Spotanus
15 เมษายน 2009, 15:58
อันที่จริง โจทย์ข้อนี้ น่าจะเป็น Combinatorics มากกว่า แต่ผมเห็นว่ามันมีเรขาคณิตเกี่ยวข้อง เลยนำมาไว้ในนี้ครับ
จงแสดงว่า เราสามารถระบายสีระนาบด้วยสีแดง และสีเขียว ซึ่งทำให้ระนาบสอดคล้องเงื่อนไขสี่ข้อต่อไปนี้
(1) มีเส้นตรงเป็นอนันต์เส้นที่ไม่มีจุดสีแดงอยู่บนเส้นตรงเลย;
(2) วงกลมใดใดในระนาบ จะมีจุดบนเส้นรอบวงมีสีแดงเป็นอนันต์จุด;
(3) วงกลมใดใดในระนาบจะมีจุดสีแดงอยู่ภายในวงกลม และจุดสีเขียวภายในวงกลมเสมอ;
(4) ทุก $n \geq 3$ จะมีรูป $n$ เหลี่ยมปกติที่มีจุดยอดทุกจุดเป็นสีแดงอย่างน้อยหนึ่งรูป และสีเขียวอย่างน้อยหนึ่งรูปเสมอ
:kaka:
(หมายเหตุ : (3) หมายความว่า จุดสีแดง และ จุดสีเขียว dense ในระนาบ)
จงแสดงว่า เราสามารถระบายสีระนาบด้วยสีแดง และสีเขียว ซึ่งทำให้ระนาบสอดคล้องเงื่อนไขสี่ข้อต่อไปนี้
(1) มีเส้นตรงเป็นอนันต์เส้นที่ไม่มีจุดสีแดงอยู่บนเส้นตรงเลย;
(2) วงกลมใดใดในระนาบ จะมีจุดบนเส้นรอบวงมีสีแดงเป็นอนันต์จุด;
(3) วงกลมใดใดในระนาบจะมีจุดสีแดงอยู่ภายในวงกลม และจุดสีเขียวภายในวงกลมเสมอ;
(4) ทุก $n \geq 3$ จะมีรูป $n$ เหลี่ยมปกติที่มีจุดยอดทุกจุดเป็นสีแดงอย่างน้อยหนึ่งรูป และสีเขียวอย่างน้อยหนึ่งรูปเสมอ
:kaka:
(หมายเหตุ : (3) หมายความว่า จุดสีแดง และ จุดสีเขียว dense ในระนาบ)