Mathcenter Forum - ข้อสอบTMO 9 จะเดินทางมาถึงตอนไหนครับ :)

Mathcenter Forum (https://www.mathcenter.net/forum/index.php)

- ข้อสอบโอลิมปิก (https://www.mathcenter.net/forum/forumdisplay.php?f=28)

$1.$ Power of a point สามครั้ง
$2.$ พิจารณาค่า absolute แล้วแบ่งว่า $x-a_i$ มากกว่า $0$ และน้อยกว่า $0$ กี่ตัว
$3.$ ลองลบตัวเศษด้วย $m+n$ ออก
$4.$ $8$ จุด concyclic
$5.$ $f(f(x)-2x)=3f(x)-6x$
$6.$ ดูคุณสมบัติของคนที่ชนะหมดและคนที่แพ้หมดในกลุ่มที่เราพิจารณาให้ดี ดูอีกว่าถ้ามีเสมอแล้วเกิดอะไรขึ้น (ตอบ $2(100)-3$)
$7.$ ไล่ก็ได้ ในทุกกรณี
$8.$ ดูผลรวมคะแนนที่ต่ำสุดที่เป็นไปได้
$9.$ พิจารณาว่าสัมประสิทธิ์หน้าพจน์ $x^r$ มากกว่าเท่ากับเท่าใด
$10.$ รังนกพิราบ พยายามแสดงให้ได้ว่า ไม่ว่า $\epsilon>0$ เป็นเท่าใด จะได้ว่ามี $k\in\mathbb{N}$ ซึ่ง $\{kx\}<\epsilon$
$11.$ $Q$ เป็น orthocenter ของ $\triangle ABC$, $\overleftrightarrow{QR}$ ผ่าน $A$
$12.$ ให้ $(a,b,c)=k$ ดึงตัวร่วมออก แล้วพิจารณาว่าหากให้ $(a,b)=pk,(b,c)=qk,(c,a)=rk$ แล้ว $a,b,c$ เป็นเท่าใด

#16 ผมว่าคุณอยู่ค่าย สสวท. 2 อยู่แน่นอน ใช่หรือเปล่าครับเนี่ย เก่งจัง :cry:

ผมไปคุยกับคนๆหนึ่งในค่าย สสวท. 2 เค้าบอกผมว่า ข้อ 12 ทำกันได้เกือบทุกคนในค่ายเลย :blood:

อ้างอิง:

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Beatmania (ข้อความที่ 140409)

คนนี้นี่เองที่ได้ที่ 1 ประเทศ Beatmania :great::great::great:

ใครอยากได้ไฟล์รูปข้อสอบปีนี้ลองดูที่กระทู้นี้ครับ http://www.mathcenter.net/forum/showthread.php?t=16357

ผมลงเอาไว้ให้แล้ว

ปีนี้ตัดเหรียญทองแดงที่ 19 คะแนนครับ ส่วนเหรียญเงินนี่ตัดที่ 26 คะแนนครับ
ปีนี้ข้อแจกคะแนนค่อนข้างเยอะ แต่ข้อ9นี่ถ้าเขียนไม่ดีโดนหั่นคะแนนกระจุยครับ ขนาดผมแสดงว่ารากทุกตัวเป็นลบ อ้างความสัมพันธ์ราก แล้วใช้ AM-GM แล้ว แต่เขียนสั้น(1หน้า)ยังโดนหั่นเหลือ1คะแนนเลยครับ ส่วนข้อ1นี่ผมไม่ได้ทำครับโคตรเสียดายอ่ะ

ปล.ข้อ10นี่ผมก็ใช้รังนกนะครับแต่พิสูจน์ได้ไม่จบอ่ะแต่อาจารย์ไปต่อสู้แย่งชิงคะแนนมาให้ได้อยู่นิดนึง

การให้เหรียญใน TMO คราวนี้ไม่นับรวมเด็กที่ตกจากค่ายสสวท. ครับ

คิดเฉพาะ 96 คนที่เข้าร่วมการแข่งขันเท่านั้น

สาเหตุที่มีคนได้เหรียญเยอะกว่า $48$ คน

ก็เพราะว่ามีคนทำคะแนนได้เท่ากันเยอะครับ

จึงจำเป็นต้องเพิ่มจำนวนเหรียญตามคะแนนที่เกาะกลุ่มกัน

ผมอยากเห็นผลสอบจัง ใครมีบ้างอะครับ ผมรอเว็บ POSN มาหลายวันแล้ว

ผลสอบดูได้ที่เวบ TMO9 ครับ

รายชื่อผู้ได้รับรางวัล

เข้าใจตรงกันตามนั้นครับ #20

พี่ nooonuii อยู่ที่ มอ ด้วยหรอครับ ?

เด็ก สสวท ไม่เห็นได้เหรียญเลยอะครับ

อ้างอิง:

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Kaito1412 (ข้อความที่ 140509)

เข้าใจตรงกันตามนั้นครับ #20

พี่ nooonuii อยู่ที่ มอ ด้วยหรอครับ ?

