#30
$$b_n=\sum^{n}_{k=1}(k^2+k)=\sum^{n}_{k=1}k^2+\sum^{n}_{k=1}k=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}+\frac{n(n+1)}{2}=\frac{n(n+1)(n+2)}{3}$$

$a_n$ ถูกแล้วนะครับ
เพราะ $a_n = 2[1+2+...+n] = \dfrac{2n(n+1)}{2} = n(n+1)$
ส่วน $b_n = \dfrac{n(n+1)(n+2)}{3}$

เป็นวิธีที่เห็นภาพแต่สั้นกว่าเยอะเลย ขอบคุนค้าบบ... :please:

เนื่องจาก $a_1,a_2,a_3$ เป็นราก ทำให้

$ f(x) = (x - a_1)(x - a_2)(x - a_3) $

$ f(x) = x^3 -(a_1 + a_2 + a_3)x^2 + (a_1a_2 + a_1a_3 + a_2a_3)x - a_1a_2a_3 $

เทียบสัมประสิทธิ์กับโจทย์ $f(x)=x^3-26x^2+bx-216$ ทำให้รู้ว่า

$ a_1 + a_2 + a_3 = 26 $

$ a_1(1 + r + r^2) = 26 ---(1) $

$ a_1a_2a_3 = 216 $

$ a_1(a_1r)(a_1r^2) = 216 $

$ a_1r = 6 --- (2)$

$ a_1a_2 + a_2a_3 + a_1a_3 = b $

$ a_1\cdot a_1r + a_1r \cdot a_1r^2 + a_1 \cdot a_1r^2 = b $

$ (a_1r)(a_1)(1+r+r^2) = b $

$ (6)(26) = b = 156$ จาก $(1) และ (2)$

ดังนั้น

$ f'(x) = 3x^2 - 52x + b $

$ f'(1) = 3 - 52 + 156 = 107 $

อ่อขอบคุณครับ สงสัยจะเบลอหนัก :sweat:

ขุดหน่อยครับ
ไม่มีใครจำได้ เพิ่มเลยหรอครับ :D

สามเหลี่ยม ABC มี a,b,c เป็นความยาวด้านตรงข้ามมุม A,B และ C ตามลำดับ

$\frac{1}{a+b} + \frac{1}{b+c} = \frac{3}{a+b+c}$

sin C มีค่าเท่าไร


ข้อมูลชุดหนึ่งมีสามตัว มีผลรวมเป็น 195 มีค่ามัธยฐานเป็น 60 สัมประสิทธิ์ของพิสัยเป็น 0.2 ข้อมูลชุดนี้มีความแปรปรวนเท่าใด


$A= \left\{\ 1,2,3,....,k,\right\} $
$B= \left\{\ (a,b) \in I \times I \mid 0<b-a\leqslant 7 \right\}$
ถ้า B มีสมาชิก 714 ตัว แล้ว k มีค่าเท่าไร

มีใครจำข้อเวกเตอร์ได้บ้างเราได้ 14 อะ

จากโจทย์ที่ โพสต์โดยคุณ Tinyo Dragonn ที่ #37
ผมแทรกเฉลยดังนี้ต่อไปนี้ครับ

สามเหลี่ยม ABC มี a,b,c เป็นความยาวด้านตรงข้ามมุม A,B และ C ตามลำดับ
$\frac{1}{a+c} + \frac{1}{b+c} = \frac{3}{a+b+c}$
sin C มีค่าเท่าไร

จัดรูปแบบใหม่ได้ $\frac{a+b+2c}{(a+c)(b+c)}=\frac{3}{a+b+c}$ คูณไขว้ได้
$(a+b+c)[(a+b+c)+c]={{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}+2(ab+bc+ca)+(ca+bc+{{c}^{2}})=3(ab+bc+ca+{{c}^{2}})$
$c^2=a^2+b^2-ab=a^2+b^2-2ab \cos C$ ดังนั้น $\text{cos C}=\frac{1}{2}$ จะได้ $\sin C=\frac{\sqrt{3}}{2}$
-----------------------------
ข้อมูลชุดหนึ่งมีสามตัว มีผลรวมเป็น 195 มีค่ามัธยฐานเป็น 60 สัมประสิทธิ์ของพิสัยเป็น 0.2 ข้อมูลชุดนี้มีความแปรปรวนเท่าใด

