![]() |
ข้อ 6 ต้องการแนะนำให้รู้จักกับเอกลักษณ์นี้ครับ
$$(1+a)(1+b)(1+c)+(a+b)(b+c)(c+a)=(1+a+b+c)(1+ab+bc+ca)$$ 8. (nooonuii) ให้ $a,b,c$ เป็นจำนวนจริงบวกโดยที่ $a + b + c = 3$ จงพิสูจน์ว่า $$ a^{n} (\frac{a+1}{b+1}) + b^{n} (\frac{b+1}{c+1}) + c^{n} (\frac{c+1}{a+1}) \geq 3$$ ทุกจำนวนเต็ม $n$ |
หวัดดีครับ คราวนี้ผมจะมาแก้โจทย์ของคุณ nooonuii ข้อข้างบนน่ะครับ
case 1 : n ณ 2 \frac{an(a+1)}{(b+1)} +\frac{bn(b+1)}{(c+1} + \frac{cn(c+1)}{(a+1)}ณ \frac{(an/2(a+1)+bn/2(b+1)+bn/2(b+1))}{(a+1)(b+1)+(b+1)(c+1)+(c+1)(a+1)} โดย โคชี พิจารณา ตัว (a+1)(b+1)+(b+1)(c+1)+(c+1)(a+1) ฃ 12 เนื่องจาก ab+bc+ca ฃ \frac{(a+b+c)^{2}}{3} และ จาก power mean an+bn+cn ณ 3 จึงได้ว่า case 1 เป็นจริง อิๆที่เหลือให้คนอื่นคิดบ้างดีกว่าคับ อืม เพิ่งเข้ามาเป็นสมาชิกใหม่ก็ขอฝากเนื้อฝากตัวพี่ๆด้วยนะครับ ผมก็ไม่ได้เก่งอะไรมากมายมีอะไรก็ชี้แนะด้วยนะคับ ที่จิงผมก็เพิ่งเริ่มใช้ latex อาจจะมีผิดพลาดไปบ้างก็ขอโทษนะครับ |
ขอแก้อันข้างบนนะครับ
case 1 : n ณ 2 \[\frac{a^{n}(a+1)}{(b+1)} +\frac{b^{n}(b+1)}{(c+1)} + \frac{c^{n}(c+1)}{(a+1)} \geq \frac{(a^{n/2}(a+1)+b^{n/2}(b+1)+c^{n/2}(b+1))^{2}}{(a+1)(b+1)+(b+1)(c+1)+(c+1)(a+1)} \] โดย โคชี พิจารณา ตัว (a+1)(b+1)+(b+1)(c+1)+(c+1)(a+1) ฃ 12 เนื่องจาก ab+bc+ca ฃ \( \frac{(a+b+c)^{2}}{3}\) และ จาก power mean an+bn+cn ณ 3 ดังนั้น \[\frac{a^{n}(a+1)}{(b+1)} +\frac{b^{n}(b+1)}{(c+1)} + \frac{c^{n}(c+1)}{(a+1)} \geq 3 \] เป็นจริง |
use rearrangement inequality to show that
(a^n)(a+1)/(b+1)+(b^n)(b+1)/(c+1)+(c^n)(c+1)/(a+1) >= (a^n)(a+1)/(a+1)+(b^n)(b+1)/(b+1)+(c^n)(c+1)/(c+1) =a^n+b^n+c^n >=3((a+b+c)/3)^n (by power mean inequality) |
ใครที่ยังใช้ Latex ไม่เป็น หรือไม่คล่องลองไปหัดเขียนเล่นในห้องข้างบนดูได้ครับ.
