เนื่องจากx กำลัง x ไปเรื่อยๆเท่ากับ2008 ฉะนั้น$x^{2008}=2008$ เพราะว่าxกำลัง x ไปเรื่อยๆเท่ากับ2008จึงเอามาแทนอีกรอบ
ทำนองเดียวกัน$y^{2551}=2551$
ได้$x^{2551-543}=x^{2008}$ และ$y^{2008+543}=y^{2551}$
เพราะฉะนั้น$x^{2551-543} + y^{2008+543} = 2008+2551=4559$

$n^3 - 8n^2 + 20n - 13 =(n-1)(n^2-7n+13)$
พิจารณาจำนวนเฉพาะคือจำนวนที่หารด้วย1กับตัวจำนวนนั้นลงตัว
ดังนั้น$n-1=1$ หรือ$n^2-7n+13=1$
$n=2$ หรือ $n^2-7n+12= (n-3)(n-4)$....$n=3,4$
แทนค่า เมื่อ$n-1=1\rightarrow n=2$...ได้จำนวนเฉพาะคือ$3$
$n^3 - 8n^2 + 20n - 13=1$ ได้ค่าของ$n= 3$ และ$4$
แทนค่าได้จำนวนเฉพาะคือ$2$ และ$3$

มีค่า$n$ที่ทำให้$n^3 - 8n^2 + 20n - 13$เป็นจำนวนเฉพาะ เมื่อ$n$เท่ากับ$2,3$และ$4$ โดยได้จำนวนเฉพาะคือ$2$และ$3$

ใครมีโจทย์ที่คิดว่าต้องแก้แบบถึกๆ ช่วยลงให้หน่อยครับ

ผมจะได้ถึกด้วยคน :laugh::yum:

ผมไม่ใช้วิธีการแก้สมการแต่ลองแปลงพจน์ด้านซ้ายมือที่ติดค่า$x$ให้เป็นรูปอย่างง่ายที่สุดก่อนโดยไม่ยุ่งกับ$1024$
จาก$x+\sqrt{x+\dfrac{1}{2}+\sqrt{x+\frac{1}{4}}}$
แปลง$\sqrt{x+\dfrac{1}{2}+\sqrt{x+\frac{1}{4}}}$
จาก$\sqrt{a+\sqrt{b} } = \sqrt{c} +\sqrt{d} $
ยกกำลังสองแล้วได้$a+\sqrt{b} = c+d+\sqrt{4cd} $
ดังนั้น $c+d =a$ และ$4cd=b$
ให้$a=x+\frac{1}{2} $และ$b=x+\frac{1}{4}$ $\rightarrow x=4cd-\frac{1}{4} $
$c+d =x+\frac{1}{2}$ และ แทนค่า$x$ลงไปจะได้ $c=\frac{1}{4} $ และ$d=x+\frac{1}{4}$
$\sqrt{x+\dfrac{1}{2}+\sqrt{x+\frac{1}{4}}} = \sqrt{\frac{1}{4}} +\sqrt{x+\frac{1}{4}} = \frac{1}{2} +\sqrt{x+\frac{1}{4}}$

$x+\sqrt{x+\dfrac{1}{2}+\sqrt{x+\frac{1}{4}}} =x+\frac{1}{2} +\sqrt{x+\frac{1}{4}}$
$x+\frac{1}{2} +\sqrt{x+\frac{1}{4}} = 1024 =4^2\times 8^2$
นำไปหารูทที่สองจะได้ว่า
$\sqrt{x+\dfrac{1}{2}+\sqrt{x+\frac{1}{4}}}=\sqrt{4^2\times 8^2} = 4\times 8 =32$
$\frac{1}{2} +\sqrt{x+\frac{1}{4}} = 32$
$\sqrt{x+\frac{1}{4}} = \frac{63}{2} $
ยกกำลังสองอีกที $x+\frac{1}{4} =\frac{63^2}{4} $
$x=\frac{63^2-1}{4} = \frac{62\times 64}{4} =62\times 16= 992$
ลองแทนคำตอบดูแล้วใช้ได้....ผมไม่แน่ใจว่าวิธีของผมนั้นจะถูกต้องหรือเปล่าลองแปลงไปเรื่อยๆก่อนเท่านั้น ตรงไหนคิดผิดก็ช่วยบอกผมด้วยครับ