คนที่ดูเท่ห์ที่สุดในงาน ลองหาดูครับ. :laugh:

http://www.math.psu.ac.th/tmo9/compo...rticle/56.html

อ้างอิง:

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ polsk133 (ข้อความที่ 140510)

เด็ก สสวท ไม่เห็นได้เหรียญเลยอะครับ

ผลสอบของเด็กสสวท. ดูที่เวบของ สอวน. ครับ คนละส่วนกัน

อ้างอิง:

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ passer-by (ข้อความที่ 140268)

DAY 2 :

7. ให้ a,b เป็นจำนวนเต็มที่ (a,b)=1 และให้ m เป็นจำนวนเต็มที่ $ 5 | ma^2+b^2$ พิสูจน์ว่ามีจำนวนเต็ม n ซึ่ง $ 5|m-n^2$

(Note : ข้อนี้สามารถ generalize จาก 5 เป็น prime number $ p \equiv 1{\pmod 4} $ ได้

8. นักเรียนชายและหญิง อย่างละ 2n คน แข่งเทควันโดแบบพบกันหมด และมีเกณฑ์ให้คะแนนดังนี้

(ก) ถ้าเพศเดียวกันแข่งกัน ผู้ชนะได้ 3 คะแนน ผู้แพ้ได้ 0 คะแนน และเสมอคนละ 1 คะแนน

(ข) ถ้าชายแข่งกับหญิง ในกรณีที่หญิงชนะ จะได้ 3 คะแนน แพ้ 0 คะแนน และเสมอได้ 2 คะแนน ในกรณีชายชนะ ได้ 2 คะแนน แพ้หรือเสมอได้ 0 คะแนน

หลังการแข่งขันสิ้นสุด หาคะแนนรวมเด็กแต่ละคน และ P แทนจำนวนคู่แข่งขันที่ผลการแข่งขันเสมอ และ Q แทนจำนวนคู่แข่งขันทั้งหมด ถ้านักเรียนที่ได้คะแนนสูงสุดได้ 4n-1 คะแนน หาค่า $\frac{P}{Q}$

9. n เป็นจำนวนเต็มบวก และ P(x) เป็นพหุนาม monic ดีกรี n ที่สัมประสิทธิ์ทุกตัวเป็นจำนวนจริงบวกและ constant term = 1 ถ้า P(x) = 0 มีรากทุกตัวเป็นจำนวนจริง พิสูจน์ $ P(x) \geq (x+1)^n ,x >0$

10. ให้ x เป็นจำนวนอตรรกยะ พิสูจน์ว่ามีจำนวนเต็ม m,n ซึ่ง $ \frac{1}{2555} < mx+n < \frac{1}{2012}$

(Note : It's special case of Kronecker Theorem : nv+m dense in R ,where v is positive irrational and n positive integer , m integer)

11. กำหนดสามเหลี่ยมุมแหลม ABC และ CP เป็นส่วนสูง ให้ $ \omega$ คือวงกลมเส้นผ่านศูนย์กลาง BC ,จากจุด A ลากเส้นสัมผัส AD, AE มายัง $\omega$ ,เส้นสัมผัส AD,AE ตัดเส้นตรง BC ที่ M,N ตามลำดับ โดย B อยู่ระหว่าง M,C ,ให้ CP ตัด DE ที่ Q และ ME ตัด ND ที่ R และ QR ตัด BC ที่ S พิสูจน์ QS แบ่งครึ่งมุม DSE

12. ให้ a,b,c เป็นจำนวนเต็มบวก และ $ \frac{a}{b}+ \frac{b}{c}+ \frac{c}{a} \in \mathbb{Z} $ พิสูจน์ abc เป็นกำลังสามสมบูรณ์

(Note : COPIED FROM OLD CONTEST!)

รบกวนข้อ 10,12ทีครับ

ข้อ 10

Take $ n= -\left\lfloor mx\right\rfloor $ และให้ $ A = \{ \{mx\} | m \in \mathbb{Z^+}\}$

ให้ $ \epsilon = \frac{1}{2012} - \frac{1}{2555} $

Take N ที่ $ \frac{1}{N } < \epsilon $

พิจารณาช่วงเปิด (0,1) แล้วเลือกสมาชิกใน A ออกมา > N ตัว ดังนั้นจากหลักรังนกพิราบ จะมี 2 ตัว ,say x,y ที่ห่างกันไม่เกิน $ \frac{1}{N}$

พิจารณาผลต่าง k= x-y ที่เป็นบวก แน่นอนว่าอยู่ใน form ax+b โดย $ a ,b \in \mathbb{Z}$ และ ค่า k ไม่เกิน $ \epsilon $

จากนั้นพิจารณา ลำดับ 0, k, 2k ,3k ,.... ต้องมีอย่างน้อย 1 จำนวน ตกในช่วง $ (\frac{1}{2555}, \frac{1}{2012})$

คอมบิ ข้อ 8 ทำยังอ่ะครับ ผมมืดแปดด้านเลย

ข้อ 8 นะครับ

Hint

ดูผลรวมคะแนนที่ต่ำที่สุดที่เป็นไปได้ของเพศชายกับของเพศหญิง

Hint2

คะแนนสูงสุดจะมากกว่าเท่ากับ 4n-1 เสมอครับโดย

สมการจะเกิดเมื่อ

คะแนนทุกคนเป็น 4n-1 ครับ