*c = (a^b)^c = a^{bc}$
$a*(bc) = a^{bc}$

ข้อ 2 ถูก

[banker]

9411



$ = (310 \times (10a+b)) - (465 \times (10b+a)) = 2790 $

$a= 2b$ จะได้

$ = (310 \times (20b+b)) - (465 \times (10b+2b)) = 2790 $

$b = 3, \ \ \to \ a = 6$

$a+b = 9$

[banker]

9412

1417-1059 = 358
2312 - 1059 = 1253
2312 -1417 = 895

หรม. ของ 358, 1253, 895 เท่ากับ 179 ---> = d

179 หาร 1059 เหลือเศษ 164 ---> = r

d+r = 179+164 = 343

[banker]

9413

$b = \sqrt{2\sqrt{2\sqrt{2\sqrt{2...} } } } $

$b^2 = 2b \ \ \to \ b = 2$


$c = \sqrt{2} + \sqrt{3} = 1.414 +1.732 = 3.146$



$a = \sqrt{7+4\sqrt{3} } = \sqrt{(2+\sqrt{3} )^2} = 2 + \sqrt{3} = 2 + 1.732 = 3.732 \ $

ดังนั้น a > c > b

ดังนั้น $\frac{1}{b} > \frac{1}{c} > \frac{1}{a}$

[banker]

9414

ข้อนี้ไม่รู้คิดยังไงเหมือนกัน

ลองจัดเรียงตัวเลขใหม่ได้ดังนี้

3, 3, 3, 5, 6, 11

จะเห็นว่า ไม่ว่า x จะเป็นเท่าไร ฐานนิยมต้องเป็น 3 เสมอ

ถ้า $x \leqslant 3 \ $ มัธยฐานจะเท่ากับ 3

ถ้า $ x = 4 \ $ มัธยฐานจะเท่ากับ 4 และค่าเฉลี่ยเลขคณิต เท่ากับ 5 ได้มา 1 ชุด

ถ้า $ x \geqslant 5 \ $มัธยฐานจะเท่ากับ 5 ซึ่ง ค่าเฉลี่ยเลขคณิตต้อง เท่ากับ 7 จึงจะได้ลำดับเลขคณิต 3, 5, 7

ค่าเฉลี่ยเลขคณิตต้อง เท่ากับ 7, $ \ \ $ x เท่ากับ 18

สรุป
x = 4 --> ฐานนิยมเป็น 3, มัธยฐานเท่ากับ 4, ค่าเฉลี่ยเลขคณิต เท่ากับ 5
x = 18 --> ฐานนิยมเป็น 3, มัธยฐานเท่ากับ 5, ค่าเฉลี่ยเลขคณิต เท่ากับ 7

ผลบวกของสมาชิกของ s = 4 +18 = 22

[poper]

9415

จาก $A^2=I$

\(\pmatrix{1&x\\y&-1}\pmatrix{1&x\\y&-1}\)=\(\pmatrix{1+xy&0\\0&xy+1}\)=\(\pmatrix{1&0\\0&1}\)
ดังนั้น $xy=0$

จาก $AB=2C$ จะได้ว่า $B^{-1}=\frac{1}{2}C^{-1}A$

$detB^{-1}=det\bigg[\frac{1}{2}C^{-1}A\bigg]=\frac{1}{4}det(C^{-1})\cdot det(A)=\frac{1}{4}(-1)(-1)=\frac{1}{4}=0.25$

ตอบข้อ 1.

[poper]

9416

จาก $f''(x)=2x+1$
$\int f''(x)dx=f'(x)=x^2+x+c$ จาก $f'(2)=2$ จะได้ $c=-4$
ดังนั้น $f'(x)=x^2+x-4$
ความชันที่จุด $x=1$ คือ $f'(1)=-2$

$\therefore $ สมการเส้นตั้งฉากกับเส้นสัมผัสคือ
$y-3=\frac{1}{2}(x-1)$
$y=\frac{1}{2}x+\frac{5}{2}$

ตอบข้อ 2.

[poper]

9417

จาก $$f(x)=\frac{ax+1}{x^2+1}$$ $$f'(x)=\frac{-ax^2-2x+a}{(x^2+1)^2}$$
ดังนั้น $$g(x)=\frac{-ax^2-2x+a}{x^2+1}$$

จาก $h(x)$ ต่อเนื่องที่ $x=2$ ดังนั้น
$f(2)=g(2)$
แก้สมการจะได้ $a=-1$
ดังนั้น

\(h(x)=\cases{\frac{-x+1}{x^2+1}& ,x\geqslant 2\\ \frac{x^2-2x-1}{x^2+1}& ,x<2}\)

$2h(-2)-h(2)=3$

ตอบข้อ 4.

[poper]

9418

$$g(x)=[f(x)-1]^2+4$$
$$g'(x)=2[f(x)-1]f'(x)$$
$$g'(1)=2[f(1)-1]f'(1)$$
$$1=2[f(1)-1](1)$$
$$f(1)=1.5$$

ตอบข้อ 2.

[poper]

9419

ก.
$|u-v|^2=|u|^2-2|u||v|cos\theta+|v|^2<|u|^2+|v|^2$

ข้อ ก. ผิด

ข.
$u$ และ $v$ ตั้งฉากกัน ดังนั้น $u\cdot v=0$
$|u-v|^2=|u|^2-2u\cdot v+|v|^2=|u|^2+|v|^2$

ข้อ ข. ถูก

ตอบข้อ 3.

[poper]

9420

ก.
$$\sum_{n=1}^{\infty}\bigg(\frac{a^n+b^n}{(a+b)^n}\bigg)=\sum_{n=1}^{\infty}\bigg(\frac{a}{a+b}\bigg)^n+\sum_{n=1}^{\infty}\bigg (\frac{b}{a+b}\bigg)^n$$ $$=\frac{\frac{a}{a+b}}{1-\frac{a}{a+b}}+\frac{\frac{b}{a+b}}{1-\frac{b}{a+b}}$$ $$=\frac{a}{b}+\frac{b}{a}=\frac{a^2+b^2}{ab}$$

ข้อ ก. ถูก

ข.
$$\frac{s_n}{s_m}=\frac{n(a_1+a_n)}{m(a_1+a_m)}=\frac{n^2}{m^2}$$ $$m(a_1+a_n)=n(a_1+a_m)$$ $$m(2a_1+(n-1)d)=n(2a_1+(m-1)d)$$ $$2(m-n)a_1=(m-n)d$$
$\therefore 2a_1=d$
$$\frac{a_m}{a_n}=\frac{a_1+(m-1)d}{a_1+(n-1)d}=\frac{2ma_1-a_1}{2na_1-a_1}=\frac{2m-1}{2n-1}$$

ข้อ ข. ถูก

ตอบข้อ 1.
(แก้ไขวิธีทำให้ถูกต้องแล้ว ขอบคุณท่าน หยินหยางมากครับ:please:)

[poper]

9421

เซต $A$ ใช้แยกกรณีเอาครับ

1. $x<-\frac{1}{3}$
$$3(-x+1)-2x>2(-3x-1)$$ $$x>-5$$ ดังนั้น $-5<x<-\frac{1}{3}$
เลือกที่เป็นจำนวนเต็มได้ $\{-4,-3,-2,-1\}$

2. $-\frac{1}{3}\leqslant x<1$
$$3(-x+1)-2x>2(3x+1)$$ $$x<\frac{1}{11}$$ ดังนั้น $-\frac{1}{3}\leqslant x<\frac{1}{11}$
เลือกที่เป็นจำนวนเต็มได้ $\{0\}$

3. $x\geqslant 1$
$$3(x-1)-2x>2(3x+1)$$ $$x<-1$$ ดังนั้น $\phi$

$\therefore A=\{-4,-3,-2,-1,0\}$

เซต $B$ แก้อสมการตามปกติ
$$x(x+2)(x+1)^2<0$$ $$x(x+2)<0\ \ x\not=-1$$ ดังนั้น $-2<x<-1\cup -1<x<0$ ไม่ได้บอกว่าเป็นจำนวนเต็ม ดังนั้น $B=(-2,0)\cup (-1,0)$

ตอบข้อ 1.
:แก้ไขแล้วครับ

[poper]

9422

ก.
$$|x|y+y-x-1=0$$ $$y(|x|+1)=x+1$$ $$y=\frac{x+1}{|x|+1}$$
เมื่อ $x<0$ $\ \ y=\frac{x+1}{1-x}$
เมื่อ $x\geqslant 0$ $\ \ y=1$

ดังนั้น \(y=\cases{\frac{x+1}{1-x}&,x<0\\1&,x\geqslant 0}\)
$D_r=R$
ข้อ ก. ผิด

ข.
เนื่องจาก $r$ ไม่เป็นฟังก์ชัน $1-1$ ดังนั้น $r^{-1}$ ไม่เป็นฟังก์ชัน
ข้อ ข. ผิด

ตอบข้อ 4.

