สามเหลี่ยมที่ใหญ่ที่สุด

[owlpenguin]

มีวงกลม 2 วง ทั้งคู่มีรัศมี $r$ ให้แต่ละวงผ่านจุดศูนย์กลางของอีกวง จงหาขนาดของสามเหลี่ยมที่ใหญ่ที่สุดสามารถบรรจุในบริเวณที่วงกลมทั้งสองทับกัน

[mercedesbenz]

รูปเป็นแบบนี้รึเปล่าคับ
829

[RoSe-JoKer]

ไม่จำเป็นนิครับ...

[Maphybich]

ไม่จำเป็นนิครับ...

ทำไมอ่ะครับ ก็เขายังไม่ได้กำหนดจุดของสามเหลี่ยมที่สัมผัสเส้นรอบวงว่าอยู่ตรงไหนเลยนะครับ (ยังไม่ได้บอกสักคำเลยนิครับ ว่ามัยจะอยู่ตรงกลางพอดีอ่ะครับ = =)

[owlpenguin]

ต้องขอโทษมาก่อนว่าอาจจะกินเนื้อที่ server พอสมควรนะครับ:(

สมมติว่ามีสามเหลี่ยมใดๆที่มันแนบในพื้นที่ที่ีว่า ให้เป็น $\triangle ABC$ ดังรูป
http://img122.imageshack.us/img122/475/77714366tr7.png
ต่อเส้น AC ไปตัดเส้นรอบวงที่จุด D และให้จุดกึ่งกลาง AD เป็นจุด E
ลากเส้นตรงผ่าน OE ไปตัดเส้นรอบวงวงกลมที่จุด F จะได้ว่า OE แบ่งครึ่งตั้งฉากกับ AD ด้วย

สังเกตว่า $\triangle ABC$ มีฐานยาวเท่ากับ $\triangle AFC$ (ด้าน AC) แต่ความสูงของ $\triangle ABC$ นั้นน้อยกว่าของ $\triangle AFC$
ดังนั้น $\triangle AFC$ มีพื้นที่มากกว่า $\triangle ABC$



แต่ว่ามันจะมีสามเหลี่ยมรูปหนึ่งที่ไม่สามารถทำวิธีข้างต้นได้ นั่นคือรูปด้านล่างนี้
http://img122.imageshack.us/img122/7854/68080054ar1.png
เราจงใจสร้าง $\triangle ABC$ ที่มีจุดกึ่งกลางด้าน AB,AC เป็น D,E ตามลำดับ
แล้วพอลากเส้นแบ่งครึ่งตั้งฉากแบบวิธีด้านบนกับด้าน AB,AC จะได้ว่าจุด F ไปทับจุด C,B พอดี

แต่ถึงกระนั้น ผมก็ไม่แน่ใจว่ารูปนี้เป็นรูปที่ใหญ่ที่สุด :sweat:จริงๆแล้วผมยังคิดไม่ออกเลยว่าสามเหลี่ยมที่ว่านี้มีพื้นที่ขนาดไหน:cry: ยังไงก็ช่วยด้วยละกันครับ:please:

[nooonuii]

ลองแปลงปัญหาไปเป็นปัญหาในระนาบเชิงซ้อนดูสิครับ

ผมลองเอาวงกลมสองวงนี้ไปใส่ในระนาบเชิงซ้อน
โดยให้จุดกำเนิดอยู่ตรงกลางส่วนที่วงกลมทั้งสองวงตัดกันพอดี
จะได้ว่าวงกลมทั้งสองวงมีสมการเป็น

$C_1: |z-\dfrac{r}{2}|=r$

$C_2: |z+\dfrac{r}{2}|=r$

ถ้าผมเลือกจุดสามจุดที่อยู่บนวงกลมทั้งสองวง
สมมติว่า ทั้งสามจุดอยู่บนวงกลม $C_1$
จะได้จุดเป็น

$z_1=r(\dfrac{1}{2}+\cos{A},\sin{A})$

$z_2=r(\dfrac{1}{2}+\cos{B},\sin{B})$

$z_3=r(\dfrac{1}{2}+\cos{C},\sin{C})$

จากนั้นก็เอาไปเข้าสูตรพิ้นที่สามเหลี่ยมแล้วเล่นกับอสมการตรีโกณฯ หรือไม่ก็ใช้แคลคูลัสหลายตัวแปร

ผมยังคิดไม่เสร็จครับ เำพราะมีอีกหลายกรณี จึงไม่สามารถยืนยันคำตอบได้ :rolleyes:

[Puriwatt]

ต้องขอโทษที่ผมได้แก้ไขรูปของคุณowlpenguin ให้เข้าใจได้ง่ายขึ้นนะครับ
853
และพื้นที่ที่คุณowlpenguin ต้องการทราบก็คือ $\frac{1}{2} \cdot r^2(2cos 50)(1-sin10) = 0.53 \cdot r^2$
เนื่องจากลองวาดมั่วๆแล้วใช้วิธีข้างบนมันมีแนวโน้มที่จะลู่เข้าหารูปของคุณครับ
ผมว่าน่าจะเป็นรูปที่มีพื้นที่มากที่สุดแล้วละครับ (ช่วงนี้ไม่ค่อยมีโอกาสใช้คอมฯ เพราะแฟนผมใช้ดู New1 ครับ)

[owlpenguin]

ต้องขอโทษที่ผมได้แก้ไขรูปของคุณowlpenguin ให้เข้าใจได้ง่ายขึ้นนะครับ
853
และพื้นที่ที่คุณowlpenguin ต้องการทราบก็คือ $\frac{1}{2} \cdot r^2(2cos 50)(1-sin10) = 0.53 \cdot r^2$
เนื่องจากลองวาดมั่วๆแล้วใช้วิธีข้างบนมันมีแนวโน้มที่จะลู่เข้าหารูปของคุณครับ
ผมว่าน่าจะเป็นรูปที่มีพื้นที่มากที่สุดแล้วละครับ (ช่วงนี้ไม่ค่อยมีโอกาสใช้คอมฯ เพราะแฟนผมใช้ดู New1 ครับ)
ถ้าเป็นไปได้ช่วยอธิบายที่มาด้วยครับ:please:

[Puriwatt]

ถ้าเป็นไปได้ช่วยอธิบายที่มาด้วยครับ:please:
จัดให้ตามคำขอนะครับ
854