อ้างอิง:
$$x=(18+\sqrt{142})s.....,y=(18-\sqrt{142})s....,z=30s....เมื่อ..s\in I^{+}$$ |
ทฤษฎีการเป็นลำดับเลขคณิตของรากสมการกำลังสาม
กำหนด $y=f(x)=Ax^{3}+Bx^{2}+Cx+D เมื่อ A\not= 0,B,C,D เป็นจำนวนจริงและB^{2}-3AC>0 $
1.$y=f(x)=Ax^{3}+Bx^{2}+Cx+D=0$จะมีรากเป็นจำนวนจริง 3 ค่าและเรียงกันเป็นลำดับเลขคณิตก็ต่อเมื่อ$f(-\frac{B}{3A} )=0$ 2.กรณีที่$y=f(x)=Ax^{3}+Bx^{2}+Cx+D=0 และ f(-\frac{B}{3A} )\not= 0$จะสามารถหาจำนวนจริง $k\in R$ ได้เพียงค่าเดียวที่ทำให้ $y=f(x)=Ax^{3}+Bx^{2}+Cx+D=k$ มีรากสมการเป็นลำดับเลขคณิต 3.$y=f(x)=Ax^{3}+Bx^{2}+Cx+D=k เมื่อ k=f(-\frac{B}{3A})$จะมีรากของสมการเป็นลำดับเลขคณิตเสมอ และถ้า $x_{1},x_{2},x_{3}$ เป็นรากของสมการที่เรียงจากน้อยไปมาก$$x_{1}=-\frac{B}{3A}-\sqrt{3}a,x_{2}=-\frac{B}{3A}และ x_{3}=-\frac{B}{3A}+\sqrt{3}a เมื่อ a=\frac{\sqrt{B^{2}-3AC} }{3\left|\,A\right| } $$ |
คิดแบบนี้ ถึงมี กาลัวร์ฟิวด์ :0-1 แบบว่ามี C กับ D ไม่เอาไปคิดด้วย คงเพราะว่าง่าย เหมือนๆ X^3-X-1 =0
กลายเป็น 1 2 3 4 ... ส่วน ทำให้มีหลายระบบ เช่น Metric อังกฤษ กับ Metric อเมริกา ไหนจะ เยรมัน |
อ้างอิง:
ที่มาของไอเดีย หรือ เหตุผลสนับสนุนก็ได้ครับ |
ถ้าผมรู้ผลเฉลยของ$x^{3}+y^{3}=z^{3},(x+y)และ(xy)และzเป็นจำนวนเต็มบวก$ผมก็จะเข้าใกล้ผลเฉลยของ$x^{3}+y^{3}=z^{3},xและyและzเป็นจำนว นเต็มบวก$
อ้างอิง:
|
อ้างอิง:
|
อ้างอิง:
เราจะย่อสิ่งๆนั้นกลับมาที่โจทย์แล้วสรุปผลยังไงละครับ ปล.พักนี้ไม่รู้เป็นไร อยากหาคนคุยด้วย :laugh: |
อ้างอิง:
|
อ้างอิง:
เพราะชุดคำตอบ $x,y,z$ ที่คุณหาออกมา มี $x,y$ ไม่เป็นจำนวนเต็มบวก มีเฉพาะ $z$ เท่านั้น ที่คุณหาออกมาได้ ที่เป็นจำนวนเต็มบวกนิครับ ปล. ผมคิดว่าไอเดียขยายเซตคำตอบเป็นไอเดียที่ดีครับ แต่มันเป็นไอเดียที่มีปัญหาและไม่สมบูรณ์ คือใช้ได้แค่ระดับนึงเท่านั้น |
เออ ตามหัวข้อโจทย์มีคนเอา เงื่ิอนไขตอนท้ายไปใส่ในสมการ $x^3$ + $y^3$ = $z^3$ หา x, y, z ที่เป็นจำนวนเต็ม
ส่วน Galois Theory ลองหาหนังสืออ่านดูครับ เค้าเริ่มจากแก้สมการกำลังสาม Cubic Equation ชื่อคนแต่ง David A .Cox ไม่ใช่งานของผม |
ไม่มีสัมประสิทธิ์หนัาตัวแปรให้ทอนลงมา ที่เป็นจำนวนเต็ม นักคณิตศาสตร์ก็คงหันไปคำนวนเลขชี้กำลังก่อน เพราะทอนจาก 3 เป็นกำลัง 2 และ 1 ได้ หรือ 3 เทอมในสมการ ทอนลงให้เหลือ 2 สมการ ที่เป็นกำลัง 2 แล้วเเข้าสูตร x = $(-b $+/-$ $sqt($b^2$-4ac))$/2a$
:) |
บทสรุปของผลเฉลยของสมการกำลังสามที่เป็นจำนวนเต็มบวก
เพื่อไม่ให้เกิดความสับสนในการใช้ภาษา ผมจะขอสรุปผลเฉลยของสมการ $x^{3}+y^{3}=z^{3}$ โดยใช้สัญลักษณ์ทางเซตดังนี้นะครับ.....
