ว้าวพี่ noonuii ลงมาเล่นด้วยแล้ว
66. $ให้ a, b, c$ เป็นความยาวด้านทั้งสามของสามเหลี่ยม ABC จงพิสูจน์ว่า $a^2 (b + c − a) + b^2 (c + a − b) + c^2 (a + b − c) ≤ 3abc$ (1964 IMO) $L.H.S=ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)-a^3-b^3-c^3\leqslant 3abc$ $\Leftrightarrow ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)\leqslant a^3+b^3+c^2+3abc$ ซึ่งเป็นจริงโดย schur's inequality 68. ผมคิดได้ 153846 วิธีคิดผมไม่สวยเลยมีใครมีแนวคิดที่ดีกว่าก็โปรดชี้แนะด้วย คิดโดย ให้ $n=(a_na_{n-1}...a_1(10)+6)4= 6(10^n)+a_na_{n-1}...a_1$ สมมติให้ $a_na_{n-1}...a_1=k$ จัสมการใหม่ได้ $k(39)+24=6(10^n)\rightarrow 13k+8=2(10^n)$ แ้ลวค่อยมาพิจรณาหลักหน่วยของ k โดยที่หลักหน่วยคูณ 13 แล้วลงท้ายด้วย 2 จะได้หลักหน่วยคือ 4 แล้วก็ใช้หลักการเดียวกันพจรณาไล่ไปเรื่อยๆ |
อ้างอิง:
|
อ้างอิง:
$x=\dfrac{1}{2}\Rightarrow |f(x)|=|x^2-x-1|=\dfrac{5}{4}>1$ |
ขอบคุณครับ :please:
|
เท่าที่คิดได้รวบยอดนะครับ
$55. 3$ $58. 6$ $59. \frac{13}{3}$ $61. 0,\frac{4x^2}{9}$ $63. (m,n)=(0,0),(0,1)$ $64.$ ใช้ยูคลิดเหมือนคุณ Light ครับ $65. frac{(2n+1)\pi}{2},frac{(2n+1)\pi}{4},frac{(12n\pm1)\pi}{6},frac{(12n+6\pm1)\pi}{6}$ $67. a\not=b\pm2|b|\wedge a\not=\pm b\wedge a\not=0$ $69. [\frac{\pi}{4},\frac{3\pi}{2}]$ $75. 48$ $77. 245$ ปล. รบกวนผู้รู้ทุกท่านช่วยตรวจด้วยครับ :please::) ปล2. AIME นี่คือการแข่งขันอะไรครับ :confused: |
ข้อ 65. ผมกลับมาคิดใหม่แล้วได้
$x=\frac{\pi }{2} +2k\pi,\frac{3\pi }{2} +2k\pi ,\frac{\pi }{4}+2k\pi,\frac{3\pi }{4}+2k\pi,\frac{5\pi }{4} +2k\pi,\frac{7\pi }{4} +2k\pi,\frac{\pi }{ุ6} +2k\pi,\frac{5\pi }{6} +2k\pi,\frac{7\pi }{6} +2k\pi,\frac{11\pi }{6} +2k\pi$ ตรงกับของคุณ SIL ครับ |
ข้อ 70. ไม่ confirm
กำหนด f เป็นฟังก์ชัน ซึ่งสอดคล้องกับเงื่อนไข $f (2 + x) = f (2 − x)$ และ $f (7 + x) = f (7 − x)$ สำหรับทุกค่าของจำนวนจริง x ถ้า$ x = 0 $เป็นรากหนึ่งของสมการ $f (x) = 0$ แล้ว รากของสมการ $f (x) = 0$ ซึ่งมีค่าอยู่ในช่วง$ −1000 ≤ x ≤ 1000$ จะมีอยู่ทั้งหมด อย่างน้อยที่สุดกี่ตัว (AIME 1984) จาก $f (2 + x) = f (2 − x)$ แทน $x=10k_0+2$ $f(10k_0+4)=f(-10k_0)$ เมื่อนแทน $k_0=0$ จะได้ $f(4)=0$ พิจรณา $f (7 + x) = f (7 − x)$ แทน $x=10k_1+7$ $f(10(k_1+1)+4)=f(-10k_1)$ กำหนดให้ $k_0=k_1$ จะได้ $f(10k_0+4)=f(10(k_0+1)+4)$ เมื่อแทน $k_0=0$ จะได้ $f(10(k)+4)=0$ ทุกจำนวนเต็ม $k$ (สรุปได้โดยใช้แนวคิดคล้ายๆ Induction อ่ะครับ) แต่ $f(10k+4)=f(-10k)$ จะได้ $f(-10k)=0$ ทุกจำนวนเต็ม $k$ เช่นกัน จะได้ x ที่อยุ่ในช่วง $ −1000 ≤ x ≤ 1000$ มี จะมีอย่างน้อย $200+200=400$ |
อ้างอิง:
ไม่แน่ใจมากถึงมากที่สุด :haha: ปล. ข้อ 75 ผมได้ เศษคือ 35 อ่าครับ ข้อ 77 ผมได้ 448 อ่ะครับ |
อ่า ผมลองนับใหม่ดูแล้วครับ ตัวที่หาร 10 เหลือเศษ 4 ฝั่งบวกได้ 4,14,24,...,994 มี 100 ตัว ฝั่งลบ -4,-14,-24,...,-994 มี 100 ตัว
ดังนั้นคำตอบควรจะเป็น 200 นะ ปล. ข้อ 75 ผมได้ 35 เท่าน้อง Scylla ครับ |
ข้อ 75 คิดใหม่ได้ 35 จริงๆครับ :please:
ข้อ 77 น้อง Scylla_Shadow คิดไงหรอครับ |
อ้างอิง:
จะได้ว่า $S $ ทำการกระทำตามโจทย์กับ $(7\cup S) $ จะได้ผลลัพธ์เป็น 7 เสมอครับ |
ปัญหาที่ 80/2548 (not sure at all)
ถ้าเขียนพหุนาม $1 − x + x^2 − x^3 + ? − x^{15} + x^{16} − x^{17}$ ในรูปของพหุนาม $a_0 + a_1 y + a_2 y^2 + a_3 y^3 + ? + a_{16} y^{16} + a_{17} y^{17}$ โดยที่ $y = x + 1$ และ $a_0 , a_1, a_2 , ?, a_{17}$ เป็นค่าคงที่ แล้ว $a_2$ มีค่าเท่ากับเท่าใด (AIME 1986) $y=x+1\rightarrow x=y-1$ $1 − x + x^2 − x^3 + ? − x^15 + x^16 − x^17=1-(y-1)+(y-1)^2-(y-1)^3+...-(y-1)^{15}+(y-1)^{16}-(y-1)^{17}$ So the coefficient of $y^2=\binom{2}{2}+\binom{3}{2}+\binom{4}{2}+...+\binom{16}{2}+\binom{17}{2}=\binom{17+1}{2+1}=\binom{18}{3}=816$ |
อ้างอิง:
เราจะได้ว่า $f(x)=\frac{1-x^{18}}{1+x}$ แต่ $x=y-1$ เพราะฉะนั้น $f(y-1)=\frac{1-(y-1)^18}{y}$ สปส ของ $y^2$ = $\binom{18}{3} =816$ |
หลงข้อหรือเปล่าครับ :sweat:
|
อ้างอิง:
แต่ผมก็ยังไม่ตรงกับพี่อ่ะ ข้อ77 ผมได้ 600 ตัวอ่ะครับ ไม่ลง full solution นะ ให้ $x=\frac{m}{24}$ ==> ไล่ดูตั้งแต่ m=1,2,3,...,24 จะได้ว่า มีค่าที่เราต้องการ 12 ค่าครับจาก 1-20 นะ (คือมีค่าที่สอดคล้องกับโจทย์อ่ะ ตั้งแต่ 1-20 มีอยู่ 12 ตัว <หาเอง>) นั่นคือ 20 จำนวนแรกมีที่สอดคล้อง 12 ตัว 1000 จำนวนแรกมีที่สอคล้อง 600 ตัว (ลองดูครับ มันเป็น pattern) |
เวลาที่แสดงทั้งหมด เป็นเวลาที่ประเทศไทย (GMT +7) ขณะนี้เป็นเวลา 13:27 |
Powered by vBulletin® Copyright ©2000 - 2024, Jelsoft Enterprises Ltd.
Modified by Jetsada Karnpracha