เหตุผลก็คือ


$x^2 + xy + xz = 9$

$x(x+y+z)= 9$......(1)


$y^2 + xy +yz = 27$

$y(x+y+z)= 27$......(2)


$z^2 + xz + yz = 45$

$z(x+y+z)= 45$......(3)


(1)+(2)+(3) $ \ \ (x+y+z)(x+y+z) = 9+27+45 = 81$

$(x+y+z) = 9$ .....(4)


$\frac{(1)}{(4)} \ \ \ \ x =1$

$\frac{(2)}{(4)} \ \ \ \ y =3$

$\frac{(3)}{(4)} \ \ \ \ z =5$

ถ้า $(b^2+c^2)^2-(b+c)^2+b(c-2)+c(b+2)+6=0$
จงหา $2009b+2009c+2009$ ( ref : คุณที่คุณลุง ไม่อยากทำโจทย์ของเขานั่นแหละ )

มันเป็นโจทย์เมื่อนานมาแล้ว จะมาบอกว่าต้องแก้นิดนึง
เป็นแบบนี้ดีกว่าครับจะได้มีคำตอบ (อันเดิมไม่มีคำตอบ)

กำหนด b และ c เป็จำนวนจริงซึ่งทำให้ $(b^2+c^2)^2-(b-c)^2+b(c-2)+c(b+2)+6=0$
ค่าของ $2010b+2010c+2010$ เป็นเท่าไร

[quote=banker;92419] เข้าใจเหตุผลการแก้ปัญหา มี Choice และ no choice ของคุณลุงแล้วครับ ในกรณีที่มีหลายคำตอบ ขอบคุณครับ :please:

สำหรับแนวข้อสอบแข่งขัน หรือข้อสอบเรียนต่อน้ัน ในส่วนตัวผมมีความเห็นว่า ข้อสอบที่ยุติธรรมที่สุด (ไร้ข้อกังขา) และไม่สามารถพึ่งดวงได้ คือข้อสอบที่ให้เขียนเฉพาะคำตอบครับ หรือจะใช้วิธีการตอบให้เป็นแบบรอบแรกของ สสวท ปีที่แล้วก็ได้ครับ (ฝนวงกลมสามหลักหรือมากกว่าที่เป็นคำตอบ แต่ไม่ใช่เป็นปรนัยน่ะ) เหตุผลที่ผมคิดว่ายุติธรรมที่สุด คือ วิธีในการแกัไขปัญหาทางคณิตศาสตร์ ไม่ได้มีเพียงวิธีเดียวที่จะได้คำตอบ และวิธีแต่ละวิธีก็มีแนวคิดของมันเอง ผมเคยโหลดตัวอย่างการแข่งขัน และวิธีการให้คะแนนการแข่งขันคณิตศาสตร์นานาชาติระดับประถม (ของประเทศหนึ่ง) วิธีการเขียนคำตอบโจทย์ที่เป็นวิธีทำ จะเป็น Pattern สำเร็จรูปเลยครับ ไม่ว่าใครจะมาเป็นผู้ตรวจคำตอบก็ได้ ตัวอย่างเช่น ถ้าวิธีทำมีประโยคสัญลักษณ์ ตามที่เค้ากำหนดไว้แล้ว ได้คะแนน และถัดไปมีวิธีการทำหรือมีข้อความที่กำหนด ได้คะแนน ไล่ไปจนถึงคำตอบ ถ้าคำตอบตรง ก็จะได้คะแนน แต่คะแนนของคำตอบนั้น คิดเป็นสัดส่วนที่น้อยมาก เมื่อเทียบกับคะแนนรวมท้ังหมดของข้อนั้น

ลองนึกดูเล่นๆ น่ะครับว่า ถ้าเด็กที่มีพรสวรรค์ทางคณิตศาสตร์(แต่ไม่มีโอกาสเข้าถึงข้อมูล เพราะปัญหาทางเศรษฐกิจ) ที่สามารถคิดคำตอบต่างๆ ได้โดยใช้วิธีคิดของเขาเอง และวิธีทำของเค้าที่ใช้แก้ไขปัญหาโจทย์น้ั้น ไม่ตรงกับ Pattern ที่ใช้สำหรับตรวจคำตอบ คะแนนรวมที่เค้าทำได้จะน้อยมาก ถึงแม้จะทำได้เกือบทุกข้อ และทำจากพรสวรรค์ของเขาเอง แต่มีวิธีทำที่ไม่ตรงกับผู้ออกสอบและเฉลยข้อสอบ