กำหนดให้.... $$A=\left\{\,(x,y,z)\in R^{+}\times R^{+}\times I^{+}\mid x^{3}+y^{3}=z^{3}\right\} $$ $$B=\left\{\,(x,y,z)\in I^{+}\times I^{+}\times I^{+}\mid x^{3}+y^{3}=z^{3}\right\} $$ จากเซต $A$และ$B$ ข้างต้นจะได้ว่า $B\subset A$ แต่จากการหาผลเฉลยของเซตคำตอบของ $A$ โดยใช้เวลาอยู่พอสมควรแล้ว ผมสรุปเซตคำตอบของ $A$ ได้ทั้งหมด $4 ชุดคำตอบ$แล้วครับ (มันยังมีอีก.........) $$ชุดที่1....(x,y,z)=((9+\sqrt{5} )s,(9-\sqrt{5})s,12s)....เมื่อ 12s\in I^{+}$$ $$ชุดที่2....(x,y,z)=((12+\sqrt{33} )s,(12-\sqrt{33})s,18s)....เมื่อ 18s\in I^{+}$$ $$ชุดที่3....(x,y,z)=((18+\sqrt{142} )s,(18-\sqrt{142})s,30s)....เมื่อ 30s\in I^{+}$$ $$ชุดที่4....(x,y,z)=((36+\sqrt{899} )s,(36-\sqrt{899})s,66s)....เมื่อ 66s\in I^{+}$$ ซึ่งจากเซตคำตอบดังกล่าวยังไม่มี $(x,y,z)\in I^{+}\times I^{+}\times I^{+}$ แต่คาดว่าผลเฉลยมันน่าจะมีเป็นอนันต์ชุด(ไม่แน่ใจ) ดูจากแนวโน้มแล้ว มันก็น่าจะมีสัก 1 ชุดคำตอบน่าที่ใช่........ |
ขอให้ไปในแนวทางนี้จนถึงที่สุดเลยครับ .
|
อ้างอิง:
สมมติว่าเรามีสมการกำลังสองอยู่หนึ่งสมการ สมมติว่าเป็น $x^2+4x+6=0$ ก็แล้วกัน ลองสังเกตดูว่าเราหาคำตอบที่เป็นจำนวนจริงไม่ได้ จริงไหมครับ แต่พอมีใครซักคนคิดระบบของจำนวนเชิงซ้อนออกมา ก็มีคำตอบทันที ก็เท่ากับว่า คนๆนั้นใช้ตรรกะในการขยายเซตคำตอบเหมือนกัน คือแทนที่จะหาคำตอบบนเซตของจำนวนจริง ก็ไปหาเป็นเซตของเชิงซ้อนแทน ทีนี้ไอเดียคือการขยายเซตคำตอบออกไปเป็นจำนวนเชิงซ้อน มันยังสรุปไม่ได้ 100% ถึงพฤติกรรมการเกิดรากของเซตคำตอบก่อนขยายครับ ลองมองแบบนี้ดู สมการ $x^2+4x+6=0$ หารากบน $\mathbb{R}$ จะได้ว่า "ไม่มี" พอมาทำเป็นหารากบน $\mathbb{C}$ โดยที่ $\mathbb{R} \subset \mathbb{C}$ เหมือนกับว่าจำนวนเชิงซ้อนมีความทั่วไปกว่าจำนวนจริง (โดยการเซทให้สัมประสิทธิ์หน้า $i$ เป็นศูนย์) ปรากฏว่ามีรากพอดี ก็เท่ากับว่ามันมีรากบนขอบเขตที่ขยายออกไป แต่ "ไม่มี" รากบนขอบเขตเดิม ---------------------------------------------------------------------- กลับมาดูที่ความเห็นล่าสุดของคุณข้างบน คือการดู $(x,y) \in \mathbb{R}^2$ แล้วปรากฏว่าไปเจอคำตอบ พอลดขอบเขตมาเป็น $(x,y) \in \mathbb{N}^2$ มันจะสรุปว่าไม่มีหรือมีแบบตัวอย่างที่ผมยกไว้ข้างบนไม่ได้ เพราะตัวอย่างข้างบน เรารู้ๆกันด้วยความรู้ของจำนวนเชิงซ้อนม.