ให้ข้อมูลชุดนี้ เป็น a,60,b ดังนั้น $\bar{X}=\frac{a+60+b}{3}=65$ ได้ $a+c=195-60=135$
สัมประสิทธิ์พิสัย $=\frac{b-a}{b+a}=\frac{2}{1}$ ดังนั้น $\frac{b}{a}=\frac{2+10}{10-2}={12}{8}={1.5}$
แทนค่า $a+c=1.5c+c=2.5c=135$ ได้ $c=\frac{135}{2.5}=54$ $a=1.5c=1.5(54)=81$
ดังนั้นข้อมูลทั้งสามคือ 54,60,81 จึงได้ความแปรปรวน \[\sigma _{X}^{2}=\frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^{n}{{{({{X}_{i}}-\bar{X})}^{2}}}=\frac{1}{3}\left( {{(54-65)}^{2}}+{{(60-65)}^{2}}+{{(81-65)}^{2}} \right)=\frac{1}{3}\left( {{(-11)}^{2}}+{{(5)}^{2}}+{{(16)}^{2}} \right)=\frac{1}{3}\left( 81+25+256 \right)=134\]
---------------------------------------
$A= \left\{\ 1,2,3,....,k,\right\} $
$B= \left\{\ (a,b) \in I \times I \mid 0<b-a\leqslant 7 \right\}$
ถ้า B มีสมาชิก 714 ตัว แล้ว k มีค่าเท่าไร

แบ่งจำนวนสมาชิกระหว่าง
ไล่จาก$a=1$ b=2,3,… 8 จนถึง a= $k-7$ ได้ b=k-6,k-5,..,k หรือ 7 ตัวทุกค่าของ a
และจาก $a= k-6$ ได้ b=k-5,k-4,,k หรือ 6 ตัว จนถึง a=k-1 ได้ b=k หรือ 1 ตัว
ดังนั้นจำนวนสมาชิกรวม = $(k-7)7+6+5+4+3+2+1=7k-49+21=714\to k=\frac{714+28}{7}=106$

แอบแก้โจทย์โดยไม่รู้ตัว

ปล. ข้อนี้น้องเค้าจำมาผิด ที่ถูกคือ $\frac{1}{a+c} + \frac{1}{b+c}= \frac{3}{a+b+c}$ ทำตามที่ทำมาถูกแล้วครับ

ขอบคุณครับ แก้โจทย์ตามที่แนะนำแล้วครับ

Attachment 11095

\[\begin{align}
& \arcsin \left( \frac{1}{\sqrt{17}} \right)-2\arccos \left( \frac{2}{\sqrt{5}} \right)=\alpha -2\beta \to \cos 2\beta =2{{\cos }^{2}}\beta -1=2{{\left( \frac{2}{\sqrt{5}} \right)}^{2}}-1=\frac{8}{5}-1=\frac{3}{5}\to \\
& \sin 2\beta =\frac{4}{5}>\frac{1}{\sqrt{17}}=\sin \alpha \therefore \,\,\,\,\alpha -2\beta <0 \\
& arc\sec x=\arcsin \left( \frac{1}{\sqrt{17}} \right)-2\arccos \left( \frac{2}{\sqrt{5}} \right)=\alpha -2\beta \\
& \cot \left( \frac{\pi }{2}+arc\sec x \right)=-\tan (arc\sec x)=-\tan (\alpha -2\beta )=-\frac{(\tan \alpha -\tan 2\beta )}{1+\tan \alpha \tan 2\beta }=-\frac{-\left( \frac{1}{4}-\frac{4}{3} \right)}{1+\left( \frac{1}{4}\times \frac{4}{3} \right)}=-\frac{\left( \frac{3-16}{12} \right)}{\frac{5}{4}}=\frac{13}{16} \\
\end{align}\]
ข้อนี้มีประเด็นที่ ถกเถียงที่ \[arc\sec x=\arcsin \left( \frac{1}{\sqrt{17}} \right)-2\arccos \left( \frac{2}{\sqrt{5}} \right)=\alpha -2\beta <0\,\,(Quarant\,4\,?)\]
ซึ่งอยู่ใน $Q_4$ แต่ปกติ 0 ≤ arcsec x ≤ π ,arcsec x≠TT/2 หรืออยู่ใน $Q_1,Q_2$
โจทย์ข้อนี้จึงอาจจะผิดกฎเกณฑ์หรือไม่ครับ ?

พอดีผมเพิ่งได้ข้อสอบ PAT1 2 ครั้งล่าสุดมาครับ แต่ครั้งที่ผมคาใจคือ ตุลา 55

เรื่อง arcsec x ใน previous comment ก็เป็นประเด็นนึงที่ error แต่อาจจะไม่กระเทือนคำตอบมาก
---------------------------------------------------------------------------------

แต่รูรั่ว ที่ผมว่าน่ากลัวมาก คือ เวกเตอร์ข้อ 15 ครับ โจทย์คือ...