[lek2554]

ข้อ 3. เซต $B$ ท่านณัฐพงษ์ลืมอะไรหรือเปล่าครับ

ข้อ 15. ข้อ ข. ถ้าเป็นโจทย์ที่ให้แสดงวิธีทำ แล้วให้ผมตรวจ ผมจะไม่ให้คะแนนครับ เพราะถือว่าเป็นการอ้างที่ไม่สมเหตุสมผล ผิดหลักเกณฑ์ทางคณิตศาสตร์

$\frac{x}{y} =\frac{2}{3} \rightarrow x=2 \wedge y=3$

แต่ถ้าจะเอาแค่คำตอบ ก็พอจะกล้อมแกล้ม ไปได้ครับ :)

ข้อ 4. ถ้า $r$ ไม่เป็นฟังก์ชัน $1 -1$ แล้ว $r^{-1}$ ฟังก์ชัน ได้หรือไม่ครับ

ข้อ 14. 9419

ก.
$|u-v|^2=|u|^2-2|u||v|cos\theta+|v|^2<|u|^2+|v|^2$



จริงหรือปล่าวครับ

[กระบี่เดียวดายแสวงพ่าย]

9421



เซต $B$ แก้อสมการตามปกติ
$$x(x+2)(x+1)^2<0$$ $$x(x+2)<0$$ ดังนั้น $-2<x<0$ ไม่ได้บอกว่าเป็นจำนวนเต็ม ดังนั้น $B=(-2,0)$

ตอบข้อ 3.
ถ้าอย่างนั้นเซตB มี-1เป็นคำตอบด้วยหรือครับ
แทนx=-1 ได้ 0<0นะครับ

[poper]

9423

สมการเส้นตรง 3 เส้นคือ
$y=-\frac{1}{2}+3$---(1)
$y=-2x+8$-----(2)
$y=x+1$----(3)
วาดกราฟ และหาจุดตัด ได้ตามภาพ
9425

$P=3x+2y$ มีค่าสูงสุดที่ $P(\frac{10}{3},\frac{4}{3})=\frac{38}{3}$

ตอบข้อ 3.

[poper]

ถ้าอย่างนั้นเซตB มี-1เป็นคำตอบด้วยหรือครับ
แทนx=-1 ได้ 0<0นะครับ

ลืมไปครับผม ทำเยอะๆ แล้วชักมึน
แก้ไขแล้วนะครับ ขอบคุณท่าน กระบี่เดียวดายแสวงพ่าย และท่านlek2554 ที่ช่วยตรวจครับ
:please::please:

[poper]

ข้อ 3. เซต $B$ ท่านณัฐพงษ์ลืมอะไรหรือเปล่าครับ
แก้แล้วนะครับ

ข้อ 15. ข้อ ข. ถ้าเป็นโจทย์ที่ให้แสดงวิธีทำ แล้วให้ผมตรวจ ผมจะไม่ให้คะแนนครับ เพราะถือว่าเป็นการอ้างที่ไม่สมเหตุสมผล ผิดหลักเกณฑ์ทางคณิตศาสตร์

$\frac{x}{y} =\frac{2}{3} \rightarrow x=2 \wedge y=3$

แต่ถ้าจะเอาแค่คำตอบ ก็พอจะกล้อมแกล้ม ไปได้ครับ :)
ถ้าพอกล้อมแกล้มได้ก็แสดงว่าคำตอบถูก
ถ้ายังไงรบกวนท่านเล็กแสดงวิธีที่ถูกต้องด้วยได้มั้ยครับ เพราะผมคิดนานมากเลยข้อนี้

ข้อ 4. ถ้า $r$ ไม่เป็นฟังก์ชัน $1 -1$ แล้ว $r^{-1}$ ฟังก์ชัน ได้หรือไม่ครับ
ข้อนี้ไม่น่าจะได้นะครับ หรือยังไงแนะนำด้วยครับ

ข้อ 14.
$|u-v|^2=|u|^2-2|u||v|cos\theta+|v|^2<|u|^2+|v|^2$
จริงหรือปล่าวครับ
อันนี้ไม่แน่ใจครับผมลองคิดเอาจาก $a+b-1<a+b$ ง่ายๆแบบเนี้ยครับ:haha:

[banker]

9428

\[\begin{array}{l}
อายุ & จำนวน & รวมอายุ & รวมอายุ \\
21 - 25 & 9 & 23x9 & 207 \\
26 - 30 & 8 & 28x8 & 224 \\
31 - 35 & 7 & 33x7 & 231 \\
36 - 40 & 13 & 38x13 & 494 \\
41 - 45 & 6 & 43x6 & 258 \\
46 - 50 & 7 & 48x7 & 336 \\


\end{array} \]

ค่าเฉลี่ยเลขคณิต = $\dfrac{207+224+231+494+258+336}{50} = 35$

[banker]

9427

$s = \sqrt{\dfrac{\sum_{(x- \bar x)^2} }{n}} $

$5 = \sqrt{\dfrac{\sum_{(x- \bar x)^2} }{30}} $

$ \sum_{(x- \bar x)^2} = 30 \times 25 = 750 $

คนมาเพิ่ม 2 คน ค่าเฉลี่ยเลขคณิตยังเท่าเดิม $ \ \frac{20+30}{2} = 25$

$s = \sqrt{\dfrac{750 + (20-25)^2 + (30-25)^2 }{32}} $

$s = 5$

[banker]

9429

9430

$m+x+z \leqslant 70$ .......(*)

$m+y+x \leqslant 75$ .......(**)

$m+y+z \leqslant 80$ .......(***)


รวม $ \ 3m+2x+2y+2z \leqslant 225$

ถ้า $m = 1 \to \ x+y+z = 111 \ \to (m+x+y+z > 100) \ \to invalid $

ถ้า $m = 3 \to \ x+y+z = 108 \ \to (m+x+y+z > 100) \ \to invalid $

ถ้า $m = 5 \to \ x+y+z = 105 \ \to (m+x+y+z > 100) \ \to invalid $
.
.
.
ถ้า $m = 25 \to \ x+y+z = 75 \ \to (m+x+y+z = 100 ) \ \to \color{blue}{valid} $

ถ้า $m = 27 \to \ x+y+z = 72 \ \to (m+x+y+z = 99 ) \ \to \color{blue}{valid} $

ถ้า $m = 29 \to \ x+y+z = 69 \ \to (m+x+y+z = 98 ) \ \to \color{blue}{valid} $

ถ้า $m = 31 \to \ x+y+z = 66 \ \to (m+x+y+z = 97 ) \ \to \color{blue}{valid} $

ต้องมีสมาชิกอย่างน้อย 25 คนที่ชอบอ่านทั้งสามรายการ
9431

[banker]

9432

ข้อนี้ทำไม่เป็น ลองมั่วๆดู

$ax^5+bx+4 \ $หารด้วย $ \ (x-1)^2 \ $ลงตัว ก็ต้องหารด้วย $ \ x-1 \ $ลงตัว

จะได้ $ \ a+b = -4 $

พิจารณา $(x-1)^2 = x^2 -2x+1 \ $หาร $ax^5 +bx+4 \ $จะได้ $a = 1 \ \ \ $ (รายการมั่วในห้องสอบเอาคะแนน :haha:)

ก็จะได้ $ \ 1+ b = -4 \ \ \to b = -5 $

$a - b = 6$

:haha: :haha: :haha:
(สอบเข้ามหาลัยได้ ก็มั่วๆแบบนี้แหละ)


วิธีที่ถูกต้อง คงต้องรอท่านผู้รู้มาเฉลย

[banker]

9433

มามั่วต่อ :haha:

$\binom{5}{3} = 10 \ $วิธี

โอกาสที่จะไม่ได้ ก หรือ ข คือได้ ค+ง+จ มี 1 วิธี

ดังนั้นโอกาสที่จะได้ ก หรือ ข เท่ากับ $\frac{9}{10}$

[กระบี่เดียวดายแสวงพ่าย]