ที่น้องSirenใช้วิธีแบบนั้นก็ได้คำตอบสองค่า แต่อย่าลืมลองแทนกลับดูว่าค่าไหนใช้ได้ค่าไหนใช้ไม่ได้ด้วย
ที่หาได้นั้นคือ$(x-992)(x-1056)=0 \rightarrow x=1056$นั้นใช้ไม่ได้เพราะทำให้$\sqrt{x+\dfrac{1}{2}+\sqrt{x+\frac{1}{4}}} = -32 $ซึ่งค่าที่ถอดจากรูทนั้นต้องเป็นบวกเท่านั้น จึงเหลือคำตอบเดียวคือ$x=992$

โจทย์ถึกๆ ผมไม่ได้สะสมไว้เลยครบโดยเฉพาะของม.ต้น กำลังเริ่มทวนของประถมปลายให้ลูก ส่วนของม.ต้นลองฟื้นความรู้เดิมที่หลงเหลือในหัวดู ผิดถูกยังไงบอกผมด้วยแล้วกันครับ...ความรู้ก็เก็บตกเอาในบอร์ดนี้แหละครับ มีคนเก่งใจดีแถมมีน้ำใจเยอะ ไม่หวงเทคนิค....แค่โจทย์เตรียม...Eximius1ก็โหดแล้ว ดูแล้วแทบไม่อยากทำเลย..น้องSirenน่าจะหาโจทย์มาให้คนแก่ฟื้นความรู้..รบกวนหน่อยครับ:laugh::laugh::laugh:

จงหาเศษการหาร

คือไม่รู้ว่าพิมพ์กำลังซ้อน ๆ ยังไง

จงหาเศษการหาร 10 กำลัง 10 กำลัง 1 + 10กำลัง 10 กำลัง 2 +..+10กำลัง 10 กำลัง 716 ด้วย 7

#46 ตอบ 1 รึเปล่าครับ

ลองเขียนโจทย์ใหม่ครับ
จงหาเศษจากกการหาร

$10^{10^1}+10^{10^2}+10^{10^3}+...+10^{10^{716}}$ด้วย7

ติดไว้ก่อนครับ...พอดีคืนนี้อยู่เวร คงต้องขอตัวก่อนครับ พรุ่งนี้ค่อยมาแจมครับ

แอบแว๊บมาโพส..เดี๋ยวไปทำงานต่อแล้วครับ
คิดได้เศษ 1....ข้อนี้แต่งโจทย์ได้สวยมากๆๆๆ ซ้อนกันสองชั้น กว่าจะคิดได้เล่นเอาแทบแย่
มาดูการหาร$10^{12}$ด้วย$7$....พบว่าจะเป็นเลขวนซ้ำคือ 142857142857 คือวนรอบซ้ำรอบละ 6ตัว......เริ่มเห็นเค้ารางของคำตอบแล้ว
โดยแต่ละตำแหน่งจะเหลือเศษคือ..เลข1-เศษ3,เลข4-เศษ2,เลข2-เศษ6,เลข8-เศษ4,เลข5-เศษ5 และเลข7-เศษ1
เรารู้ว่าถ้าเราเอา$7$ไปหารแต่ละจำนวนที่บวก พอเอาเศษที่เหลือมาบวกทบกันแล้วหารด้วย$7$อีกทีจะเป็นคำตอบ
มาเริ่มสังเกตที่$10^{10^1}$ เอาเลขยกกำลังมาหารด้วย6 เพื่อดูว่าจะวนตกไปตรงไหน $10$หารด้วย$6$จะเหลือเศษเท่ากับ$4$ซึ่งวนตกที่เลข$8$ จึงมีเศษเหลือเท่ากับ$4$
$10^{10^2}=10^{100}$เอาเลขยกกำลังมาหารด้วย6 เหลือวนตกที่เลข$8$จึงเหลือเศษเท่ากับ$4$
เราสังเกตเห็นแล้วว่าเมื่อเอา$100,1000, 10,000$หรือ$10^{10^{712}}$เมื่อเอา$6$หารก็จะเหลือเศษ$4$เสมอ ดังนั้นเศษจากการวนหารจึงได้เท่ากับ$4$ในทุกพจน์
จะได้ว่าเศษจากการหารคือ$\overbrace{4+4+...+4}^{716 ตัว} $ ได้ผลรวมคือ$4\times 716 = 2864$ หารด้วย$7$เหลือเศษเท่ากับ$1$

