คุณเอาเทคนิคมากจากไหน
ครับ

ประสบการณ์ครับ

ขอโทษที่เปลี่ยนเรื่องครับ
แต่ผมอยากถามว่าจะทำการ
อ้างอิงยังไงครับ

ถ้าเป็นอสมการที่มีชื่อเรียกอยู่แล้วก็สามารถอ้างอิงเลยได้ครับ
แต่ถ้าไม่มีชื่อเรียกเฉพาะอย่างในอสมการกึ่งสำเร็จรูป
ก็ควรแสดงวิธีพิสูจน์ให้ดูด้วย

NormalizationandHomogenizationคืออะไรและแปลว่าอะไรครับพี่
รบกวนด้วยครับ

Homogenization ก็เป็นการทำให้อสมการดีกรีเท่ากันทุกพจน์น่ะครับ

ขอตัวอย่างหน่อยครับ:please::please::please:

$\clubsuit$ Normalization กับ Homogenization เป็นกระบวนการที่ตรงข้ามกันครับ

ทั้งสองอย่างนี้เกี่ยวข้องกับ Homogeneous Function

ขออธิบายเฉพาะสามตัวแปรนะครับ

ให้ $F(a,b,c)$ เป็นฟังก์ชันของสามตัวแปร $a,b,c$ เช่น $F(a,b,c)=a+b+c$

เรากล่าวว่า $F$ เป็น homogeneous function of degree n ถ้า

$$F(\lambda a,\lambda b,\lambda c)=\lambda^nF(a,b,c)$$

ทุก $\lambda$ ที่อยู่ในเซตที่เราสนใจ เช่น จำนวนจริงบวก หรือ จำนวนจริง

ตัวอย่าง $F(a,b,c)=a+b+c$ เป็น homogeneous function degree 1

$F(a,b,c)=a^2+b^2+c^2$ เป็น homogeneous function degree 2

แต่ $F(a,b,c)=a+b+c+1$ ไม่เป็น homogeneous function

ทำไมต้อง homogeneous function ?

ลองพิจารณาตัวอย่างต่อไปนี้

สมมติ $F(a,b,c)=\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+a}+\dfrac{c}{a+b}$

จะเห็นว่า $F$ เป็น homogeneous function degree 0

สมมติเราสร้างตัวแปรใหม่เป็น

$x=\dfrac{a}{a+b+c}$

$y=\dfrac{b}{a+b+c}$

$z=\dfrac{c}{a+b+c}$

เราจะได้ $x+y+z=1$ และ

$F(x,y,z)=F(a,b,c)$ (why?)

ดังนั้น ค่าสูงสุดและต่ำสุดของ $F(a,b,c)$ กับ $F(x,y,z)$ จะมีค่าเท่ากัน

แต่การหาจาก $F(x,y,z)$ น่าจะดีกว่าเ้พราะเรามีเงื่อนไข $x+y+z=1$ แถมมาด้วย

กระบวนการเปลี่ยนตัวแปรจาก $a,b,c$ เป็น $x,y,z$ นี้เราเรียกว่า normalization ครับ

นี่คือที่มาว่าทำไมเราถึงสามารถสมมติว่า $a+b+c=1$ ในการพิสูจน์อสมการ

$$\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+a}+\dfrac{c}{a+b}\geq\dfrac{3}{2}$$

ซึ่งจริงๆแล้ว $a,b,c$ ที่สอดคล้องเงื่อนไข $a+b+c=1$ ก็คือตัวแปร $x,y,z$ ที่นิยามตามแบบข้างบนนี่เอง