9432

ข้อนี้ทำไม่เป็น ลองมั่วๆดู

$ax^5+bx+4 \ $หารด้วย $ \ (x-1)^2 \ $ลงตัว ก็ต้องหารด้วย $ \ x-1 \ $ลงตัว

จะได้ $ \ a+b = -4 $

พิจารณา $(x-1)^2 = x^2 -2x+1 \ $หาร $ax^5 +bx+4 \ $จะได้ $a = 1 \ \ \ $ (รายการมั่วในห้องสอบเอาคะแนน :haha:)

ก็จะได้ $ \ 1+ b = -4 \ \ \to b = -5 $

$a - b = 6$

:haha: :haha: :haha:
(สอบเข้ามหาลัยได้ ก็มั่วๆแบบนี้แหละ)


วิธีที่ถูกต้อง คงต้องรอท่านผู้รู้มาเฉลย
ผมลองมั่วแบบนี้ครับ
ตามทฤษฎีเศษเหลือ
ตัวหาร =0
$(x-1)^2=0$
$x^2-2x+1=0$
$x^2=2x-1$
$x^4=(2x-1)^2=4x^2-4x+1=4(2x-1)-4x+1=4x-3$
$x^5=4x^2-3x=4(2x-1)-3x=5x-4$
ดังนั้น $ax^5+bx+4=a(5x-4)+bx+4=0$
$5a+b=0...(1)$
$-4a+4=0...(2)$
$a=1,b=-5$

[banker]

ผมลองมั่วแบบนี้ครับ
ตามทฤษฎีเศษเหลือ
ตัวหาร =0
$(x-1)^2=0$
$x^2-2x+1=0$
$x^2=2x-1$
$x^4=(2x-1)^2=4x^2-4x+1=4(2x-1)-4x+1=4x-3$
$x^5=4x^2-3x=4(2x-1)-3x=5x-4$
ดังนั้น $ax^5+bx+4=a(5x-4)+bx+4=0$
$5a+b=0...(1)$
$-4a+4=0...(2)$
$a=1,b=-5$


คำตอบถูกแฮะ
(อะไรจะเฮงขนาดน๊านน) :haha:

ขอบคุณครับ

[banker]

ที่พอจะทำได้ ก็คงมีแค่นั้นแหละครับ

สงสัยว่าถ้าต้องมาสอบเข้ามหาวิทยาลัย ใหม่ สงสัยปิ๋วแน่ๆ :haha:

[banker]

มาลองมั่วอีกข้อ ไม่รู้ถูกหรือเปล่า

ถ้าไม่ถูกเดี๋ยวผู้รู้มาแนะนำให้เอง ด้านๆทำไว้ แล้วจะดีเอง ผิดตรงนี้ ดีกว่าผิดในห้องสอบ :haha:

9434

$a^3 - c^2 = 4 $

$\color{blue}{2}^3 - \color{blue}{2}^2 = 4 \ \ \to \ a = 2, \ c = 2$


$2^b - d^2 = 7$

$2^{\color{blue}{4}} - \color{blue}{3}^2 = 7 \ \ \to \ b = 4, \ d = 3$

$2^{\color{blue}{5}} - {\color{blue}{5}}^2 = 7 \ \ \to \ b = 5, \ d = 5$

$2^{\color{blue}{3}} - {\color{blue}{1}}^2 = 7 \ \ \to \ b = 3, \ d = 1$


$e^3 - f^2 = -1$

$\color{blue}{2}^3 - \color{blue}{3}^2 = -1 \ \ \to \ e = 2, \ f = 3$

$\color{blue}{0}^3 - \color{blue}{1}^2 = -1 \ \ \to \ e = 0, \ f = 1$


สรุป
a = 2
b = 3, 4, 5
c = 2
d = 1, 5
e = 0, 2
f = 1, 3

แล้วจะตอบอย่างไรดีครับ

1 x 3 x 1 x 2 x 2 x1 = 12 ?

จำนวนสมาชิกของเซต s เท่ากับ 12



ดังนั้นสมาชิกของเซต s มี 2, 3, 4, 5 เท่ากับ 4 จำนวน

ตอบ สมาชิกของเซต S มี 4 จำนวนคือ 2, 3, 4, 5

[กระบี่เดียวดายแสวงพ่าย]

ผมก็มามั่ว(สุม)กับคุณอาbankerอีกทีแหละครับ

$a^3 - c^2 = 4 $

$\color{blue}{2}^3 - \color{blue}{2}^2 = 4 \ \ \to \ a = 2, \ c = 2$


$2^b - d^2 = 7$

$2^{\color{blue}{4}} - \color{blue}{3}^2 = 7 \ \ \to \ b = 4, \ d = 3$

$2^{\color{blue}{5}} - {\color{blue}{5}}^2 = 7 \ \ \to \ b = 5, \ d = 5$


$e^3 - f^2 = -1$

$\color{blue}{2}^3 - \color{blue}{3}^2 = -1 \ \ \to \ e = 2, \ f = 3$

ดังนั้นสมาชิกของเซต s มี 2, 3, 4, 5 เท่ากับ 4 จำนวน

ตอบ สมาชิกของเซต S มี 4 จำนวนคือ 2, 3, 4, 5
สมการ$2^b - d^2 = 7$
มีคำตอบเป็น $(b,d)=(3,1)$อีก $1$ ชุดไหมครับ
แล้วตรงคำถามผมว่าน่าจะถามหาคู่อันดับที่เป็นไปได้ทั้งหมดของ$(a,b,c,d,e,f)$มากกว่านะครับคุณอาbanker
$s$เป็นเซตของ ${(2,3,2,1,2,3),(2,4,2,3,2,3),(2,5,2,5,2,3)}$
แต่ผมว่าสมการ$e^3-f^2=-1$น่าจะมีอีกคำตอบครับ

[banker]

แต่ผมว่าสมการ$e^3-f^2=-1$น่าจะมีอีกคำตอบครับ

$0^3 - 1^2 = -1 \ $ หรือเปล่าครับ

แล้วคำตอบคือ 24 หรือเปล่าครับ

[banker]

9435


ข้อสุดท้ายที่พอมีลุ้น

ไปเปิดgoogle อ่านเรื่อง ลำดับเรขาคณิต ได้มาสองสูตร ค่อยๆมาแกะเอา

$r = \frac{a_n +1}{a_n } $

$a_n = a_1 r^{n-1}$

ดังนั้น $a_1 + a_1 r = 20$....(1)

$a_1 + a_1 r + a_1 r^2 + a_1 r^3 = 65 $.........(2)

จาก (1) และ (2) จะได้ $ \ r = \frac{3}{2}$

แทนค่าใน (1) จะได้ $a_1 = 8 $

ดังนั้นลำดับคือ 8, 12, 18, 27, 40.5, 60.75

ผลบวกหกพจน์แรกเท่ากับ 166.25

[กระบี่เดียวดายแสวงพ่าย]

$0^3 - 1^2 = -1 \ $ หรือเปล่าครับ

แล้วคำตอบคือ 24 หรือเปล่าครับ

$0^3 - 1^2 = -1 \ $ หรือเปล่าครับ ใช่แล้วครับ
แล้วคำตอบคือ 24 หรือเปล่าครับ ผมว่ายังไม่ใช่ครับ

[กิตติ]

http://www.mathcenter.net/forum/attachment.php?attachmentid=9432&d=1342494493

ข้อนี้อีกวิธีหนึ่งคือใช้อนุพันธ์
$ax^5+bx+4=Q(x)(x-1)^2$........(1)
$5ax^4+b=2(x-1)Q(x)+(x-1)^2Q'(x)$.......(2)
$a+b+4=0$......(3)
$5a+b=0$.....(4)
(4)-(3) $4a-4=0 \rightarrow a=1$
$b=-5$
$a-b=1+5=6$

[กิตติ]

http://www.mathcenter.net/forum/attachment.php?attachmentid=9429&d=1342492500

วิธีคล้ายๆกับป๋าBanker
A อ่านนวนิยาย ,B อ่านหนังสือพิมพ์ ,C อ่านนิตยสาร
$n(U)=100,n(A)=75,n(B)=70,n(C)=80$
$n(A\cap B \cap C)=x$
$n(A\cap B)=y$
$n(B\cap C)=z$
$n(A\cap C)=w$

http://learn2life.exteen.com/images/PicOnArticle/Math/SET001.JPG

อ่านอย่างน้อย 1 อย่างคือ ไม่มีคนที่ไม่อ่านอะไรเลย คือ $n(A\cup B \cup C)'=0$
$100=75+70+80-y-z-w+x$
$(y+z+w)-x=125$
เลข1 ในภาพคือ $75+x-y-w$
เลข2 ในภาพคือ $70+x-y-z$
เลข3 ในภาพคือ $80+x-z-w$
จะได้ว่า $75+x-y-w \geqslant 0$
$70+x-y-z \geqslant 0$
$80+x-z-w\geqslant 0$
จับบวกกันทั้งสามส่วนจะได้ว่า
$225+3x-2(y+w+z) \geqslant 0$
$225+x+2(x-(y+w+z)) \geqslant 0$
$225+x-250 \geqslant 0$
$x \geqslant 25$
ได้คำตอบเท่ากันครับ