ให้ $\vec {u} , \vec {v} ,\vec{w}$ เป็นเวกเตอร์บนระนาบ โดย $\vec {u} + \vec {v} -\vec{w} =\vec{0}$ และ $ \vec{u} \cdot \vec{w} = 8 \,\, ,\vec{v} \cdot \vec{w} = -2 $

กำหนด เวกเตอร์ $ \vec{w}$ ทำมุม $ \text{arcsin} \frac{1}{\sqrt{3}}$ กับเวกเตอร์ $\vec{u}$ และ เวกเตอร์ $ \vec{w}$ ทำมุม $ \pi - \text{arcsin} \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} $ กับเวกเตอร์ $\vec{v}$

หาค่า $ |\vec{u}|^2 + |\vec{v}|^2 $
-------------------------------------------------------------

วิธีทำ ไม่ได้ซับซ้อนครับ จากโจทย์มันจะเคาะออกมาได้ 4 สมการ คือ

$ | \vec{u}|^2 + \vec{u} \cdot \vec{v} = 8 $

$ | \vec{v}|^2 + \vec{u} \cdot \vec{v} = -2 $

$ |\vec{u}|\cdot |\vec{u}+\vec{v}| = 4\sqrt{6}$

$ |\vec{v}|\cdot |\vec{u}+\vec{v}| = 2\sqrt{3}$


ผมเข้าใจว่า คนตั้งโจทย์อยากให้ตอบ 18 โดยการนำ 2 สมการแรกบวกกัน แล้วเอาค่า $|\vec{u}+\vec{v}|= \sqrt{6} $ ยัดลงไปใน 2สมการหลัง

แต่จะเกิดอะไรขึ้น ถ้า มี นักเรียนเอา 2สมการแรกลบกัน จากนั้นเอา 2 สมการหลังหารกัน แล้วยกกำลังสอง นั่นคือ จะได้

$ |\vec{u}|^2 - |\vec{v}|^2 = 10 $

$ \frac{|\vec{u}|^2}{|\vec{v}|^2} = 8 $

แก้สมการ ได้คำตอบ $ \frac{90}{7}$ ไม่ใช่ 18 และไม่มีใน choices !

เสียเวลาต้องมา check ตัวเลข และ check วิธีทำกันใหม่ในห้องสอบ ทั้งๆที่ไม่ใช่ความผิดของนักเรียนคนนี้เลยที่ได้คำตอบเท่านี้

ความผิดคือ error ของคนตั้งโจทย์ข้อนี้ครับ ถ้าดูดีๆจะเห็นว่า 4 สมการที่ให้มา มันมีจริงๆแค่ 3 ตัวแปร คือใช้แค่ $\vec{u} , \vec{v} , \vec{u} \cdot \vec{v}$ ก็พอ

และคำตอบ 18 ที่ได้ ถ้าแทนค่า $| \vec{u} | \,\, , |\vec{v}| $ กลับไปก็จะเห็นข้อขัดแย้งกันเองระหว่าง $ \vec{u} \cdot \vec{v} $ ใน 2 สมการแรก (เช่นเดียวกัับ $\frac{90}{7}$ )

คนที่ได้ 18 ก็ถือว่าโชคดีไป เพราะตรงกับ choices ส่วนคนที่ได้ $\frac{90}{7}$ ถือว่าโชคร้าย paranoid ว่าคิดเลขผิดตรงไหน

สรุปว่าของปีนี้เห็นผิดสองข้อแล้วนะครับ :great:

บวกสมการสองและสามจะได้ $ \vec {w} \cdot ( \vec {u} + \vec {v}) = 6$

แทนค่าสมการแรกจะได้ $ \vec {w} \cdot \vec {w} = 6 \Rightarrow | \vec {w}| = \sqrt{6}$

จากสมการที่สอง $|\vec {u}||\vec {w}| \cos(\arcsin \frac{1}{\sqrt{3}}) = 8 \Rightarrow |\vec {u}| = 4$

จากสมการที่สาม $|\vec {v}||\vec {w}| \cos(\pi - \arcsin \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}) = -2 \Rightarrow |\vec {v}| = \sqrt{2}$

ดังนั้น ตอนนี้จะดูเหมือนว่า $|\vec {u}|^2 + |\vec {v}|^2 = 16 + 2 = 18$

แต่จากสมการแรกจะได้ $|\vec {u}|^2 + 2|\vec {u}||\vec {v}| \cos \theta + |\vec {v}|^2 = |\vec {w}|^2$

แทนค่าจะได้ $\cos \theta = -\frac{3}{2\sqrt{2}} <-1$

สมการดังกล่าวจึงเป็นไปไม่ได้ :laugh: