ข้อ7)
$$\int \frac{\sqrt{x}}{x(x+1)} dx$$
ให้ $u=x+1$ แล้ว $dx=du$
$$\int \frac{\sqrt{u-1}}{u(u-1)} du$$
ให้ $v=\sqrt{u-1}$ แล้ว $du=2vdv$
$$\int \frac{v}{v^2(u)}\cdot 2vdv=2\int \frac{1}{u} dv=2 \int \frac{1}{v^2+1} dv$$
$$=2\arctan v +c=2\arctan \sqrt{u-1} +c=2\arctan \sqrt{x} +c$$
ถูกไหมครับ วิธีถึกมากๆๆ

ออแปลงรูทไปอยู่ด้านบนหรอคับ หุหุ

วิธีของพี่คือ

$\int \frac{dx}{\sqrt{x}(1^2+(\sqrt{x})^2)}$

แล้วให้ $u=\sqrt{x}$

$2\sqrt{x}du=dx$

$2\int\frac{du}{(1^2+(\sqrt{u})^2)}$

$2arctan(\sqrt{x})+C$:dry:

ข้อ5)อีกครั้งอิๆ
จากโจทย์ให้ $u=e^x$ ได้ $d(u)=e^xdx$____(1)
ให้ $e^x=\sin v$ ได้ว่า $d(e^x)=du=\cos v dv$____(2)
(1)=(2); $e^xdx=\cos v dv$ ได้ $dx=\frac{\cos v dv}{\sin v}$ เพราะ $e^x=\sin v$
แทนในโจทย์ได้
$$\int \frac{\sin v}{\sqrt{1-\sin^2v}}\cdot \frac{\cos v dv}{\sin v}$$
$$=\int dv =v+c=\arcsin e^x+c$$

ดูวกวนนะคับแต่ก็ถูกคับไม่ว่ากันดูวิธีของพี่นะ

$\int\frac{e^xdx}{\sqrt{1-e^{2x}}}$

ให้ $u=e^x$

$dx=\frac{du}{u}$

$\int\frac{du}{\sqrt{1-u^2}}$

$arcsin(e^x)+C$ :happy:

ที่วกวนเพราะอยากลองใช้วิธีแทนค่าฟังก์ชันตรีโกณอ่ะครับ
เพราะเดี๋ยวมึนกับสูตรเยอะเกินอิอิ

Hint ข้อ 1) แปลงพวก cosec2x sec2x ให้อยู่่ในรูป sin cos ให้หมดคับ แล้วใช้เอกลักษณ์นิดหน่อยคับ :)

ข้อ1)ครับ
$$\int \frac{dx}{\frac{1}{\sin2x}-\frac{\cos2x}{\sin2x}}=\int \frac{\sin2x}{1-\cos2x}dx=\int \frac{\sin2x}{2\sin^2x}dx$$
$$=\int \frac{2\sin x \cos x}{2\sin ^2x}dx=\int \cot x dx = \ln |\sin x|+c$$

$\int_0^1(1+2008x^{2008})e^{x^{2008}}dx$(เคยมีคนโพสต์ไปแล้ว)

\(\int_0^{\pi/2} e^{\sin x} dx\)

ข้อ2)ของคุณคนรักคณิต
$$\int_0^1 \int_{-1}^1[\int_0^{y^2} dz]dydx$$
$$=\int_0^1 \int_{-1}^1[y^2]dydx=\int_0^1 [\int_{-1}^1 y^2 dy]dx$$
$$=\int_0^1 [\frac{y^3}{3}]_{-1}^1] dx =\int_0^1 [\frac{2}{3}] dx$$
$$=\int_0^1 \frac{2}{3} dx=\frac{2}{3}\int_0^1 dx=\frac{2}{3}$$
ปล.ใช่ไหมครับ:confused:

ยังไม่ถูกนะคับ ดูใหม่ๆ:kaka:

อ๊ากกกก $\frac{\cos x}{\sin x}=\cot x$
คำตอบคือ
$$\ln |\sin x|+c$$

ข้อ4) ตอบ 0 ใช่ไหมคับ

$\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\frac{\pi}{3}}\frac{(\rho)^3 }{3}sin\theta d\phi d\theta$

$\int_{0}^{2\pi}\frac{\pi (sin\theta)}{6}d\theta$

$\frac{-\pi cos\theta}{6}$

$-\frac{\pi}{6}[cos2\pi-cos0]$

ตอบ 0

$$\int_0^{2\pi} \int_0^{\frac{\pi}{2}} [\int_0^1 p^2\sin \theta dp]d\phi d\theta$$
$$=\int_0^{2\pi} \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{3}\sin \theta d\phi d\theta$$
$$=\int_0^{2\pi} \frac{\pi}{6}\sin \theta d\theta$$
$$=\frac{\pi}{6} \int_0^{2\pi} \sin \theta d\theta$$
$$=\frac{\pi}{6} [-\cos \theta]_0^{2\pi}=0 $$
ใช่ไหมครับ
ปล.ตอบไม่ทันอิอิ

อิอิ เกือบไม่ทันเหมือนกันคับ :)

ข้อ 3 ตอบ $-\frac{11\pi}{3}$