Nice

[dektep]

circle $W_{1}$ and circle $W_{2}$ intersect at $P$,$Q$ draw a line $\overline{AB}$ thought $P$ intersect $W_{1}$ and $W_{2}$ at $A$ and $B$ respectively let $C$,$D$ are the midpoint of $arc(AQ)$ and $arc(BQ)$ respectively if $M$ is a midpoint of $\overline{AB}$ prove that $\hat{CMD}=90^๐$ :D

[murderer@IPST]

ใช้inversionโดยใช้Pเป็นจุดศูนย์กลาง
แล้วใช้เมเนลอสเพื่อพิสูจน์ว่าจุดM,C,Dใหม่อยู่บนเส้นตรงเดียวกัน
ซึ่งจะได้ว่าP,M,C,Dมีวงกลมล้อมรอบ
แต่$\hat{CPD}=90^๐$ดังนั้น$\hat{CMD}=90^๐$

[kartoon]

ขออนุญาตขยายความคุณ murderer@IPST

ความจริงโจทย์ข้อนี้แก้ง่ายมากโดยใช้ Inversive Geometry

[Ipod]

หะหะ
มาอินเวอร์ชั่นกันทั้งนั้นเลย อย่างงี้ระวัง จขกท.หมดกะลังใจนะครับ :)

[zead]

ผมว่าไม่หรอกครับ
จขกท.คงไม่มีปัญหาเรื่อง Inversion อยู่แล้ว
ใช่ใหมครับ ? :kiki:

[dektep]

อาจจะไม่มีปัญหาครับ(หลังจากเห็นวิธีทำแล้ว) :p
ตอนทำก็ไม่รู้เหมือนกันครับว่าใช้ Inversion ได้
My solution : ลาก $C \perp AQ$ ที่ $U$ , $D \perp BQ$ ที่ $V$
ดังนั้น $U$ เป็นจุดกึ่งกลางของ $AQ$ และ $V$ เป็นจุดกึ่งกลางของ $BQ$
ดังนั้นสี่เหลี่ยม $MVQU$ เป็นสี่เหลี่ยมด้านขนาน
ให้ $\hat{QDV}=\hat{DVB}=\alpha \therefore \hat{APQ}=2\alpha$
$\rightarrow \hat{ACU}=\hat{UCQ}=90-\alpha , \hat{UQC}=90-\alpha$
$\rightarrow \Delta{CUQ} \sim \Delta{QDV}$
$\therefore \frac{QV}{UC}=\frac{VD}{UQ}$
$\rightarrow \frac{MU}{UC}=\frac{VD}{MV}........(1)$
$\hat{MVD}=\hat{CUM} \rightarrow \Delta{MVD} \sim \Delta{CUM}$
พิจารณา $\hat{AMC}+\hat{DMB} = \hat{AMU}+\hat{UMC}+\hat{DMV}+\hat{VMB}=(\hat{UMC}+\hat{DMV})+(\hat{AMU}+\hat{VMB})
=(180-\hat{UQV})+(90-\hat{MUV})=90$ (เพราะว่าสี่เหลี่ยม $MVQU$ เป็นสี่เหลี่ยมด้านขนาน)
ดังนั้น $\hat{CMD}=90^\circ$
http://www.mediafire.com/imageview.php?quickkey=mtnmcdoijbh&thumb=4
http://38.114.207.3/2c07331d7cc09b158e3c50e8204b95f04g.jpg

[owlpenguin]

หะหะ
มาอินเวอร์ชั่นกันทั้งนั้นเลย อย่างงี้ระวัง จขกท.หมดกะลังใจนะครับ :)

อะไรคือจขกท.อ่ะครับ?:confused:

[dektep]

เจ้าของกระทู้ครับ
นั่นก็คือผมเอง

[thebigbenz]

อินเวอร์ชั่น คืออะไรอ่ะครับ

[dektep]

ลองดูที่นี่นะครับ
http://www.math.ust.hk/excalibur/v9_n2.pdf
http://www.mathlinks.ro/viewtopic.php?t=14958
หนังสือ Geometry Revisited (พี่ nongtum เคยโพสตที่นี่แล้วครับ)
Geometry Unbound : http://www.4shared.com/file/45215920/fd1982ac/Geometry_Unbound.html

[Ipod]

จริงๆแล้วเค้าบอกว่า inversion มันคือการตั้งลูกแก้วที่สะท้อนได้ไว้
และภาพในลูกแก้วนั่นแหละครับ คือ inversion

[Uranus Hunter]

ผมก็พอมี soln บ้าง ไงก็ลองเช็ดดูนะครับ

ต่อ $CM$ ออกไปทางด้าน$M$ จนถึง $N$ ทำให้ $CM=MN$
จาก $AM=MB,CM=MN$ ฉะนั้น $AC//BN$ และ $AC=BN$
เมื่อพิจารณาไล่มุม จะพบว่า $\hat {CQD} = \hat {DBN}$
$\Delta CQD$ เท่ากันทุกประการกับ $\Delta DBN$
จึงได้ $\Delta CDN$ เป็นสามเหลี่ยมหน้าจั่ว
นั่นคือ $\hat {CMD} = 90^\circ$
ต้องวาดรูปตามนะครับ:D