[banker]

แล้วคำตอบคือ 24 หรือเปล่าครับ ผมว่ายังไม่ใช่ครับ


จำนวนสมาชิกของเซต s เท่ากับ 12 หรือเปล่าครับ

[lek2554]

#24

ไม่มีอะไรมากหรอกครับ ทำตามที่ท่านทำมาก็ได้ แต่ต้องสมมุติให้

$s_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}=kn^2 \ \ \ $จะได้ว่า$\ \ \ a_n=2kn-a_1$

$s_m=\frac{m(a_1+a_m)}{2}=km^2 \ \ \ $จะได้ว่า $\ \ \ a_m=2km-a_1$

$2a_1=2k$ ดังนั้น $a_1=k$

$\frac{a_m}{a_n}=\frac{2m-1}{2n-1}$

[poper]

#24

ไม่มีอะไรมากหรอกครับ ทำตามที่ท่านทำมาก็ได้ แต่ต้องสมมุติให้

$s_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}=kn^2 \ \ \ $จะได้ว่า$\ \ \ a_n=2kn-a_1$

$s_m=\frac{m(a_1+a_m)}{2}=km^2 \ \ \ $จะได้ว่า $\ \ \ a_m=2km-a_1$

$2a_1=2k$ ดังนั้น $a_1=k$

$\frac{a_m}{a_n}=\frac{2m-1}{2n-1}$

อ้อ...ขอบคุณมากครับ
:please:

[Relaxation]

9414

ข้อนี้ไม่รู้คิดยังไงเหมือนกัน

ลองจัดเรียงตัวเลขใหม่ได้ดังนี้

3, 3, 3, 5, 6, 11

จะเห็นว่า ไม่ว่า x จะเป็นเท่าไร ฐานนิยมต้องเป็น 3 เสมอ

ถ้า $x \leqslant 3 \ $ มัธยฐานจะเท่ากับ 3

ถ้า $ x = 4 \ $ มัธยฐานจะเท่ากับ 4 และค่าเฉลี่ยเลขคณิต เท่ากับ 5 ได้มา 1 ชุด

ถ้า $ x \geqslant 5 \ $มัธยฐานจะเท่ากับ 5 ซึ่ง ค่าเฉลี่ยเลขคณิตต้อง เท่ากับ 7 จึงจะได้ลำดับเลขคณิต 3, 5, 7

ค่าเฉลี่ยเลขคณิตต้อง เท่ากับ 7, $ \ \ $ x เท่ากับ 18

สรุป
x = 4 --> ฐานนิยมเป็น 3, มัธยฐานเท่ากับ 4, ค่าเฉลี่ยเลขคณิต เท่ากับ 5
x = 18 --> ฐานนิยมเป็น 3, มัธยฐานเท่ากับ 5, ค่าเฉลี่ยเลขคณิต เท่ากับ 7

ผลบวกของสมาชิกของ s = 4 +18 = 22


ได้อีกตัวนึงครับ คือ x = -10 จะได้ Mod = 3 Med = 3 และ x(bar) = 3

[กระบี่เดียวดายแสวงพ่าย]

จำนวนสมาชิกของเซต s เท่ากับ 12 หรือเปล่าครับ
งั้นผมแจงอย่างนี้นะครับคุณอาbanker
สมการ $a^3 - c^2 = 4 $ มีคำตอบที่เป็นไปได้ 1 ชุด
สมการ $2^b - d^2 = 7$ มีคำตอบที่เป็นไปได้ 3 ชุด
สมการ $e^3 - f^2 = -1$ มีคำตอบที่เป็นไปได้ 2ชุด
นำมาเขียนคู่อันดับ $(a,b,c,d,e,f)$ ได้กี่ชุดครับ

[passer-by]

ข้อ11.$\log(\sqrt{x+1}+5 )=\log x$
เนื่องจาก $\log$ เป็นฟังก์ชั่น 1-1 ดังนั้นจับเ่ท่ากันได้
$\sqrt{x+1}+5= x$ และ $x>0$
$\sqrt{x+1}=x-5$
$x+1=x^2-10x+25$
$x^2-11x+24=0$
ผลคูณของสมาชิกของเซต $A$ คือ $24$



ข้อนี้ มันมี trap เล็กน้อยครับ

ผลคูณได้ 24 ก็จริงครับ (x =3,8) แต่ x=3 แทนค่าแล้วเป็นเท็จ เหลือแต่ x=8 อย่างเดียว

[กิตติ]

ขอบคุณครับคุณPasser-by โดนดักอีกแล้ว แก้คำตอบแล้วครับ

28.$2\sin^260^\circ (\tan5^\circ +\tan85^\circ)-12\sin 70^\circ =?$

$\tan5^\circ +\tan85^\circ=\frac{\sin5^\circ}{\cos5^\circ} +\frac{\cos5^\circ}{\sin5^\circ} $
$=\frac{2}{\sin10^\circ} $

$2\sin^260^\circ (\tan5^\circ +\tan85^\circ)-12\sin 70^\circ $

$=2(\frac{\sqrt{3}}{2})^2(\frac{2}{\sin10^\circ})-12\cos 20^\circ$

$=\dfrac{3}{\sin10^\circ}-12\cos 20^\circ$

$=\dfrac{3-12\sin10^\circ\cos 20^\circ}{\sin10^\circ}$

$=\dfrac{3-6(\sin30^\circ-\sin 10^\circ)}{\sin10^\circ}$

$=6$

[กิตติ]

31.
http://learn2life.exteen.com/images/PicOnArticle/Math31.JPG

$x=0,y=2=e$
$x=1,y=5=1+a+b+c+d+2\rightarrow a+b+c+d=2$
$x=-1,y=-1=-1+a-b+c-d+2\rightarrow a-b+c-d=-2$
$a+c=0,b+d=2$
$x=2,y=8=32+16a+8b+4c+2d+2\rightarrow 2a+b=-5$

$f(3)-f(-2)=243+65a+35b+5c+5d$
$=275+5(a+b+c+d)+30(2a+b)$
$=275+10-150$
$=135$

คูณเลขผิดครับ แก้แล้วครับ

[Relaxation]

31.
http://learn2life.exteen.com/images/PicOnArticle/Math31.JPG

$x=0,y=2=e$
$x=1,y=5=a+b+c+d+2\rightarrow a+b+c+d=3$
$x=-1,y=-1=-1+a-b+c-d+2\rightarrow a-b+c-d=-2$
$a+c=0,b+d=2$
$x=2,y=8=32+16a+8b+4c+2d+2\rightarrow 2a+b=-5$

$f(3)-f(-2)=761+65a+35b+5c+5d$
$=761+5(a+b+c+d)+30(2a+b)$
$=761+15-150$
$=626$

มีที่ผิดเล็กน้อยครับ

[banker]

ได้อีกตัวนึงครับ คือ x = -10 จะได้ Mod = 3 Med = 3 และ x(bar) = 3

โจทย์กำหนด Mod $\not= $ Med $\not= \overline x $ และสามตัวนี้เป็นลำดับเลขคณิต

[Relaxation]

โจทย์กำหนด Mod $\not= $ Med $\not= \overline x $ และสามตัวนี้เป็นลำดับเลขคณิต
จริงด้วยครับผมละอ่านโจทย์พลาดไปเองขอโทษด้วยครับ :please:

[Siren-Of-Step]

31.
http://learn2life.exteen.com/images/PicOnArticle/Math31.JPG

$x=0,y=2=e$
$x=1,y=5=a+b+c+d+2\rightarrow a+b+c+d=3$
$x=-1,y=-1=-1+a-b+c-d+2\rightarrow a-b+c-d=-2$
$a+c=0,b+d=2$
$x=2,y=8=32+16a+8b+4c+2d+2\rightarrow 2a+b=-5$

