เหมือนที่คุณ banker บอกนั่นแหละครับ

อสมการยังไม่ sharp เพราะว่าค่าสูงสุดเกิดขึ้นไม่ได้ที่ $3$

เพราะไม่มีค่า $a,b,c,d$ ที่สอดคล้องเงื่อนไขโจทย์แล้วทำให้สมการเป็นจริง

ดังนั้นตัวเลข $3$ จึงเป็นเพียงค่าขอบเขตบน แต่ยังไม่ใช่ค่าสูงสุด

อสมการจึงยังสามารถปรับให้ sharp ขึ้นโดยการพิสูจน์อสมการ

$\sqrt{a(b+c)}+\sqrt{b(c+d)}+\sqrt{c(d+a)}+\sqrt{d(b+a)}\leqslant 2\sqrt{2}$

ซึ่งดีกว่าเพราะว่าสมการเกิดขึ้นได้จริงที่ $a=b=c=d=\dfrac{1}{2}$

และจะได้ทันทีด้วยว่า $\sqrt{a(b+c)}+\sqrt{b(c+d)}+\sqrt{c(d+a)}+\sqrt{d(b+a)}\leqslant 2\sqrt{2}< 3$

โดย AM.-GM. จะได้
$\dfrac{x+y}{2}\geqslant \sqrt{xy}$
และสองฝั่งจะเท่ากันก็ต่อเมื่อ $x=y$
ที่นี้
$\dfrac{a+(b+c)}{2}\geqslant \sqrt{a(b+c)}$
จะเท่ากันเมื่อ $a=b+c$
$\dfrac{b+(c+d)}{2}\geqslant \sqrt{b(c+d)}$
จะเท่ากันเมื่อ $b=d+c$
$\dfrac{c+(d+a)}{2}\geqslant \sqrt{c(d+a)}$
จะเท่ากันเมื่อ $c=d+a$
$\dfrac{d+(b+a)}{2}\geqslant \sqrt{d(b+a)}$
จะเท่ากันเมื่อ $d=b+a$

แต่ a,b,c,d มากกว่า 0 และ a+b+c+d=2 คงเป็นไปไม่ได้ ที่ค่าจะไปถึง 3

ข้อนี่ใช้ modified-cauchy ก็จบแล้วนี่ - -"

Modified-Cauchy (T2 Lemma) $\sum_{i = 1}^{n} \frac{x_i^2}{y_i} \geqslant \frac{(\sum_{i = 1}^{n} x_i)^2}{\sum_{i = 1}^{n} y_i} $