Mathcenter Forum - โจทย์น่าสน

Mathcenter Forum (https://www.mathcenter.net/forum/index.php)

- ปัญหาคณิตศาสตร์ ม.ปลาย (https://www.mathcenter.net/forum/forumdisplay.php?f=3)

- - โจทย์น่าสน (https://www.mathcenter.net/forum/showthread.php?t=11450)

อ้างอิง:

2. กำหนด $a^3 = b^3$ และ $a \not= b$

$ A = \frac{a}{a+b} + (\frac{a}{a+b})^2 + (\frac{a}{a+b})^3 + ... + (\frac{a}{a+b})^{2547}$

$B = \frac{b}{a+b} + (\frac{b}{a+b})^2 + (\frac{b}{a+b})^3 + ... + (\frac{b}{a+b})^{2547}$

จงหาค่าของ $-100(A+B)$

ข้อนี้ผมคิดไ้ด้ $100$

อ้างอิง:

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ กิตติ (ข้อความที่ 99977)

ข้อนี้ผมคิดไ้ด้ $100$

ขอวิธีคิดได้ไหมครับ

ข้อนี้ผมคิดไปถึง

$-100[1+[(\dfrac{a}{b})+(\dfrac{a}{b})^\frac{3}{2}+(\dfrac{a}{b})^\frac{4}{2}+...+(\dfrac{a}{b})^\frac{2547}{2}]+[(\dfrac{b}{a})+(\dfrac{b}{a})^\frac{3}{2}+(\dfrac{b}{a})^\frac{4}{2}+...+(\dfrac{b}{a})^\frac{2547}{2}]]$

ไม่รู้มาถูกทางรึเปล่า

วิธีคิดอยู่ในกระทู้นี้ครับ math กสพท

อ้างอิง:

จาก$a^3=b^3 \rightarrow (a-b)(a^2+ab+b^2)=0$ เนื่องจาก $a\not= b$ ดังนั้น$a-b\not=0$
$a^2+ab+b^2=0 \rightarrow \frac{a}{b}+\frac{b}{a} = -1 $
$ab=(a+b)^2$

$\dfrac{a^2}{b^2}+\dfrac{b^2}{a^2} = -1$ และเมื่อยกกำลังสองไปเรื่อยๆจะได้ว่า

$\dfrac{a^{2n}}{b^{2n}}+\dfrac{b^{2n}}{a^{2n}} = -1$

$ A = \frac{a}{a+b}(1 + (\frac{a}{a+b})^2 + (\frac{a}{a+b})^3 + ... + (\frac{a}{a+b})^{2552})$
$A\times (\frac{a}{a+b}-1) = \frac{a}{a+b}\times (\frac{a}{a+b}-1)(1 + (\frac{a}{a+b})^2 + (\frac{a}{a+b})^3 + ... + (\frac{a}{a+b})^{2552}) $
$A\times (\frac{-b}{a+b}) = \frac{a}{a+b}\times ((\frac{a}{a+b})^{2553}-1)$
$A= -\frac{a}{b}\times ((\frac{a}{a+b})^{2553}-1)$

$B = \frac{b}{a+b}(1 + (\frac{b}{a+b})^2 + (\frac{b}{a+b})^3 + ... + (\frac{b}{a+b})^{2552})$
$B \times (\frac{b}{a+b}-1)= \frac{b}{a+b}((\frac{b}{a+b})^{2553})-1 )$
$B= -\frac{b}{a}((\frac{b}{a+b})^{2553})-1 )$

$A+B = -[\frac{a}{b}\times ((\frac{a}{a+b})^{2553}-1)+\frac{b}{a}((\frac{b}{a+b})^{2553}-1 )]$

$= -[(\frac{a^{2554}}{b(a+b)^{2553}})+(\frac{b^{2554}}{a(a+b)^{2553}})-(\frac{a}{b}+\frac{b}{a})]$

$= -[(\frac{a^{2555}}{(a+b)^{2555}})+(\frac{b^{2555}}{(a+b)^{2555}})+1]$

$= -[(\frac{a}{b} +1)(\frac{a^{1277}}{b^{1277}})+(\frac{b}{a} +1)(\frac{b^{1277}}{a^{1277}})+1]$

$= -[(\frac{a^{1277}}{b^{1277}}+\frac{b^{1277}}{a^{1277}}) +(\frac{a^{1278}}{b^{1278}}+\frac{b^{1278}}{a^{1278}})+1]$

$= -[\frac{a^{1277}}{b^{1277}}+\frac{b^{1277}}{a^{1277}} ]$....
ผมน่าจะคิดเครื่องหมายกับพจน์ผิด เดี๋ยวขอลองคิดในกระดาษใหม่อีกที
เมื่อคืนคงงงเองทำต่อในกระดาษอีกนิดเดียวก็จบแล้ว

$= -[(\frac{a}{b})(\frac{a}{b})^{1276} +(\frac{b}{a})(\frac{b}{a})^{1276} ]$

$= -[(1+\frac{b}{a})(\frac{a}{b})^{1276} +(1+\frac{a}{b})(\frac{b}{a})^{1276} )]$

$= [(\frac{a}{b})^{1276}+(\frac{b}{a})^{1276} +(\frac{a}{b})^{1275}+(\frac{b}{a})^{1275} ]$