$f(3)-f(-2)=761+65a+35b+5c+5d$
$=761+5(a+b+c+d)+30(2a+b)$
$=761+15-150$
$=626$

ผมทำแบบนี้ได้ไหมคับ

$x^5+ax^4+bx^3+cx^2+dx+e = x(x+1)(x-1)(x-2)(x-k) + 3x+2$
$f(3) = 24(3-k)+3(3)+2 = 72-24k+11$
$f(-2) = 24(-2-k) -4 = -48-24k-4$
$f(3)-f(-2) = 135$ ซึ่งได้ไม่ได้เท่ากันอ่าคับ

[Siren-Of-Step]

รบกวนข้อ 30,36 ด้วยครับ

[Relaxation]

รบกวนข้อ 30,36 ด้วยครับ

ข้อ 30 ใช้เรื่องสมบัติของ det เมื่อใช้การดำเนินการตามแถวครับ เช่นพวก คูณ แถวนึงด้วย K แล้ว ค่า det ใหม่ = K(detเก่า) //ผมได้ 48
ข้อ 36 จะหาลิมิตดูที่สัมประสิทธิ์กำลังสูงสุดครับ// ผมได้ 25

[banker]

9453

ข้อนี้ืทำไม่ได้หรอกครับ

$\lim_{n \to \infty} \ $คืออะไรก็ไม่รู้

แต่สนใจด้านขวา จะมาลองทำด้านขวาดู โดยใช้ความรู้ ม. ต้น

$\frac{1}{n} \left( \sqrt{1+\frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2}} + \sqrt{1+\frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2}} + ... + \sqrt{1+\frac{1}{n^2} + \frac{1}{(n+1)^2}} \right)$



$\because \ \sqrt{1+\frac{1}{n^2} + \frac{1}{(n+1)^2}} = \sqrt{\left(\dfrac{n^2+n+1}{n(n+1)}\right)^2} = \dfrac{n^2+n+1}{n(n+1)} $

$ n = 1 \ \to \ \dfrac{1^2+1+1}{1(1+1)} = \dfrac{3}{2} = 1 + \frac{1}{1\times 2} = 1 + (\frac{1}{1} - \frac{1}{2})$

$ n = 2 \ \to \ \dfrac{2^2+2+1}{2(2+1)} = \dfrac{7}{6} = 1 + \frac{1}{2\times 3} = 1 + (\frac{1}{2} - \frac{1}{3})$
.
.
.
$ n = n \ \to \ \dfrac{n^2+n+1}{n(n+1)} = ...= 1 + (\frac{1}{n} - \frac{n}{(n+1)})$


$ \therefore \ \ \frac{1}{n} \left( \sqrt{1+\frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2}} + \sqrt{1+\frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2}} + ... + \sqrt{1+\frac{1}{n^2} + \frac{1}{(n+1)^2}} \right)$

$ = \frac{1}{n} \left(n+ (1 - \frac{1}{n(n+1)}) \right )$

$ = 1 + \frac{1}{n} - \frac{1}{n^2(n+1)} $

ถ้า $n = \infty \ \ \to \ \frac{1}{n} \left( \sqrt{1+\frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2}} + \sqrt{1+\frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2}} + ... + \sqrt{1+\frac{1}{n^2} + \frac{1}{(n+1)^2}} \right) = 1$


$\lim_{n \to \infty} \ $คืออะไรไม่รู้ ถ้าเดาในห้องสอบ ก็ตอบ 1 ไว้ก่อน :haha:

ไม่รู้ว่าถูกหรือเปล่า

[yellow]

9453

ข้อนี้ืทำไม่ได้หรอกครับ

$\lim_{n \to \infty} \ $คืออะไรก็ไม่รู้

แต่สนใจด้านขวา จะมาลองทำด้านขวาดู โดยใช้ความรู้ ม. ต้น

$\frac{1}{n} \left( \sqrt{1+\frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2}} + \sqrt{1+\frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2}} + ... + \sqrt{1+\frac{1}{n^2} + \frac{1}{(n+1)^2}} \right)$



$\because \ \sqrt{1+\frac{1}{n^2} + \frac{1}{(n+1)^2}} = \sqrt{\left(\dfrac{n^2+n+1}{n(n+1)}\right)^2} = \dfrac{n^2+n+1}{n(n+1)}$






ขออนุญาตทำต่อจากป๋า


$\dfrac{n^2+n+1}{n(n+1)} = 1 + \dfrac{1}{n(n+1)} $


$\sum_{1}^{n} [1 + \dfrac{1}{n(n+1)}] = n + 1 - \dfrac{1}{n+1} $


$\lim_{n \to \infty}\dfrac{1}{n}(n+1- \dfrac{1}{n+1} ) = \lim_{n \to \infty} 1 +\dfrac{1}{n} - \dfrac{1}{n(n+1)} = 1 $

[banker]

ขอบคุณครับ

แบบ ม.ปลายนี่ เขาทำกันสั้นๆเนอะ :haha:

[กิตติ]

หวัดดีครับน้องSirens.....น้องคิดไม่ผิดหรอก ผมคิดผิดเอง วิธีของน้องสวยมากครับ สั้นดี

[กระบี่เดียวดายแสวงพ่าย]

-ข้อ 38-
$(fog)(x)+2(fog)(1-x)=6x^2-10x+17$...$(1)$
$2(fog)(x)+(fog)(1-x)=6x^2-2x+13$...$(2)$
$(1)+(2)$
ได้$3(fog)(x)+3(fog)(1-x)=12x^2-12x+30$
เอา 3 หารตลอด
$(fog)(x)+(fog)(1-x)=4x^2-4x+10$
$fo(g(x)+g(1-x))=4x^2-4x+10$
ซึ่ง $g(x)+g(1-x)=2x^2-2x+8$
$f(2x^2-2x+8)=4x^2-4x+10$
$f(x)=2x-6,f(383)=760$
ไม่แน่ใจว่าถูกไหมทำๆไปตาลายไปครับ

[กระบี่เดียวดายแสวงพ่าย]

ข้อ40
จาก $cotx=\dfrac{cosx}{sinx} ,cosecx=\dfrac{1}{sinx} ,cos2x=1-2sin^2x$
จะได้ว่า
$\dfrac{(cot^3x-1)(cosec^2x)}{1+cos2x-2sin^2x} =\dfrac{cos^3x-sin^3x}{sin^5x(2cos2x)} $
พยายามกำจัดเทอมที่ทำให้เกิด $\frac{0}{0} $
โดย$cos2x=cos^2x-sin^2x$
$\dfrac{(cot^3x-1)(cosec^2x)}{1+cos2x-2sin^2x} =\dfrac{cos^3x-sin^3x}{sin^5x(2)(cos^2x-sin^2x)} $
$=\dfrac{(cosx-sinx)(cos^2x+cosxsinx+sin^2x)}{sin^5x(2)(cosx-sinx)(cosx+sinx)}$
$=\dfrac{(cos^2x+cosxsinx+sin^2x)}{sin^5x(2)(cosx+sinx)}$
$=\dfrac{(1+cosxsinx)}{2sin^5x(cosx+sinx)}$
แทน $x=45^o$
ตอบ 3

[sahaete]

9651

ใช้รูปแบบการสมมูล
\[\begin{array}{l}
\left( {p \wedge \sim q} \right) \vee \sim p \equiv \left( {p \vee \sim p} \right) \wedge \left( { \sim q \vee \sim p} \right)\\
\quad \quad \quad \quad \quad \quad \equiv \quad \quad T\quad \wedge \left( { \sim q \vee \sim p} \right)\\
\quad \quad \quad \quad \quad \quad \equiv \sim q \vee \sim p\\
\left( {r \vee s} \right) \wedge \left( {r \vee \sim s} \right) \equiv r \vee \left( {s \wedge \sim s} \right)\\
\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \equiv r \vee \quad F\\
\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \equiv r\\
then\quad \left( { \sim q \vee \sim p} \right) \Rightarrow r \equiv \sim \left( {q \wedge p} \right) \Rightarrow r\\
...
\end{array}\]

ตอบ ข้อ 3

[sahaete]

\[\begin{array}{l}
from\quad {A^3} = 2I\\
and\quad \left| {{A^3}} \right| = \left| {2I} \right| = {2^2}\left| I \right| = {2^3}\\
then\quad \left| A \right| = 2\\
from\quad \left| {{C^{ - 1}}} \right| = 4 \Rightarrow \left| C \right| = \frac{1}{4}\\
from\quad \left| {{B^t}C} \right| = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}
{ - 3g}&{ - 3h}&{ - 3i}\\
{ - a}&{ - b}&{ - c}\\
{2d}&{2e}&{2f}
\end{array}} \right| = \left( { - 3} \right)\left( { - 1} \right)\left( 2 \right)\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
g&h&i\\
a&b&c\\
d&e&f
\end{array}} \right|\\
and\quad \left| B \right|\left| C \right| = 6\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
a&b&c\\
d&e&f\\
g&h&i
\end{array}} \right| = 6\left| A \right|\\
then\quad \left| B \right| = 6 \times 2 \times 4
\end{array}\]

