โจทย์คณิตศาสตร์ (ระดับโลก)

[Catt]

มาลองทำโจทย์คณิตศาสตร์ระดับโลก(ของรุ่นเด็กประถม) กันเถอะ เป็นข้อนึงใน 10 ข้อ ของ PO LEUNG KUK ครั้งที่4 แบบทีม
8.There are positive integers k,m,n such that 19/20 < 1/k + 1/m + 1/n < 1 . What is the smallest possible value of k + m + n ?

[TOP]

เห็นโจทย์ข้อนี้ คิดว่าสามารถตั้งให้ดูแปลกกว่านี้เป็น
"กำหนดให้ -1 < b/c < -19/20 จงหาค่า a ที่มากที่สุดที่ทำให้ x3 + a x2 + b x + c = 0 มีผลเฉลยเป็นจำนวนเต็มบวกทั้งหมด"

หากมี k,m,n ที่ทำให้อสมการเป็นจริง

จะพบว่า [:all] k,m,n < 4 ทำให้อสมการไม่เป็นจริง
[:because] 1 [:lesseq] 1/k + 1/m + 1/n [:lesseq] 3 ขัดแย้งกับเงื่อนไข
ดังนั้น [:some] k,m,n [:greateq] 4

นอกจากนี้จะพบว่า [:all] k,m,n [:greateq] 4 ทำให้อสมการไม่เป็นจริงเช่นกัน
[:because] 0 < 1/k + 1/m + 1/n [:lesseq] 3/4 < 19/20 ขัดแย้งกับเงื่อนไข
ดังนั้น [:some] k,m,n < 4

เราสามารถแบ่งได้เป็น 5 กรณี และกำหนดค่าให้ k,m,n ได้ดังนี้

k = 2 และ m,n [:greateq] 4
จะได้ 9/20 < 1/m + 1/n < 1/2
พบว่า [:all] m,n [:greateq] 5 ทำให้อสมการไม่เป็นจริง(เนื่องจาก 1/m + 1/n [:lesseq] 2/5 < 9/20)
และเมื่อกำหนดให้ m = 4 จะได้ 4 < n < 5 ไม่สามารถหา n ที่ทำให้อสมการเป็นจริงได้

k = 3 และ m,n [:greateq] 4
จะได้ 37/60 < 1/m + 1/n < 2/3
แต่เนื่องจาก 1/m + 1/n [:lesseq] 1/2 < 37/60 ทำให้อสมการไม่เป็นจริง

k = 2 , m = 2 และ n [:greateq] 4
จะพบว่า 1/k + 1/m + 1/n > 1 ขัดแย้งกับเงื่อนไข

k = 2 , m = 3 และ n [:greateq] 4
จะได้ 7/60 < 1/n < 1/6 หรือ 6 < n < 9
จึงได้ค่า k + m + n น้อยที่สุด = 2 + 3 + 7 = 12

k = 3 , m = 3 และ n [:greateq] 4
จะได้ 17/60 < 1/n < 1/3 หรือ 3 < n < 4 เป็นไปไม่ได้

ดังนั้น ค่า k + m + n น้อยที่สุดคือ 12

[Catt]

ถูกต้องค่ะ แต่คงไม่ต้องทำให้แปลกนักหรอกค่ะ
สงสารเด็กน่ะ ไม่รู้ว่าเด็กไทยที่ไปแข่งทำข้อนี้กันได้ไหมนะ