ผมคิดเหมือนคุณ กิตติ เลยครับ

ข้อนี้ผมคิดแบบไม่ใช้สมการ คิดว่า$2008 = 251\times 2^3$ แล้วแปลงมาเป็น
$\frac{1}{2008}=\frac{1}{3\times 4\times 251} +\frac{1}{3\times 8\times 251} $
$\frac{1}{2008}=\frac{1}{5\times 2\times 251} +\frac{1}{5\times 8\times 251} $
$\frac{1}{2008}=\frac{1}{9\times 251} +\frac{1}{9\times 8\times 251} $
$\frac{1}{2008}=\frac{1}{8\times 252} +\frac{1}{ 8\times 251\times 252} $
$\frac{1}{2008}=\frac{1}{4\times 503} +\frac{1}{8\times 251\times 503} $
$\frac{1}{2008}=\frac{1}{2\times 1005} +\frac{1}{8\times 251\times 1005} $
ลืมไปครับว่ายังขาดอีก
$\frac{1}{2008}=\frac{1}{2009} +\frac{1}{2008\times 2009} $
$\frac{1}{2008}=\frac{1}{2008\times 2} +\frac{1}{2008\times 2}$

ผมคิดได้$12\times 2 = 24$คำตอบ....ที่ต้องคูณสองเพราะสลับค่ากันได้อีก
เพิ่มเติมครับ...คิดได้ครบแล้วโดยพจน์สุดท้ายได้$x=y=2008\times 2$
รวมทั้งหมดเป็นไปได้ 27 จำนวน ตามที่น้องเฉลยครับ:please::please::please:

เฉลยตอบ มีถึง $27$ คำตอบเลย :confused::died:

ช่วงนี้หา โจทย์ถึก ๆ ไม่ได้ ทำไงดีอะ - -

ให้ $x,y,z \in \mathbb{R} $
$x+y+xy = 8$
$y+z+yz = 15$
$z+x+zx = 35$

จงหา $x+y+z+xyz$ :D:ohmy:

ตอบ 36 รึเปล่าครับ

เยส ๆ :cool:

กำหนดให้ $x,y,z \in \mathbb{R} $ เป็นจำนวนจริงบวกที่สอดคล้องกับระบบzสมการ

$xyz = 1$
$x+ \frac{1}{z} =25$
$y+ \frac{1}{x}=49$

ถ้า $ z+ \frac{1}{y} = \frac{m}{n } $ เมื่อ $m,n \in \mathbb{I}^+$ $(m,n) = 1$

แล้ว$m+n+8 = ?$ :great:

แก้คำตอบที่หาค่า$x,y$ใหม่แล้วครับ

อันนี้ ขอความช่วยเหลือครับ

เราสามารถลากเส้นตรง $5$ เส้น แบ่งวงกลมวงหนึ่งได้มากสุดกี่ส่วน

Eximius2ง่ายกว่าฮะ คุณกิตติ....
แล้วก็ไอข้อข้างบนนั่นเอาแนวคิดมาจากโจทย์ปราบเซียนตัวดีที่มาจากญี่ปุ่นนิเอง555+ *0*..
ไสข้อสอบเด็กเข้าม.1มันโหดได้ใจงี้เนี่ย--*
มันต้องลากผ่านเส้นผ่านศูนย์กลางปะฮะ..ไม่แน่ใจ--*