[กิตติ]

48.http://learn2life.exteen.com/images/PicOnArticle/MATH48.JPG

แทนค่าลงไปทั้งสองจุด
$5=-\left|\,1-a\right|+b$......(1)
$5=\left|\,2-c\right|-d $.......(2)
$3=-\left|\,7-a\right|+b$.......(3)
$3=\left|\,8-c\right|-d $........(4)

(3)-(1) $-2=\left|\,1-a\right|-\left|\,7-a\right|$.......(5)
(4)-(2) $-2=\left|\,8-c\right|-\left|\,2-c\right|$.......(6)
เมื่อ $a \geqslant 7 $ จะได้ว่าไม่เหลือพจน์ $a$
เมื่อ $1<a<7$ จะได้ว่า $-2=-(1-a)-(7-a)$
$a=3$
เมื่อ $1>a$ จะได้ว่าไม่เหลือพจน์ $a$

เมื่อ $c \geqslant 8 $ จะได้ว่าไม่เหลือพจน์ $a$
เมื่อ $2<c<8$ จะได้ว่า $-2=(8-c)+(2-c)$
$2c=12 \rightarrow c=6 $
เมื่อ $2>c$ จะได้ว่าไม่เหลือพจน์ $c$

แทนค่า $a$ ใน (1) ได้ $b=7$
แทนค่า $a$ ใน (3) ได้ $b=7$
แทนค่า $c$ ใน (2) ได้ $d=-1$
แทนค่า $c$ ใน (4) ได้ $d=-1$

$a+b+c+d=3+7+6-1=15$

[banker]

งั้นผมแจงอย่างนี้นะครับคุณอาbanker
สมการ $a^3 - c^2 = 4 $ มีคำตอบที่เป็นไปได้ 1 ชุด
สมการ $2^b - d^2 = 7$ มีคำตอบที่เป็นไปได้ 3 ชุด
สมการ $e^3 - f^2 = -1$ มีคำตอบที่เป็นไปได้ 2ชุด
นำมาเขียนคู่อันดับ $(a,b,c,d,e,f)$ ได้กี่ชุดครับ

1x3x2 = 6 ชุด ถูกหรือเปล่าครับ

[กระบี่เดียวดายแสวงพ่าย]

1x3x2 = 6 ชุด ถูกหรือเปล่าครับ
ถูกแล้วครับ
คุณอาbankerพอจะทำขอไหนได้อีกบ้างครับ

[banker]

ถูกแล้วครับ
คุณอาbankerพอจะทำขอไหนได้อีกบ้างครับ

ขอบคุณท่านกระบี่ฯที่ช่วยชี้แนะ


จากประถมมาทำ ม.ปลายนี่ก็ข้ามขั้นตอนมาแยะแล้วครับ

หืดขึ้นคอ

ที่เหลือไม่รู้เรื่องแล้วครับ :haha:

[Suwiwat B]

ข้อปรนัยที่เหลือนะครับ ไม่มั่นใจข้อ 23 นะครับ ช่วยดูให้ด้วย :please:

[Suwiwat B]

29,32,33,36 นะครับ :)

[Suwiwat B]

ต่อเนื่องเลยนะครับ 37,38 :)

[Suwiwat B]

เหลือเเค่ข้อ 46 อะครับ ไม่มั่นใจเท่าไรอะครับ ไม่เเน่ใจว่าได้ 24 หรือ 48 หรืออย่างอื่นหรือเปล่า :confused:

[กระบี่เดียวดายแสวงพ่าย]

ข้อ36 ลองตรวจทานอีกนิดนะครับ
คุณsuwiwat B

[Suwiwat B]

มองไม่ออกอะครับ ว่าผิดตรงไหน (จริงๆก็คิดไว้เเล้วว่ามันน่าจะผิด 555) ช่วยใบ้หน่อยก็ดีครับ

[lek2554]

# คุณSuwiwat B

ข้อ 23. ก. ถ้าดูด้วยตาเปล่า ก็จะเห็นว่าคะแนนของนักเรียนกลุ่มที่ 1 เกาะกลุ่มกันมากกว่าคะแนนของนักเรียนกลุ่มที่ 2

$\quad\quad\quad$ดังนั้น ความสามารถของนักเรียนกลุ่มที่ 1 มีความแตกต่างกันน้อยกว่านักเรียนกลุ่มที่ 2

$\quad\quad\quad$แต่ถ้าจะพิสูจน์ ก็ดูจาก ส.ป.ส.ของอะไรก็ได้สักตัวหนึ่ง

ข้อ 33. $a=-\frac{8}{5}$ ใช้ไม่ได้ครับ

ข้อ 36. มาช่วยยืนยัน ตอบ 24.96

ข้อ 46. ไม่ใช่ทั้ง 24 และ 48 ตอบ 528 ครับ

[art_clex]

http://image.free.in.th/z/il/1yan2.jpg

จากโจทย์
$A\cap B=B$ นั่นคือ $B\subset A$ เมื่อรวมกับข้อมูลที่ว่า $C\subset A$
เมื่อเราวาดเป็นแผนภาพจะได้
9805

จาก $B\cap C \neq \emptyset$ จะได้ว่า $d \geq 1$ ___(1)
จาก $n(A'\cup B') =10 = n (A\cap B)'=nB' $ นั่นคือ a+b+e =10 ___(2)
จาก $n(A\cap B')=n(A-B)=4 = $ นั่นคือ b+e = 4 ___(3)
จาก (2) => c+d =2
การจะสร้าง C ต้องเกิดจาก c+d และ b+e
จาก b+e = 4 จะหยิบมากี่ตัวก็ได้ ได้ $2^4$
จาก c+d = 2 เนื่องจาก $d \geq 1$ ดังนั้น หยิบมาใส่ C ได้ 3 แบบ
ดังนั้น C ที่เป็นไปได้ทั้งหมดคือ $3*2^4=48$

ปล แต่โจทย์ข้อนี้ จริงๆ แล้วในความเห็นของผม มันไม่ค่อยเคลียร์ เพราะว่า จริงๆ แล้วสมาชิกข้างนอก A ยังสามารถสับเปลี่ยนหมุนเวียน กันกับข้างใน A ได้อีกหลายกรณี ซึ่งจะทำให้คำตอบเยอะมากๆๆ แต่การทำวิธีข้างต้น มันเป็นวิธีที่ทำแล้วมีตัวเลือก

[lek2554]

ปล แต่โจทย์ข้อนี้ จริงๆ แล้วในความเห็นของผม มันไม่ค่อยเคลียร์ เพราะว่า จริงๆ แล้วสมาชิกข้างนอก A ยังสามารถสับเปลี่ยนหมุนเวียน กันกับข้างใน A ได้อีกหลายกรณี ซึ่งจะทำให้คำตอบเยอะมากๆๆ แต่การทำวิธีข้างต้น มันเป็นวิธีที่ทำแล้วมีตัวเลือก

เห็นด้วยครับ:great:

ควรจะตอบ $\binom{12}{6}\binom{6}{2}\times(2^2-1)\times 2^4$

[แม่ให้บุญมา]

#66 ข้อ 5 C>1, A<1 จะได้ A<C และตอบข้อเลือก 2 นะครับ

[Euler-Fermat]

7. ระยะห่างระหว่างโฟกัส $= 12 ,\therefore c=6$
ลาตัสเรกตัม$ = 10 $
$\therefore \frac{2b^2}{a} = 10$
$\frac{b^2}{a} = 5 $
จาก ความสัมพันธ์ $a^2=b^2+c^2 ; ได้ a^2-5a-36 = 0$
$\therefore a = 9,-4 ; a>0$
จะได้ $a = 9,b=6,c=3\sqrt{5}$
$\therefore วงรี: \frac{x^2}{81}+\frac{y^2}{45} = 1$
$5x^2+9y^2 = 405$

[Euler-Fermat]

8.$x^2+y^2-6x+4y+4=0$
$(x-3)^2+(y+2)^2 = 9 $
Focus:$(3,-2)$
Vertex :$ (0,-2)$
พาราโบลา :$ y^2=4cx = 12x$
$\therefore $Latus Rectum $= 12 $
$[VAB] = \frac{1}{2}*{12}*{3} = 18$

