1 เดือนครับ

สีแดงนี่มันพิเศษยังไงเหรอครับ ถ้าเป็นจำนวนจริงบวกจะได้มั้ย

ให้ $x_{1},...,x_{n} \in \mathbb{R} $ เป็นรากของพหุนาม ซึ่งต้องเป็นจำนวนจริงลบ
กำหนดให้คือ $-x_{1},...,-x_{n}$ โดยที่ $ x_{i} \ge 0$

$$a_{1} = \sum x_{1} \ge \binom{n}{1} $$
$$a_{2} =\sum x_{1}x_{2} \ge \binom{n}{2} $$


$$a_{i} =\sum x_{1}x_{2}...x_{i} \ge \binom{n}{i} \quad, 1 \le i \le n-1$$

จะได้ว่า $f(x) =x^n+a_1x^{n-1}+a_2x^{n-2}+\cdots+a_{n-1}x+1 \ge (x+1)^n $

ดังนั้น $f(2) \ge 3^n $

ขอโทษครับ ต้องจริงบวกครับ แก้แล้วครับ

ปลุกหัวข้อนิดนึงครับ :)

ให้ $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ โดยที่ $\forall x,y\in\mathbb{R},x>y$ $f(x)^2\leq f(y)$ จงแสดงว่า $\forall x\in\mathbb{R}$ $0\leq f(x)\leq 1$

รบกวนคนที่ทำได้ช่วยเฉลยด้วยนะครับ ผมทำได้ไม่หมดหรอกครับ แหะๆ

#ข้อคุณ Polsk

$(ac+bd)^2+(ad-bc)^2=(a^2+b^2)(c^2+d^2)$

#ข้อของผมข้อแรก

พิจารณาการเขียน $n$ ในรูปเลขฐานสอง

#ข้อฟังก์ชั่น

ฝั่งมากกว่าศูนย์ชัดเจนว่าจริง

ฝั่งขวาลองแสดงว่าถ้า $f(a+1)>1$ แล้ว $\forall N\in\mathbb{N},f(a+1)^{2^N}<f(a)$

1.พิสูจน์ว่าสอดคล้องโคชี

2.แทน x ด้วย x+1 ใน 2)

3.พิสูจน์ว่าเป็นทางเดียว

4.จบแล้ว

ข้ออสมการของผม ลองแยกตัวประกอบ $\displaystyle{\sum_{cyc}} bc(b-c)$ ดู แล้วจะพบ identity อะไรบางอย่าง

Let $M$ be a point on the diameter $AB$ of semi-circle $O$. The perpendicular at $M $ meets the semi-circle at point $P$ .A circle inside $O$ touches and is tangent to $PM$ at $Q$ and $AM$ at $R$ .Show that $PB=RB$

ผมทำแบบนี้ จากจุด $R$ ลากเส้นตรงตั้งฉาก $RB$ พบ $PA$ ที่ $N$

ได้ว่า $PBRN$ cyclic โดยมี $RN$ เป็นเส้นผ่านศูนย์กลาง นั่นคือ $RN$ แบ่งครึ่ง $PB$ ที่จุด $X$

$\triangle PRX \cong \triangle BXR$

มีตรงไหนผิดพลาดหรือเปล่าครับ

Pre-TMO Combi ครับ

1. ให้ $(a_1,a_2,...,a_{20})$ เป็นลำดับของจำนวนเต็มบวก ให้ $m$ เป็นจำนวนของ $(a_i,a_j,a_k)$ ซึ่ง $1 \le i < j < k \le 20$ และ $a_j=a_i+1$, $a_k=a_j+1$ จงหาค่าที่มากที่สุดที่เป็นไปได้ของ $m$

2. นรินมีป้ายตัวเลขอยู่ $2n \ (n \ge 1)$ ป้าย เขียนตัวเลขต่างกันทั้งหมด นรันจะอ่านป้ายแล้วเลือกตัวเลขหนึ่งมา จากนั้นทั้งคู่จะเล่นเกมต่อไปนี้ ในแต่ละวินาทีนรินจะชูแผ่นป้าย $n$ แผ่นให้นรันดูแล้วถามนรันว่าตัวเลขที่นรันเลือกอยู่ในแผ่นป้ายเหล่านี้หรือไม่

จงพิสูจน์ว่านรินจะมีวิธีที่จะสามารถรู้ได้เสมอว่านรันเลือกตัวเลขอะไรภายในวินาทีที่ $k \ (k \ge 1)$ ก็ต่อเมื่อ $n \le 2^{k-1}$

3. ในการแข่งขันปิงปองแบบพบกันหมดโดยแต่ละคู่แข่งกัน $1$ ครั้ง กำหนดให้มีผู้เข้าแข่งขัน $n$ คน สำหรับคนที่ $i,j$, $1 \le i < j \le n$ กำหนดให้ $W(i,j)$ แทนจำนวนคนที่ทั้งคู่ชนะในการแข่งนี้ และ $L(i,j)$ แทนจำนวนคนที่ทั้งคู่แพ้ในการแข่งนี้ จงพิสูจน์ว่า $\displaystyle \sum_{1 \le i <j \le n} W(i,j)=\sum_{1 \le i <j \le n} L(i,j)$

งงข้อนี้ครับ BOPM เป็นสามเหลี่ยมไม่ใช่เหรอครับ

ส่วนโค้ง AB ครับ ขอโทษนะครับ ตกคำว่าส่วนโค้งไป

(เท่ากับว่า P เป็นจุดบนวงกลมนั่นเอง)

ปล.โจทย์ง่ายถึงง่ายมากครับ เป็นแค่โจทย์แบบฝึกหัดไว้ warm up เฉยๆ

จะได้ฝึก chase มุมได้ไวๆขึ้น

ลองเชคตรงนี้ดูอีกทีครับ ผมวาดดูแล้ว NPB เป็นมุมฉากนะครับ

ลองดูเทียบกับ NRB อีกทีครับ

2 มุมนี้ไม่น่าจะเท่ากัน

้ขอโทษครับ พิมพ์ผิดไปนิดหน่อย จากจุด $R$ ลากเส้นตรง จากเส้นตรงตั้งฉาก $RB$ พบ $PA$ ที่จุด $N$

สี่เหลี่ยม $PBRN$ cyclic ครับ ผมคิดว่าน่าจะผิดตรงที่ยังไม่ได้แสดงว่า $BN$ ตั้งฉากกับ $PR$ ครับ รบกวนคณ Aqulia อีกแรงนะครับ