ตอบ $820$ หรือป่าวครับ

คิดโดยใช้วิธีของมัธยมต้นไม่เป็นน่ะครับ...เลยใช้ combinatorics ช่วย ได้
$\binom{2,008}{2} = 1,004\times 2,007 = 2,015,028$ ชุดคำตอบครับ

ข้อสุดท้ายจะได้สัมประสิทธิ์ของ $x^2$ คือ $\frac{40!}{39!0!1!}+\frac{40!}{38!0!2!} = 820$

ข้อต่อไปนะครับ
ให้ $n$ เป็นจำนวนเต็มบวก จงหา ห.ร.ม. ทั้งหมดที่เป็นไปได้ของ $n^2+100$ กับ $(n+1)^2+100$

รบกวนช่วยอธิบายให้ลึกกว่านี้หน่อยได้มั๊ยครับ พอดียังงงอยู่อ่ะครับ

#166
ถูกต้องครับ เชิญต่อได้เลยครับ
ผมข้อออกข้อต่อไปนะครับ

ให้ $S,E,N,D,G,O,L,M,R,Y$ แทนเลขโดดตั้งแต่ $0-9$ จงหาค่า ของ $S,E,N,D,G,O,L,M,R,Y$ ที่ทำให้
$SEND+MORE+GOLD=MONEY$

คือข้อนี้ตอนแรกผมหมุนรูปแล้วใช้ว่า 80-x=50 น่ะครับแต่ผมคิดว่ามันไม่จำเป็นเช่นนั้นเสมอไปเลยนั่งหาค่า sin 40 อยู่อ่ะครับผมใช้คาร์ดานแต่พอแก้ออกมามันติดเชิงซ้อนสงสัยมันต้องแปลงเป็นรูปเชิงขึ้วแล้วหารากออกมามั้งครับเพื่อที่มันคูณกับรากปฐมฐา นแล้วจะได้รู้ว่าอันไหนมันเป็นเชิงซ้อนหรือไม่เพื่อที่อันที่จะไม่ใช่เชิงซ้อนจะได้เป็น sin 40 แต่มันได้แค่คือน่ะครับคือพอทำถึงแปลงเป็นเขิงขั้วเพื่อหารากที่สามมันก็บลาๆๆๆๆๆๆ
รบกวนคูณซิลล่าช่วยแสดงวิธีทำละเอียดๆหน่อยได้ไหมครับ

พิสูจน์แบบไม่ใช้ตรีโกณ



ลาก FG ขนาน BC
จะได้ AFG เป็นสามเหลี่ยมหน้าจั่ว ที่มีมุม FAG = 100 องศา

Attachment 1951

และจะได้ FGCD เป็นสี่เหลี่ยมด้านขนาน
จะได้ FG = CD ......(1)

ลาก AD
จากโจทย์ AC = CD ---> สามเหลี่ยม ACD เป็นสามเหลี่ยมหน้าจั่ว ดังนั้น AC = DC = FG ...(2)



สร้างสามเหลี่ยมด้านเท่า ACP โดยใช้ AC เป็นหนึ่งด้านของสามเหลี่ยมด้านเท่า

จะได้ AC = AP = FG ( AC = FG จาก ...(2))

Attachment 1952

จะได้สามเหลี่ยม AFG เท่ากันทุกประการกับ สามเหลี่ยม AFP (ดมด) (AG=AF หน้าจั่ว, มุม 40 องศา, FG=AP จาก(2))

จะได้ AF = FP และ FC = FC

ทำให้ สามเหลี่ยม AFC เท่ากันทุกประการกับสามเหลี่ยม FCP (ดดด)

ดังนั้นมุม ACF = มุม FCP = 30 องศา (มุมACP = 60 องศา ของสามเหลี่ยมด้านเท่าที่สร้างขึ้น)

สี่เหลี่ยมขนาน FGCD ---> มุมGCF = 30 องศา = มุมDFC (มุมแย้ง)

ดังนั้นมุม DFC = 30 องศา Q.E.D.

ปลุกหน่อยครับ!!....ผมว่ามาถึงข้อตันแล้วอ่ะครับ
ผมเอาโจทย์อื่นมาก่อนนะครับ โจทย์เก่าก็ยังตอบได้นะครับ
$2552^3+2551^3+2550^3หารด้วย7เหลือเศษเท่าไร$
ประยุกต์มาจากโจทย์ สอวน.ค่าย1 ม.นเรศวรครับ

2552 หาร 7 เหลือเศษ 4
2551 หาร 7 เหลือเศษ 3
2550 หาร 7 เหลือเศษ 2
$2552^3$ หาร 7 เหลือเศษ $4^3$ = $64$
$64$. หาร 7 เหลือเศษ $1$
$2551^3$ หาร 7 เหลือเศษ $3^3$ = $27$
$27$ หาร 7 เหลือเศษ $6$
$2550^3$ หาร 7 เหลือเศษ $2^3$ = $8$
$8$ หาร 7 เหลือเศษ $1$
ทั้งหมดเหลือเศษ $1+6+1=8$
8 หาร 7 เหลือเศษ $1$
ฉนั้นเหลือเศษ $1$
ใช่ปะครับ

บรรทัดสีแดงมายังไงหรอครับ (แบน คอนกรูเอนซ์นะ)

$2552\equiv 4(mod7)$
$2552^3\equiv4^3(mod7)$
อันอื่นก็เหมือนกันครับ

ถูกต้องครับ เชิญข้อต่อไปเลย

แบนคอนกรูเอนซ์ครับ
นี่ห้อง ม.ต้น ไม่ใช่ห้องโอลิมปิคนะ ^^

อ่าว..ครับๆ แบบม.ต้นก็มีครับ
$2552=7(364)+4$
$2552^3=[7(364)+4]^3$
จาก $(a+b)^3=$$a^3+3a^2b+3ab^2$$+b^3$
เทียบจากอันบน ส่วนสีแดง 7 หารลงตัวอยู่แล้ว ก็ดูที่ตัวหลังอย่างเดียวครับ

งั้นข้อต่อไปนะครับ
$\frac{m^2+n^2-\frac{1}{m^2}-\frac{1}{n^2}}{m^2n^2-\frac{1}{m^2n^2}}+\frac{(m-\frac{1}{m})(n-\frac{1}{n})}{mn+\frac{1}{mn}}$
มีค่าเท่ากับเท่าไร

1 หรือป่าวครับถ้าถูกก็เชิญต่อข้อต่อไปเลยเพราะตอนนี้ไม่ว่างหาโจทย์อ่ะครับ

ถูกต้องแล้วครับตอบ $1$ แต่ผมก็ไม่ว่างหาโจทย์เหมือนกันเชิญคนอื่น
ที่คิดได้เหมือนกันก็แล้วกันนะครับ