[แม่ให้บุญมา]

จากโพสต์#1 ที่มาของแหล่งข้อมูล
ครบแล้วครับ CREDIT : จาก นาย อั๋น พูดว่า ในกลุ่ม คณิตมัธยมปลาย https://www.facebook.com/groups/399935686699873/ ครับ ^^

เพื่อให้จำได้ง่าย ตอนนี้มีชื่อเป็นตัวอักษรแล้วครับ เพิ่งรู้วิธีเปลี่ยนเป็น
http://www.facebook.com/groups/HighSchoolMath/
ใครสนใจไปช่วยให้ความรู้นักเรียน หรือเป็นนักเรียนจะไปเรียนรู้ที่นั่นอีกแห่ง ก็เชิญสมัครเป็นสมาชิก มีไฟล์ให้download ด้วยครับ

[แม่ให้บุญมา]

ข้อ 44 ถ้าคิดตามสูตร ดังใน #69 ของคุณ Suwit จะได้คะแนนสูงสุดของนักเรียนที่ได้เกรด C =43.5
แต่ถ้าคิดว่าคะแนนไล่จากต่ำไปสูง จะตรงกับลำดับคะแนนที่ 21 และคะแนนลำดับที่ 18-27 ตรงกับช่วง 40-49 คะแนน 10 ลำดับต่างกัน 10 คะแนนพอดี ดังนั้นลำดับที่ 21 =40+(21-18)=43 คะแนนพอดี
ข้อนี้จึงไม่แน่ใจว่า 43.5 หรือ 43.0 เป็นคำตอบที่ถูกต้องกว่ากันครับ ช่วยชี้แนะด้วยครับ

[lek2554]

ข้อ 44 ถ้าคิดตามสูตร ดังใน #69 ของคุณ Suwit จะได้คะแนนสูงสุดของนักเรียนที่ได้เกรด C =43.5
แต่ถ้าคิดว่าคะแนนไล่จากต่ำไปสูง จะตรงกับลำดับคะแนนที่ 21 และคะแนนลำดับที่ 18-27 ตรงกับช่วง 40-49 คะแนน 10 ลำดับต่างกัน 10 คะแนนพอดี ดังนั้นลำดับที่ 21 =40+(21-18)=43 คะแนนพอดี
ข้อนี้จึงไม่แน่ใจว่า 43.5 หรือ 43.0 เป็นคำตอบที่ถูกต้องกว่ากันครับ ช่วยชี้แนะด้วยครับ

10 ลำดับต่างกัน 10 คะแนนพอดี

คิดยังไงครับ นับนิ้วจาก 40 ไป 49 หรือเปล่า

ลำดับที่ 21 =40+(21-18)=43 คะแนนพอดี

ทำไมถึงใช้ 40 เป็นตัวเริ่มนับคะแนน และ (21- 18) คืออะไร

ปล. การคิดช่วงคะแนน ใช้เทียบบัญญัติไตรยางศ์ครับ (ลองศึกษาเพิ่มเติมเกี่ยวกับ ตำแหน่งของข้อมูล ขอบบน ขอบล่าง)

คำตอบ 43.5 ถูกแล้วครับ

[แม่ให้บุญมา]

ขอบคุณคุณl ek2554 ครับ ตามสูตรได้ 43.5 แต่ผมคิดแบบลูกทุ่ง คือ นักเรียน 10 คนสอบได้คะแนน 40-49 นับต่อเป็นลำดับที่ 17+1 ถึง 17+10 หรือที่ 18 - 27 ถ้าคิดง่าย ก็ ต่างกันลำดับละ 1 พอดี ที่18 ได้ 40, ที่19 ได้ 41, ที่20 ได้ 42, ที่21 ได้ 43,...,ที่27 ได้ 49
แต่คงไม่นิยมเพราะต้องการให้ใช้สูตรสำหรับกรณีทั่วๆไปที่ลำดับที่เพิ่มขึ้นกับคะแนนที่เพิ่มขึ้น ไม่เป็นจำนวนเต็มลงตัวง่ายๆได้
ซึ่งตามสูตรจะได้ ลำดับที่ 18 ได้ 40.5, ที่ 19 ได้ 41.5, ..,ที่ 27 ได้ 49.5 คะแนน คือสูงกว่าคิดแบบง่ายๆ ไป 0.5 ทุกลำดับในช่วงนี้

[แม่ให้บุญมา]

ตาม #69 ข้อ 44 ตอบ 43.5
ข้อ 45 น่าจะตอบ 33 ครับ

[แม่ให้บุญมา]

ข้อ 41 ใน#69 ใช้สูตรกระทัดรัดดี แต่ส่วนใหญ่คงดูไม่ออกว่าคิดมาได้อย่างไร คงต้องรอคุณ Suwiwat B หรือใครมาอธิบายสูตรเด็ดนั่น
ผมเลยลองอีกวิธีหนึ่ง ที่ได้คำตอบเหมือนกันแต่ยืดยาว แต่ก็ยังดีกว่าแจงไปทุกกรณี ซึ่งมี 22 กรณีด้วยกัน
ถ้า a=0 b+c+d =4 ถ้าเป็น 004 จัดเรียงได้ 3 วิธี, 013 ได้ 3!=6 วิธี, 022 ได้ 3 วิธี, 211 ได้ 3 วิธี รวม 3+6+3+3=15 วิธี
ถ้า a=1 b+c+d =2 ถ้าเป็น 002 จัดเรียงได้ 3 วิธี, 011 ได้ 3 วิธี รวม 3+3=6 วิธี
ถ้า a=2 b+c+d =0 ถ้าเป็น 000 ได้ 1 วิธี รวม = 15+6+1=22 วิธี

เพิ่งรู้วิธีลัด ใช้วิธี Stars and bars โดยการมองการแบ่งกลุ่ม 3 กลุ่มเหมือนการเอาไม้ 2 อันมาวางแทรกภายในแถวที่มีจำนวนหนึ่ง เนื่องจากการแบ่งแบบนี้แต่ละกลุ่มต้องได้อย่างน้อย 1 ชิ้น แต่ a,b,c เป็น 0 ได้ จึงสมมุติว่าแจกไปล่วงหน้าคนละ 1 แบ่งแล้วค่อยเอาคืนคนละ 1 จึงเพิ่มจำนวนไป 3 และจะมีช่องว่างให้แทรกเท่ากับจำนวนทั้งหมด -1 จึงต้องลบออก 1 ด้วย
ดังนั้น วิธีแทรกไม้้ 2 อันจึงทำได้ดังนี
ถ้า a=0 b+c+d =4 จะเลือกได้ =$\binom {4+3-1}{2}=15$
ถ้า a=1 b+c+d =2 จะเลือกได้ =$\binom {2+3-1}{2}= 6$
ถ้า a=2 b+c+d =0 จะเลือกได้ =$\binom {0+3-1}{2}= 1$
รวม = 22 วิธี

[แม่ให้บุญมา]

ข้อ 46 จงหาจำนวนวิธีทั้งหมดในการจัดชาย 3 คนและหญิง 3 คน ซึ่งมีนาย ก และนส ข รวมอยู่ด้วย ให้ยืนเป็นแถวตรง 2 แถวๆละ 3 คน โดยที่ นาย ก และ นส ข ไม่ได้ยืนติดกันในแถวเดียวกัน

กรณีแรก
นาย ก และ นส ข ไม่ได้อยู่ในแถวเดียวกัน
แถวนาย ก จะเลือกคนมาได้ 2 จาก 4 คน ได้ $4C_2=6$วิธี และจัดเรียงภายในแถว ได้ 3!= 6 วิธี รวม $6\times6=36$ วิธี
อีกแถวจะจัดเรียงได้ 3!= 6 วิธี
ดังนั้น กรณีแรก จะได้ จำนวนวิธีรวม= (จำนวนวิธี จัดแถวที่มีนายก )x (จำนวนวิธีจัดแถวที่ไม่มีนาย ก) x 2!(สลับแถว)= $36 \times 6 \times 2=432$ วิธี

กรณีที่สอง
นาย ก. และ นส ข. อยู่ในแถวเดียวกัน แต่ไม่ติดกัน ต้องเลือกคนอื่นมาอีก 1 คนจาก 4 คน ได้ 4 วิธี สลับหัวท้ายที่นาย ก และ นส ข.อยู่ได้ 2 วิธี รวม $4\times 2=8$ วิธี
อีกแถวหนึ่ง จัดเรียงได้ 3!=6 วิธี
รวมจำนวนวิธีจัด 2 แถวนี้ และทำการสลับแถวด้วย $=8\times 6\times 2=96$ วิธี

รวมทั้งสองกรณี จำนวนวิธีในการจัดแถว=$432+96=528$ วิธี

[kue]

9419

ก.
$|u-v|^2=|u|^2-2|u||v|cos\theta+|v|^2<|u|^2+|v|^2$

ข้อ ก. ผิด

ข.
$u$ และ $v$ ตั้งฉากกัน ดังนั้น $u\cdot v=0$
$|u-v|^2=|u|^2-2u\cdot v+|v|^2=|u|^2+|v|^2$

ข้อ ข. ถูก

ตอบข้อ 3.