อีกกรณีหนึ่ง เด็กที่เข้าร่วมแข่งขันเวทีเดียวกันกับเด็กคนแรก เตรียมตัวพร้อม มีโอกาสเข้าถึงข้อมูลต่าง ๆ ได้เป็นอย่างดี (ด้วยวิธีการต่าง ๆ เช่น หาซื้อหนังสือ เรียนพิเศษ ฯ) รู้วิธีที่จะตอบให้ได้คะแนนตามแนวข้อสอบ และหากโชคดีมีโอกาสไปได้เรียนกับผู้ออกข้อสอบโดยตรง ก็ยิ่งมีความแตกต่างกันด้านคะแนนมากย่ิงขึ้น

อะไรจะเป็นเกณฑ์ตัดสินความสามารถทางคณิตศาสตร์ของเด็กทั้งสองคนนี้ ที่ความถูกต้องและยุติธรรม เมื่อทั้งสองคนก็สามารถที่จะหาคำตอบได้เหมือนกัน อะไรจะเป็นตัวตัดสินว่าวิธีไหนดีกว่ากัน ถ้าดีกว่าหรือง่ายกว่า ก็น่าทำได้ถูกต้องและจำนวนข้อมากกว่า ซึ่งนั่นก็เป็นวิธีทียุติธรรมครับ :)

สมมุติให้ $\ \frac{a}{a-b}+\frac{b}{b-c}+\frac{c}{c-a}=\sqrt{8}\cdot \sqrt{12345} = K$ และ $\ \frac{a}{a-b} = x$, $\ \frac{b}{b-c} = y$, $\ \frac{c}{c-a}= z$
จัดรูปแต่ละสมการใหม่ได้ $\ \frac{a}{b} = \frac {x}{x-1}$, $\ \frac{b}{c} = \frac {y}{y-1}$, $\ \frac{c}{a} = \frac {z}{z-1}$ เอาทั้งสามสมการมาคูณกันได้ $\ 1 = \frac {x}{x-1}\cdot \frac {y}{y-1} \cdot \frac{z}{z-1} $
เมื่อกระจายจะได้รูปสมการใหม่เป็น $(xy+yz+zx) = (x+y+z)-1 = K - 1$ ------ (1)

จากสมการตั้งต้น เขียนในรูป x,y,z ใหม่ได้เป็น $(x+y+z) = K$,
ยกกำลังสองได้ $k^2 = x^2+y^2+z^2+2(xy+yz+zx) = x^2+y^2+z^2+2(K-1)$
จัดรูปสมการใหม่ได้ $x^2+y^2+z^2 = K^2 - 2K + 2$ -------(2)

เริ่มทำโจทย์ได้แล้วครับ
$\ \begin{array}{rcl} \frac{2a-b}{a-b})^2+(\frac{2b-c}{b-c})^2+(\frac{2c-a}{c-a})^2 & = & (1+\frac{a}{a-b})^2+(1+\frac{b}{b-c})^2+(1+\frac{c}{c-a})^2 \\ & = & (1+x)^2+(1+y)^2+(1+z)^2 \\ & = & 3+2(x+y+z)+(x^2+y^2+z^2) \\ & = & 3+2(K)+(K^2-2K+2) \\ & = & K^2+5\ <-- โดยที่ K = \sqrt{8}\cdot \sqrt{12345} \end{array}$

credit : Puriwatt

( ref : คุณที่คุณลุง ไม่อยากทำโจทย์ของเขานั่นแหละ )

ไม่ใช่ไม่อยากทำโจทย์ของเขา

โจทย์ของเขา ผมทำทุกข้อแหละ ข้อไหนทำได้ ดีใจโคตรๆๆ

แต่ส่วนใหญ่ทำไม่ได้ โจทย์แต่ละข้อ ไม่รู้พี่แกไปขุดมาจากหลุมไหน


อย่างไรก็ตาม คำตอบของโจทย์มักเป็นเลขสวยๆ

ไม่เลขตอง ก็เป็นเลขเรียง บางข้อก็พอเดาคำตอบได้

อย่างข้อนี้ ผมทำไม่ได้หรอก แต่ถ้าเล็งๆจากคำถาม b กับ c น่าจะห้ำหั่นประหารกัน จนตายไปทั้งสองฝ่าย

คำตอบจึงน่าจะเหลือแค่ 2010 (เลขสวยอีกแล้ว) :haha:

ดังนั้นข้อนี้ถ้าเดาคำตอบในห้องสอบ ก็ขอเดาว่า

ค่าของ $2010b+2010c+2010$ เป็น $2010$ :D

ไม่รู้พี่แกไปขุดมาจากหลุมไหน ?