ปลายที่ไม่ได้ซับซ้อนมาก ว่ามีหรือไม่มีคำตอบ พอกลับมามองที่ FLT กรณี $n=3$ การที่คุณกำลังจะสรุปคำตอบโดยวิธีขยายขอบเขต ต่อให้เจอคำตอบบนขอบเขตที่ขยายออกไป ก็สรุปกลับมาที่ขอบเขตก่อนขยายไม่ได้ครับ สมมติว่าถ้ามัน "ไม่มี" คำตอบบนขอบเขตที่ขยาย แล้วสรุปว่า "ไม่มี" คำตอบในขอบเขตก่อนขยาย อันนี้ "อาจจะ" ได้ครับ เพราะ $\mathbb{N} \subset \mathbb{R}$ และ $\mathbb{R} \subset \mathbb{C}$ เซตนึงมีความทั่วไปมากกว่าอีกเซต กลับมาที่คำถามที่ผมเคยถามว่า ว่าถ้าหากเซทที่ขยายออกไป ดัน "มี" คำตอบมาละ มันก็ใช่ว่าจะสรุปกลับมาที่ขอบเขตก่อนขยายได้ว่า มีหรือไม่มี 100% ครับ การสรุปผล เราจะสรุปจากสิ่งที่เพียงพอให้สรุปเท่านั้นครับ และคำตอบที่คุณหาออกมาได้ เป็นแค่คำตอบกรณีเฉพาะที่ $x+y , xy$ เป็นจำนวนเต็มบวกแค่นั้นครับ คำตอบบนโดเมนขยายขอบออกไป มีได้เป็นอนันต์ไม่ต้องสงสัยครับ ปล. FLT มีความ sharp และ strong สูงมากครับ พวก capability ต่ำๆไม่มีทางทุบลงครับ |
บทสรุปของผลเฉลยของสมการกำลังสามที่เป็นจำนวนเต็มบวกทั้ง x,yและz
4 ไฟล์และเอกสาร
อ้างอิง:
อ้างอิง:
....................................................................................................... ผมก็ขอสรุปผลเฉลยของสมการ $x^{3}+y^{3}=z^{3}$ โดยที่ทั้ง x,yและ z เป็นจำนวนเต็มบวก นั้นไม่มีผลเฉลยครับ เพราะว่าจากการพิจารณาผลเฉลยของสมการ $x^{3}+y^{3}=z^{3}$ โดย xและy เป็นจำนวนจริงบวกใดๆก็ได้ ส่วน zเป็นจำนวนเต็มบวกเท่านั้น ซึ่งมีเป็นจำนวนอนันต์ผลเฉลย ไม่มีผลเฉลยใดๆเลยที่ค่า xและy เป็นจำนวนเต็มบวกเลยครับ ส่วนวิธีการพิสูจน์นั้นผมสรุปมาคราวๆได้ประมาณ 4 หน้ากระดาษ โดยผมพยายามจะใช้สัญลักษณ์ทางคณิตศาสตร์ให้มากที่สุด เพื่อให้เกิดความชัดเจน ถูกก็คือถูก ผิดก็คือผิด หากมีข้อผิดพลาดหรือช่องว่างประการใด ขอน้อมรับไว้ทุกประการครับ ขอบคุณครับ |
เวลาที่แสดงทั้งหมด เป็นเวลาที่ประเทศไทย (GMT +7) ขณะนี้เป็นเวลา 04:56 |
Powered by vBulletin® Copyright ©2000 - 2024, Jelsoft Enterprises Ltd.
Modified by Jetsada Karnpracha