เพิ่ม ๆ A หาร B ลงตัว _kup

ค่อย ๆ ทยอยเพิ่มข้อมูลนะครับ 55+

จาก งงครับ ได้ $A|B$ แล้ว สรุปอะไรเพิ่มไม่ได้เลย เพราะ $7 | 7$ อยู่แล้ว

อ๋อ ได้ $m+n | m^2+mn+n^2= (m+n)^2-mn $ หรือก็คือ $m+n|mn$ ยังไงต่อดีครับ ?

มาเร็วจังครับ เพิ่งสอบเสร็จเมื่อตอนเที่ยง

5. $(x,y) = (7,-2)$
15. $91$

$x^{2} - y^{2} = 45$
$x^{3} + x^{2}y - xy^{2} - y^{3} = 225$

พิจารณา $x^{3} + x^{2}y - xy^{2} - y^{3} = 225$

$x^{3} - 3x^{2}y + 3xy^{2} - y^{3} +4xy(x-y) = 225$

$(x-y)^3 +4xy(x-y) = 225$

$(x-y)[(x-y)^2+4xy)] = 225$

$(x-y)[x^2-2xy+y^2+4xy]=225$

$(x-y)(x+y)(x+y)=225$

$x+y = \frac{225}{45} = 5 $
ได้ $(x-y) = 9$

แก้ระบบสมการได้ $x=7$ , $ y = -2 $

ช่วยตรวจวิธีทำให้ด้วย na_kup

ถ้า $n^{4} + n^{2} + 1 $ เป็นจำนวนเฉพาะ แสดงว่า มีเพียง 1 และ ตัวมันเองเท่านั้นที่เป็นตัวประกอบ
สมการได้ว่า $n^{4} + n^{2} + 1 = (1)( n^{4} + n^{2} + 1 ) $
$(n^{2} + 1)^{2} - n^{2} = (1)( n^{4} + n^{2} + 1 ) $
$(n^{2} + 1 - n)(n^{2} + 1 + n) = (1)( n^{4} + n^{2} + 1 )$
$(n^{2} + n + 1)(n^{2} -n + 1) = (1)( n^{4} + n^{2} + 1 )$

ถ้า $n^{2} + n + 1 = 1$
แสดงว่า $ n^{2} + n = 0$
$n + 1 = 0$
n = -1

ถ้า $n^{2} + n + 1 = n^{4} + n^{2} + 1 $
แสดงว่า $n^{2} + n + 1 = (n^{2} + n + 1)(n^{2} -n + 1)$
$ 1 = n^{2} -n + 1 $
$ 0 = n^{2} - n$
$0 = n - 1$
n = 1

ถ้า $ n^{2} -n + 1 = 1$
แสดงว่า $ n^{2} - n = 0$
$n - 1 = 0$
n = 1

ถ้า $ n^{2} -n + 1 = ^{4} + n^{2} + 1$
แสดงว่า $n^{2} - n + 1 = (n^{2} + n + 1)(n^{2} -n + 1)$
$1 = n^{2} + n +1$
$0 = n^{2} + n$
$0 = n + 1$
n = -1

เพราะฉะนั้น n มีได้ค่าเดียวก็คือ 1 (ถูกรึป่าว ??)
เช็คให้หน่อย na_kup :please:

แว๊บแรกทีั่เห็นคือได้ $n = 1$ แต่จะมีค่้าอื่นอีกรึเปล่า

พิจารณา $n^{4} + n^{2} + 1 = (n^2+1)^2 -n^2 = (n^2+n+1)(n^2-n+1)$

เนื่องจากจำนวนเฉพาะอยู่ในรูปของ $P*1$ เมื่อ P เป็นจำนวนเฉพาะใด ๆ

เพราะฉะนั้นจะต้องมีตัวใดตัวหนึ่งเท่ากับ 1 แน่ ๆ และไม่ใช่ $n^2+n+1$ เนื่องจาก กำหนดให้ n เป็นจำนวนเต็มบวก

เพราะฉะนั้นได้ $n^2-n+1 = 1 $

หรือคือ $n(n-1) = 0$ แล้ว $n = 0 , 1 $

n = 0 แล้ว $n^4+n^2+1 = 1$ ไม่เป็นจำนวนเฉพาะ

n = 1 แล้ว $n^4+n^2+1 = 3$ เป็นจำนวนเฉพาะ

ปล. ถ้าผิดก็ช่วยแนะด้วยครับ :please:

ผมว่า มันน่าจะเริ่มต้นที A หาร B ลงตัว มากกว่า /มั้ง ?/
ถ้าเป็นไปตามสันนิษฐานที่ตอบข้อสอบไปละก็คือ
$A = m^{2} - n^{2}$
$A = (m - n)(m + n)$