ขออนุญาติ ผมเห็นอย่างนี้ครับ
ก.
$|u-v|^2<|u|^2-|v|^2$
$ \left(\,u-v \right) \bullet \left(\,u-v\right) \prec \left(\,u-v\right)\bullet \left(\,u+v\right) $
ดังนั้น ข้อ ก. ถูก

ข้อ ข. ถูก
ตอบข้อ 1.

ผิดถูกประการใด ชี้แนะด้วยครับ ^^

[lek2554]

ขออนุญาติ ผมเห็นอย่างนี้ครับ
ก.
$|u-v|^2<|u|^2-|v|^2$
$ \left(\,u-v \right) \bullet \left(\,u-v\right) \prec \left(\,u-v\right)\bullet \left(\,u+v\right) $
ดังนั้น ข้อ ก. ถูก

ข้อ ข. ถูก
ตอบข้อ 1.

ผิดถูกประการใด ชี้แนะด้วยครับ ^^

จากคำถาม ข้อ ก. สมมูลกับบรรทัดต่อมา (สีแดง)

แล้วทำไมถึงสรุปว่าข้อความนี้ถูกครับ

[kue]

จากคำถาม ข้อ ก. สมมูลกับบรรทัดต่อมา (สีแดง)

แล้วทำไมถึงสรุปว่าข้อความนี้ถูกครับ

ขออภัยครับ ... ผมไม่แม่นเรื่องสมบัติ ตอนแรกนึกว่า u - v จะตัดกันได้ทั้ง 2 ข้าง แต่ได้ไปดูสมบัติของเวกเตอร์แล้วไม่มีสมบัติของการตัดออก ดังนั้นข้อ ก. ไม่ถูกครับ

แต่ก็ยังหาข้อสรุปไม่ได้ว่าทำไมครับ :( เพราะได้ลองทำอีกวิธีแล้วจะได้ข้อสรุป |v| < |u|cos\theta


:wacko::wacko:

[Mathephobia]

ข้อ 46 จงหาจำนวนวิธีทั้งหมดในการจัดชาย 3 คนและหญิง 3 คน ซึ่งมีนาย ก และนส ข รวมอยู่ด้วย ให้ยืนเป็นแถวตรง 2 แถวๆละ 3 คน โดยที่ นาย ก และ นส ข ไม่ได้ยืนติดกันในแถวเดียวกัน

กรณีแรก
นาย ก และ นส ข ไม่ได้อยู่ในแถวเดียวกัน
แถวนาย ก จะเลือกคนมาได้ 2 จาก 4 คน ได้ $4C_2=6$วิธี และจัดเรียงภายในแถว ได้ 3!= 6 วิธี รวม $6\times6=36$ วิธี
อีกแถวจะจัดเรียงได้ 3!= 6 วิธี
ดังนั้น กรณีแรก จะได้ จำนวนวิธีรวม= (จำนวนวิธี จัดแถวที่มีนายก )x (จำนวนวิธีจัดแถวที่ไม่มีนาย ก) x 2!(สลับแถว)= $36 \times 6 \times 2=432$ วิธี

กรณีที่สอง
นาย ก. และ นส ข. อยู่ในแถวเดียวกัน แต่ไม่ติดกัน ต้องเลือกคนอื่นมาอีก 1 คนจาก 4 คน ได้ 4 วิธี สลับหัวท้ายที่นาย ก และ นส ข.อยู่ได้ 2 วิธี รวม $4\times 2=8$ วิธี
อีกแถวหนึ่ง จัดเรียงได้ 3!=6 วิธี
รวมจำนวนวิธีจัด 2 แถวนี้ และทำการสลับแถวด้วย $=8\times 6\times 2=96$ วิธี

รวมทั้งสองกรณี จำนวนวิธีในการจัดแถว=$432+96=528$ วิธี

โจทย์แบบนี้จะสังเกตอย่างไรครับว่า แถวสองแถวที่โจทย์กล่าวมาจะต้องคิดต่างกันหรือไม่

กรณี 1 แถวต่างกัน ได้ 528
กรณี 2 แถวไม่ต่างกัน ได้ 528/2=264

ขอบคุณครับ :please:

[MiNd169]

โจทย์แบบนี้จะสังเกตอย่างไรครับว่า แถวสองแถวที่โจทย์กล่าวมาจะต้องคิดต่างกันหรือไม่

กรณี 1 แถวต่างกัน ได้ 528
กรณี 2 แถวไม่ต่างกัน ได้ 528/2=264

ขอบคุณครับ :please:
จากข้อสอบมัธยมปลาย หลักสูตรเขาน่าจะให้คิดว่าไม่เหมือนกันนะครับ เช่นการแจกของก็เหมือนกัน ในข้อสอบpatเวลาแจกลูกอม ถ้าคิดว่าลูกอมเหมือนกันทุกเม็ดจะไม่มีคำตอบครับ

[พเนจรดาบ]

#19 พี่ครับ ข้อนี้พี่ยังไม่ได้บอกเลยครับว่า พิสูจน์แบบที่พูดมาได้หรือเปล่า

พอดีผมสอบปีนี้ แล้วอยากรู้ครับ (ตัวเองทำมั่วๆได้ว่าเป็นฟังก์ชัน)

ยังไงก็ช่วยหน่อยนะครับ ท่านไหนก็ได้ อยากรู้มากครับ

ตอนผมทำผมใช้ว่า ถ้า f เป็นฟังก์ชันจาก X ไป Y จะมี g เป็นฟังก์ชันจาก Y ไป X เป็นอินเวอร์สฟังก์ชัน

โดยที่ g*f = Ix และ f*g = Iy เมื่อ Ix เป็นเอกลักษณ์การคูณของเวกเตอร์สเปซ x อะครับ

นิยามนี้ถูกมั้ย หรือใช้วิธีไหนง่ายกว่า

[MiNd169]

#19 พี่ครับ ข้อนี้พี่ยังไม่ได้บอกเลยครับว่า พิสูจน์แบบที่พูดมาได้หรือเปล่า

พอดีผมสอบปีนี้ แล้วอยากรู้ครับ (ตัวเองทำมั่วๆได้ว่าเป็นฟังก์ชัน)

ยังไงก็ช่วยหน่อยนะครับ ท่านไหนก็ได้ อยากรู้มากครับ

ตอนผมทำผมใช้ว่า ถ้า f เป็นฟังก์ชันจาก X ไป Y จะมี g เป็นฟังก์ชันจาก Y ไป X เป็นอินเวอร์สฟังก์ชัน

โดยที่ g*f = Ix และ f*g = Iy เมื่อ Ix เป็นเอกลักษณ์การคูณของเวกเตอร์สเปซ x อะครับ

นิยามนี้ถูกมั้ย หรือใช้วิธีไหนง่ายกว่า
ข้อ4ถูกแล้วครับ

ข้อ ข. เมื่อวาดกราฟจะเห็นว่า เส้นช่วงแกน x > 0 จะเป็นเส้นตรง x = 1 เวลากลับอินเวิร์ส มันจะไม่ใช่ฟังชันแน่นอนครับ

[yellow]

ข้อ 5)

ที่ $0^\circ <\theta <45^\circ$

$0 < sin \theta < cos \theta < 1$

$0 < tan \theta < 1 < cot \theta$


Take log ทั้ง 4 ตัว ได้

$log A = tan \theta \bullet log (sin \theta)$

$log B = cot \theta \bullet log (sin \theta)$

$log C = sin \theta \bullet log (cot \theta)$

$log D = cos \theta \bullet log (cot \theta)$


โดยที่ $log (sin \theta) < 0$ และ $log (cot \theta) > 0$ จะได้

$B < A < C < D$

[cfcadet]

PAT ฉบับเต็มสามารถหาได้ที่ไหนบ้างครับ

[Real Matrik]

เซิชใน Google เลยครับ ในเว็บ unigang จะเก็บไว้หมดเลย