ผมเอามาจาก aops อ่ะครับ แต่จะว่าไปมันก็ต้องเป็นอย่างที่บอกแหละครับ:haha: ขอโทษทีครับๆ

คิดผิดครับ ขอลบนะครับ -/\-

เติมโจทย์ให้ครับ
Combi
1. ให้ $A = \left\{ (a,b,c) \in (\mathbb{N} \cup \left\{0\right\})^3 \ | \ a+b+c \le 20\right\}$
จงหา $\displaystyle\sum_{(a,b,c)\in A}abc$

2. ให้ $x_1,x_2,...,x_{n^2+1}$ เป็นลำดับของจำนวนเต็มที่ต่างกัน จงแสดงว่ามีลำดับย่อย $x_{i_1},x_{i_2},...,x_{i_{n+1}}$ ซึ่ง $i_1<i_2<...<i_{n+1}$ ซึ่งเป็นลำดับเพิ่มหรือลดโดยแท้

NT
1. ถ้าเมื่อเขียนค่าของ $x^2+xy+y^2$ เมื่อ $x,y$ เป็นจำนวนนับในระบบฐานสิบแล้วหลักหน่วยเป็นศูนย์ จงพิสูจน์ว่าหลักสิบเป็นศูนย์ด้วย

2. ให้ p เป็นจำนวนเฉพาะคี่, n เป็นจำนวนนับ
จงแสดงว่า $\dbinom{n}{p} \equiv \left[\dfrac{n}{p}\right] \pmod{p}$

3. จงแสดงว่า $2^{21}+2^6+1$ เเป็นจำนวนประกอบ

NT ข้อ 2 ไม่กำหนดอะไรมาหน่อยหรอครับ ???

$\dbinom{10}{3} \equiv \left[\dfrac{10}{3}\right] \pmod{5}$

NT
1. ดัดแปลงจากข้อแรกของคุณ Pain 7th ครับ เพราะทั้ง 2 5 ต่างก็หาร 3 เหลือเศษ 2
2. คาดว่า r=p นะครับ
3. ใช้ Complex นิดนึงเพื่อแยก Factor ครับ

ข้อ 1, 2 เราตรงกันครับ แต่ข้อ 3 ยังไม่ออก:great:

ข้อสองเขียนผิด แก้แล้วครับ

โหดแท้เหลา :died:
$(2^{21})+(2^6+1)=[(2^6+2^3+1)(2^{15}-2^{12}+2^6-2^3)+2^3]+[(2^6+2^3+1)-2^3]=(2^6+2^3+1)(2^{15}-2^{12}+2^6-2^3+1)$

หมายถึง อะไร? หรอครับ

[x] หมายถึงจำนวนเต็มที่มากที่สุด ซึ่งน้อยกว่า x ครับ
เช่น [1]=1, [3.5]=3, [-2.2]=-3 เป็นต้น

แยกตัวประกอบโหดมากครับ
แต่ใช้สิ่งที่คุณ Beatmania hint ให้หาตัวประกอบ น่าจะง่ายกว่าอยู่ครับ

ผมก็อยากจะใช้สิ่งที่คุณ Beatmania hint ให้อยู่หรอกครับ แต่ทำไม่เป็น:sweat:

1) Find the largest possible integer $n$ such that $\sqrt{n}+\sqrt{n+60}=\sqrt{m}$ for some non-square integer $m$.

Solution ข้อ 4

ข้อ 2 combi คงใช้จากทฤษฎีนี้มั้งครับ http://en.wikipedia.org/wiki/Erd%C5%...ekeres_theorem

ข้อ 1 ในนี้ ผมมีวิธีที่ง่ายกว่านั้น ขอซ่อนไว้ก็แล้วกัน