ไม่รู้ครับ มันมาจาก Zenith 1

ข้อนี้ใช้มอดุโลกับคอนกรูเอนซ์เข้ามาช่วยได้นะฮะคุณกิตติ...
แต่ผมขอพิมพ์แบบย่อๆนะฮะ...
$10^2\equiv 2mod7$
$10^{10^1}\equiv 32mod7$
=$10^{10}\equiv 4mod7$
ต่อมา
$10^{10^2}=10^{100}$
จาก$10^{10}\equiv 4mod7$
ดังนั้น$10^{100}\equiv 4^{10}mod7$.........(1)
ดู
$4^{10}mod7$
=$4^{2^5}mod7$
โดยที่$4^2\equiv 2mod7$
ดังนั้น$4^{10}\equiv 32mod7$
= $4^{10}\equiv 4mod7$ เอาตัวนี้ไปแทนใน(1)
ก็จะได้ว่า
$10^{100}\equiv 4mod7$เช่นเดียวกัน
จากนั้นเราก็ลองทำอีกตัวก็จะเห็นว่าmod4อีก...
ดังนั้นก็อุปมาทางคณิตศาสตร์ได้ว่าทุกตัวหารด้วย7จะต้องเหลือเศษ4...
จากนั้นก็ทำตามวิธีคุณกิตติครับ
ป.ล.ผมแก้ไขไม่ได้อะ--*

ผมอ่านเรื่องคอนกรูเอนซ์แล้วยังงงๆอยู่เลยครับ คงต้องใช้เวลาหน่อยครับ สมองคนอายุใกล้สี่สิบเนี่ยมันอืดจริงๆครับ
อาศัยความรู้เก่ากับทบทวนของเดิมเท่านั้น...ขอบคุณครับที่แนะนำคอนกรูเอนซ์

ข้อนี้มีคำตอบ 36 กับอีกคำตอบหนึ่งคือ -166 เพราะโจทย์กำหนดให้ $x,y,z \in \mathbb{R} $ จำนวนจริงที่เป็นจำนวนตรรรกยะนั้น รวมจำนวนลบด้วย ผมแก้สมการได้ค่ามาสองค่า ค่าบวกกับค่าลบ ถ้าโจทย์กำหนดว่า $x,y,z$เป็นจำนวนบวกอย่างเดียวคงมีคำตอบอย่างที่เฉลย
$x= -\frac{11}{2},y=-3,z=-9 $

จาก$xyz = 1$ แปลงมาเป็นได้ว่า$\frac{1}{z}=xy $, $\frac{1}{x}=yz$ และ$\frac{1}{y}=xz$
นำไปแทนในแต่ละสมการจะได้ว่า$x=\frac{25}{y+1} $ ,$y=\frac{49}{z+1} $ และ$z=\frac{m}{n(x+1)} $
กลับมาที่สมการทั้งสามแล้วนำมาบวกกันแบบเศษส่วนโดยไม่แทนค่าจะได้ว่า$x=\frac{1}{49-y} $
นำค่า$x$ในสมการมาเท่ากัน $\frac{1}{49-y} =\frac{25}{y+1}$ แก้สมการได้ค่า$y=\frac{17\times 36}{13} $
จาก $y+ \frac{1}{x}=49$ นำค่า$y$ที่หาได้มาแทนลงไปแก้สมการหาค่า$x$ ได้ค่า$x= \frac{13}{25} $
นำค่าของ$x$,$y$ ไปในสมการ$xyz=1$
ได้ค่า$z=\frac{25}{17\times 36} $
แทนค่า$z,y$เพื่อหาค่าของ$m$และ$n$
$z+ \frac{1}{y} =\frac{19}{17\times 18} = \frac{m}{n } $ ซึ่งค่าของ$m$และ$n$ มีห.ร.ม.เป็น1 ตามโจทย์ต้องการ
$m=19 ,n=306$ ดังนั้น$m+n+8= 333$