ในห้องนั้นมีกระทู้ปักหมุดสอนและคำสั่งครบหมดแล้ว - เวลากดตอบกระทู้ สามารถกดดูล่วงหน้าได้ว่า ถ้าส่งไปแล้วจะเห็นแบบไหน - ถ้าคิดว่าตอบผิด สามารถแก้ไขคำตอบของตัวเองได้ครับ กดตรงรูปดินสอ ก็จะเข้าโหมดแก้ไข ไม่จำ้เป็นต้องตอบซ้ำครับ. - ถ้าอยากเรียนรู้การใช้ Latex อย่างรวดเร็ว ก็สามารถทำได้โดยการกดปุ่ม quote เพื่อดูคำสั่งของคนที่ตอบก่อนหน้านี้ของใครก็ได้ ตรงรูป "" ของคนที่ตอบ :) ปล. Nooonuii ถ้าเข้ามาอ่าน เปิดดูข้อความส่วนตัวด้วยครับ. |
9. (nooonuii) ให้ $a,b,c,x,y,z > 0$ โดยที่ $abc = 1$ และ $x + y + z = 3$ จงพิสูจน์ว่า
$$ \frac{a^2}{a+x} + \frac{b^2}{b+y} + \frac{c^2}{c+z}\geq \frac{3}{2}$$ |
by cauchy
\Large{ \frac{a^2}{a+x} + \frac{b^2}{b+y} + \frac{c^2}{c+z}ณ\frac{(a+b+c)^2}{a+b+c+x+y+z} =\frac{(a+b+c)^2}{a+b+c+3}ณ\frac{3}{2} ![]() |
อ้างอิง:
|
อ้างอิง:
|
อสมการสุดท้ายตรงกับ \((2(a+b+c)+3)(a+b+c-3) \geq 0\) ครับ
|
อ้อเข้าใจแล้วครับ คิดไม่ถึงเหมือนกันว่าจะออกมาทางนี้ได้ ของผมทำค่อนข้างยืดยาวโดยใช้ AM-GM
เนื่องจาก $\displaystyle{ ( \frac{a^2}{a+x} + \frac{b^2}{b+y} + \frac{c^2}{c+z}) - (\frac{x^2}{a+x} + \frac{y^2}{b+y} + \frac{z^2}{c+z}) }$ $ = (a + b + c) - (x + y + z) \geq 0$ ดังนั้น $\displaystyle{ 2(\frac{a^2}{a+x} + \frac{b^2}{b+y} + \frac{c^2}{c+z}) \geq \frac{a^2 + x^2}{a+x} + \frac{b^2+y^2}{b+y} + \frac{c^2+z^2}{c+z}}$ $\displaystyle{ \geq \frac{a+x}{2} + \frac{b+y}{2} +\frac{c+z}{2} \geq 3 }$ |
To Nooonuii
Sorry, I'm forget the case n<=0 if n>=0 (a^n)(a+1),(b^n)(b+1),(c^n)(c+1) has reverse order with 1/(a+1),1/(b+1),1/(c+1) and you can prove it easily. if n<0 I will solve it later P.S. Can you solve my problems? (Hint: equality holds iff a^2=b^2=c^2=6) |
อ๊ะ ลืมไปเลยครับ ว่ายังมีโจทย์ของคุณ devil jr. อยู่อีกข้อนึง
ถ้าว่างเมื่อไหร่จะลองคิดดูครับ แต่ตอนนี้ขออ่านหนังสือสอบใหญ่ซักสองวิชาก่อนนะครับ :) |
10. $a,b,c$ are positive reals. Prove that
$$\min\{\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a},\frac{a}{c}+\frac{b}{a}+\frac{c}{b}\} \geq \min\{a+b+c,\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\}.$$ |
อ้างอิง:
สมมูลกับ (a/b)2+(b/c)2+(c/a)2+a/c+c/b+b/a ณ 3+a/b+b/c+c/a ซึ่งเป็นจริงจากอสมการโคชี่ จาก(a/b+b/c+c/a)2 ณ (a+b+c)(1/a+1/b+1/c) สรุปได้ว่า min{a/b+b/c+c/a,a/c+b/a+c/b} >= min{a+b+c,1/a+1/b+1/c} |
เวลาที่แสดงทั้งหมด เป็นเวลาที่ประเทศไทย (GMT +7) ขณะนี้เป็นเวลา 05:56 |
Powered by vBulletin® Copyright ©2000 - 2024, Jelsoft Enterprises Ltd.
Modified by Jetsada Karnpracha