เราสามารถ normalize ฟังก์ชันได้เยอะแยะมากมายครับ เช่น ให้

$x=\dfrac{3a}{a+b+c}$

$y=\dfrac{3b}{a+b+c}$

$z=\dfrac{3c}{a+b+c}$

เราก็ยังได้ $F(a,b,c)=F(x,y,z)$ เหมือนเดิม แต่คราวนี้ได้เงื่อนไข

$x+y+z=3$ มาแทน

$\spadesuit$ กระบวนการ Homogenization ก็คือการทำอสมการที่มีเงื่อนไข

ให้กลับไปเป็นอสมการของ homogeneous function ที่ไม่มีเงื่อนไขนั่นเอง

เช่น เรามีอสมการ $a+b+c\geq 3$ เมื่อ $abc=1$

เราอาจจะ homogenize ให้เป็น

$a+b+c\geq 3\sqrt[3]{abc}$

ซึ่งก็คืออสมการ $AM-GM$ นั่นเอง

โดยทั่วไป homogenization ทำยากกว่า normalization ครับ

เำพราะเราไม่รู้ว่าจะคืนตัวแปรไปอยู่ส่วนไหนดี แต่หลักๆก็คือ

หลังจาก homogenize แล้ว ฟังก์ชันจะต้อง homogeneous ครับ

15. การกระจาย:haha:

ถ้าเป็นไปได้พยายามอย่ากระจายดีกว่าครับ คุณจะได้เห็นไอเดียดีๆอีกเยอะจากการทำอสมการโดยไม่กระจายนะครับ น้อง The Jumpers

ส่วนใหญ่เวลาเราจะ bound ให้มันชิดๆกัน ส่วนใหญ่จะใช้อสมการไหนหรอครับ แบบไม่ให้มัน bound เกิน พอจะมีข้อสังเกตไหมครับ

ขึ้นอยู่กับโจทย์ครับ มันคือเสน่ห์อย่างหนึ่งของวิชาอสมการเลยนะ เขาจึงชอบเอามาออกเป็นข้อสอบโอลิมปิก

เพราะอะไรที่มันสำเร็จรูปหรือมีวิธีการแน่นอนแล้ว มันไม่มีประโยชน์ที่จะเอามาวัดอัจฉริยภาพของคนครับ

ตอนนี้โจทย์อสมการลดความนิยมลงมากในโจทย์ระดับโอลิมปิกเพราะมีคนคิดสูตรสำหรับพิสูจน์อสมการยากๆได้เยอะขึ้น

นั่นคือมีคนรู้ทัน trick ของการพิสูจน์อสมการมากขึ้น จึงหันมาเล่นสมการเชิงฟังก์ชันแทนซึ่งก็เป็นอีกวิชานึงที่ไม่ค่อยจะมี

ระเบียบแบบแผนอะไรเลยครับ :great:

แวะมาเพิ่มอสมการกึ่งสำเร็จรูปให้

1. $(a_1+a_2+a_3+...+a_n)^k\leq n^{k-1}(a_1^k+a_2^k+a_3^k+...+a_n^k)$

2. $a_1 \sqrt{b_1}+a_2\sqrt{b_2}+a_3\sqrt{b_3}+...+a_n\sqrt{b_n}\leq \sqrt{(a_1+a_2+a_3+...+a_n)(a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3+...+a_nb_n)}$

3. $\dfrac{1}{a_1+b_1}+\dfrac{1}{a_2+b_2}+\dfrac{1}{a_3+b_3}+...+\dfrac{1}{a_n+b_n}\leq \dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{a_1}+\dfrac{1}{a_2}+\dfrac{1}{a_3}+...+\dfrac{1}{a_n}\right)+\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{b_1}+\dfrac {1}{b_2}+\dfrac{1}{b_3}+...+\dfrac{1}{b_n}\right)$

ข้อ 1 กับ 2 มีวิธีที่ไม่ต้องใช้ jensen หรือเปล่าครับ
ข้อ 3 บัคครับ เครื่องหมายในวิธีทำผิด(กลับข้าง):confused::confused::confused:

ข้อ 2
 

ข้อสองแค่โคชีก็ออกแล้วครับ ไม่เห็นจะต้องเจนเสนเลย
ป.ล.ทุกข้อนี่ ค่าของตัวแปรเป็นอะไรบ้างครับ ถ้าเป็นจริงลบอสมการจะผิดนะครับ