$B = m^{3} - n^{3}$
$B = (m - n)(m^{2} + mn + n^{2})$

"A หาร B ลงตัว" แสดงว่า $\frac{B}{A}$ ต้องเป็นจำนวนเต็ม ได้ว่า

$\frac{(m - n)(m^{2} + mn + n^{2})}{(m - n)(m + n)}$
$= \frac{m^{2} + mn + n^{2}}{m + n}$ ต้องเป็นจำนวนเต็มด้วย เพราะฉะนั้นแล้ว หรม.$ \not= m - n$ /มั้ง ?/
ถ้านำ $m - n$ ไปหาร $m^{2} + mn + n^{2}$ จะต้องเหลือ เศษ 0 เพราะหารลงตัว
แต่หารออกมาแล้ว ได้เศษ $n^{2}$
เพราะฉะนั้น $n^{2} = 0$
$n = 0$

ฉะนั้นแล้วทุกสมการที่กล่าวมาในโจทย์จะกลายเป็น
$A = m^{2}$
$B = m^{3}$

ดังนั้น หรม. คือ $m^{2}$ = 7
$m = \pm \sqrt{7}$

เพราะฉะนั้น ครน. คือ $m^{3}$
$m^{3} = (\pm \sqrt{7})^{3}$
$= \pm 7\sqrt{7}$ /มั้ง ?/

ปล. ช่วยตรวจทานให้ด้วย na_kup :please:

คือว่า ข้อนี้ตอบ $6\sqrt{23}$ รึเปล่า _kup :confused:

14. กำหนดให้ พาราโบลาตัดแกน x ที่ (1,0)และ(5,0) เลื่อนพาราโบลาขึ้น 1 หน่วย พาราโบลาจะตัดแกน x ที่ (2,0)(4,0) จงพิจารณาว่าจะต้องเลื่อนพาราโบลานี้ขึ้นกี่หน่วย จึงจะทำให้พาราโบลานี้ตัดแกน x เพียงจุดเดียว


ตัดเเกน $x$ จุดเดียวเเสดงว่าจุดยอดพาราโบลาอยู่บนเเกน $x$

ลองให้สมการเป็น $y=a(x-h)^2+k$

เเล้วเมื่อเลื่อนขึ้น 1 หน่วย จะได้สมการใหม่เป็น $y=a(x-h)^2+k+1$

เราพิจารณาจากจุดยอด $(h,k)$

ลองเเกสมการดูจะได้$h=3,k=\frac{-4}{3}$

ถ้าโจทย์ถามว่าเลื่อนขึ้นอีกกี่หน่วยก็ตอบ 1/3

ถ้าโจทย์ถามว่าเลื่อนขึ้นกี่หน่วยก็ตอบ 4/3 ครับ

ข้อ10 พีระมิดฐานสี่เหลี่ยมจัตุรัส ที่ฐานยาวด้านละ 6 เมตร ด้านข้างเป็นสามเหลี่ยมหน้าจั่ว เท่ากันทุกประการ 4 รูปมาประกอบกัน ถ้าพีระมิดนี้มีปริมาตร 48 ลูกบาศก์เมตร แล้วพื้นที่้ด้านข้างพีระมิดเป็นเท่าไหร่

ใช้สูตรหาส่วนสูงได้ 4 เมตร ใช้พีทากอรัสหาสูงเอียงได้ 5 เมตร หาพื้นที่ (1/2)(6)(5) = 15

มี 4 รูป จะได้ พื้นที่ผิดข้าง = 15*4 = 60 ตารางเมตร

8. สามเหลี่ยมด้านเท่าที่มีจุดยอดทั้ง 3 อยู่บนเส้นรอบวงวงกลม จงหาอัตราส่วน พื้นที่วงกลม : พื้นที่สามเหลี่ยม


ใช้กฏของ sine หา ความสัมพันธ์ของความยาวด้าน 3 เหลี่ยน กับรัศมีวงกลม

เเล้วหาพื้นที่เทียบธรรมดา

ผมว่า ต้องพิสูจน์ก่อนครับ ว่า $(n^2+n+1,n^2-n+1) = 1$

A หา รBลงตัวหมายความว่า Aคือ หรม B คือครน.จะได้(m+n)(m-n)=7
จากนั้นแก้สมการไปเรื่อยๆจะได้ ครน.คือ 91 (เนื่องจากติดลบไม่ได้)

ต้องพิสูจน์เหรอครับเพราะโจทย์กำหนดให้มันเป็นจำนวนเฉพาะอยู่เเล้ว

ได้ $4\pi :3\sqrt{3} $ ปะครับ