หลุมข้างบ้านครับ 55+
ที่แน่ ๆ โจทย์ ไม่ธรรมดาทุกครั้ง
โจทย์ของเขาแต่งเองหมด บางข้อก็ดัดแปลงมา (copy คำพูดของเขา)
ถ้าแต่งเอง >> เซียน
ดัดแปลงมา >> อาจารย์ :D:laugh:

ใครว่าง่าย ผมว่ายากนะ ประถมคงทำไม่ได้

ให้ $\sqrt{n}+\sqrt{n+2005} = A^2$

$ A^2 - n^{\frac{1}{2}} = \sqrt{n+2005}$

$ A^4 - 2A^2n^{\frac{1}{2}} + n = n+2005$

$ A^4 -2005 = 2A^2n^{\frac{1}{2}}$

$ ( A^4 -2005)^2 = 4A^4 n$

$4n = (\frac{ A^4 -2005}{A^2})^2 \ \ \ \ \ $

$4n = ( A^2 -\frac{2005}{A^2})^2 \ \ \ \ \ $


$n$ จะเป็นจำนวนเต็ม เมื่อ $A$ เป็นเท่าไร

ยังไปต่อไม่ถูก ขอไปนวดก่อน เดี๋ยวมาดูใหม่ :haha:





12:12 7/7/2553

มาทำต่อครับ


$4n = ( A^2 -\frac{2005}{A^2})^2 $

$n = \frac{1}{4}( A^2 -\frac{2005}{A^2})^2 $


พิจารณา $\frac{2005}{A^2}$ จะเห็นว่า $A^2 < 2005 \ $ (เพราะถ้ามากกว่า, $\frac{2005}{A^2}$ ก็จะไม่เป็นจำนวนเต็ม)

$A^2 $ เป็นเลขกำลังสอง เช่น $1^2, 2^2, 3^2, 4^2, ..., 44^2$

จาก $\frac{2005}{A^2} = \frac{401 \times 5}{A \times A} $ ทั้ง $ \ 5 \ $ และ $ \ 401 \ $ เป็นจำนวนเฉพาะ

จะเห็นว่า มี $A^2 = 1$ เท่านั้นที่ ทำให้ $( A^2 -\frac{2005}{A^2})$ เป็นจำนวนเต็ม

จะได้ $n = \frac{1}{4}( 1 -\frac{2005}{1})^2 = \frac{1}{4} (-2004)^2 = 501 \times 2004 = 1004004 $

ตอบ $n$ ที่เป็นจำนวนเต็มนั้นคือ $1004004$

คุณอาตอบ มาไม่หมดครับ
โดย $\sqrt{n} = a , \sqrt{n+2005} = b$
ให้ $\sqrt{n}+\sqrt{n+2005} \in \mathbb{Q} $
$a-b \in \mathbb{Q} $

$n = a^2$
$n+2005 =b^2$

$2005 = b^2-a^2 = (b-a)(b+a)$
รู้สึกว่าจะได้คำตอบเพิ่มอีก 1 คือ $198^2$

ปลุกๆๆๆๆๆๆๆๆๆๆๆ

เงียบมาหลายวัน ไม่มีคนตั้งโจทย์ ผมขอตั้งเอง

$\triangle ABC$ แนบในวงกลมโดยมี BC เป็นเส้นผ่านศูนย์กลาง ลากAX ตั้งฉากกับ BC วัดAX ได้ 6 ซม. และทำให้ BX สั้นกว่า CX อยู่ 5 ซม. จงหาพื้นที่วงกลมที่ล้อมรอบ $\triangle ABC$

จาก power of point
$6^2=x(x-5)$
x=9
ดังนั้นรัศมีวงกลม=$\frac{9+4}{2}$
พท.วงกลม=$42.25\pi $

ข้อต่อไป
สี่เหลี่ยม ABCD แนบในวงกลมที่มี AC เป็นเส้นผ่านศูนย์กลาง มี AB=BC และจุด D เป็นจุดใดๆบนส่วนโค้งที่อยู่ด้านตรงข้ามกับจุด B กําหนด BE ตั้งฉากกับ AD ที่จุด E ถ้าพื้นที่ของสี่เหลี่ยม ABCD =1 ตารางหน่วย แล้วจงหาความยาวของ BE

ถ้าไม่กำหนดเงื่อนไขอิ่น ผมก็จะวาด สี่เหลี่ยม ABCD เป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัส แล้วจุด E ทับจุด A

สี่เหลี่ยม ABCD มีพื้นที่ 1 ตารางหน่วย ด้าน BE = BA = 1 หน่วย

ตอบ ความยาวของ BE เท่ากับ 1 หน่วย


คำตอบถูกไหมครับ :haha:

โจทย์ไม่ได้กำหนดว่า x อยู่ตำแหน่งใด

คุณkimchiman ทำแบบรูปแรก ก็เลยได้รัศมี 13 ซม. ดังรูปแรก



แล้วถ้า x อยู่บนเส้นรอบวง แบบรูปล่าง พื้นที่จะยังเท่าเดิมไหมเอ่ย ?

Attachment 3336

แค่ฝากไว้ว่า ถ้าโจทย์ไม่รัดกุม ก็จะมีหลายคำตอบได้