$= -1+(\frac{a}{b})^{1275}+(\frac{b}{a})^{1275} $

$= -1+ (\frac{a}{b})(\frac{a}{b})^{1274} )+(\frac{b}{a})(\frac{b}{a})^{1274}$

$= -1-[ (\frac{a}{b})^{1274} +(\frac{b}{a})^{1274}+(\frac{a}{b})^{1273} +(\frac{b}{a})^{1273}]$

$= -[(\frac{a}{b})^{1273} +(\frac{b}{a})^{1273}]$

เริ่มเห็นวนรอบของการแปลงพจน์แล้วจาก $-[\frac{a^{1277}}{b^{1277}}+\frac{b^{1277}}{a^{1277}} ]\rightarrow -1+(\frac{a}{b})^{1275}+(\frac{b}{a})^{1275} \rightarrow -[(\frac{a}{b})^{1273} +(\frac{b}{a})^{1273}]$

เลขชี้กำลังของการวนกลับมานั้นต่างกันอยู่4.....เราก็คิดเหมือนลำดับเลขคณิตว่าจะวนพอดีหรือมีพจน์ตกค้าง
$1272 = 4(318)$ แสดงว่าวนได้ 318 ดังนั้นพจน์สุดท้ายที่เหลือคือ

$\frac{a}{b}+\frac{b}{a}$

ดังนั้น$A+B = -1$
โจทย์ถาม$-100(A+B)$ จึงได้คำตอบคือ $100$

หรือว่าจะตอบว่า $-100$ เพราะพจน์สุดท้ายน่าจะเป็น $-(\frac{a}{b}+\frac{b}{a})$
$A+B = 1$
$-100(A+B) = -100$

อ้างอิง:

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ กิตติ (ข้อความที่ 97802)

1.$$x^2+xy+y^2=84$$
$$x-\sqrt{xy}+y=6$$

ยากอยู่ครับข้อนี้ถ้ามองไม่ออก

จากโจทย์ได้ว่า $x^2+xy+y^2=(x-\sqrt{xy}+y)(x+\sqrt{xy}+y)$

$\therefore x+\sqrt{xy}+y=14$

และได้ว่า $x+y=10,xy=16$

$\therefore (x,y)=(2,8),(8,2)$

อ้างอิง:

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ กิตติ (ข้อความที่ 97802)

2.$x^3-y^3 = 7$
$x^2+y^2=5 $

$x^2+y^2=5 $

$x-y=\sqrt{5-2xy} $

$x^3-y^3 = 7$

$(x-y)(x^2+xy+y^2) = 7$

$\sqrt{5-2xy}(5+xy) = 7$

ได้ $xy = 2$

จาก $x^2+y^2=5 $

$x-y=\sqrt{5-2xy} $
$x-y=\sqrt{5-2(2)} $
$x-y= 1 $ -----------2

$x+y=\sqrt{5+2xy} $
$x+y=\sqrt{5+2(2)} $
$x+y= 3 $ -----------1

นำ 1+2

ได้ $x = 2 , y = 1$

อ้างอิง:

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ กิตติ (ข้อความที่ 97802)

2.$$x^3-y^3 = 7$$
$$x^2+y^2=5 $$

$$(x-y)(x^2+xy+y^2)=7$$

$$(x-y)(5+xy)=7$$

$$(x-y)^2+2xy=5$$

ให้ $x-y=a,xy=b$

จะได้ $$a^2+\frac{14}{a}-15=0$$

$$(a+15)(a-1)=0$$

$\therefore x-y=-15,1$ และ $xy=-\frac{82}{15},2$

จะเห็นว่า $x,y$ ที่ทำให้ $x-y=-15$ และ $xy=\frac{82}{15}$ ไม่สอดคล้องกับระบบสมการ

$\therefore (x,y)=(2,1)$

อ้างอิง:

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ MiNd169 (ข้อความที่ 100001)

$x^2+y^2=5 $
......
ได้ $x = 2 , y = 1$

อ้างอิง:

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ ~ArT_Ty~ (ข้อความที่ 100003)

$$(x-y)(x^2+xy+y^2)=7$$

$$(x-y)(5+xy)=7$$
.....
จะเห็นว่า $x,y$ ที่ทำให้ $x-y=-15$ และ $xy=\frac{82}{15}$ ไม่สอดคล้องกับระบบสมการ

$\therefore (x,y)=(2,1)$

ยังมีคำตอบอื่นที่เป็นจำนวนจริงครับ

อ้างอิง:

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ MiNd169 (ข้อความที่ 100001)

$\sqrt{5-2xy}(5+xy) = 7$

ให้ $ xy = a$

แล้วจัดรูปไปมาได้

$(a-2)(2a^2+19a+38) = 0$

$a = 2,\frac{-19+\sqrt{57}}{4},\frac{-19-\sqrt{57}}{4}$

และเงื่อนไข $a\leqslant 2.5 $ จาก $ \sqrt{5-2xy}$

3 ตัวผ่านได้่หมด

คำตอบเลยออกมา 3 คู่อันดับใช่ไหมครับ

อ้างอิง:

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ MiNd169 (ข้อความที่ 100011)

วิธีจะดูว่าเป็นคำตอบหรือไม่ ลองพิจารณาว่า $a$ ที่ว่าคืออะไร เงื่อนไขที่ว่า $a\leqslant 2.5 $ เพียงพอหรือไม่ ต้องมากว่าหรือเท่ากับ -5 ด้วยหรือเปล่าแต่ถ้ากำหนดให้ครบแล้วมีประโยชน์หรือไม่ อย่าลืมนะครับว่า $a=xy$ การที่ได้ค่า $a$ ออกมาเป็นจำนวนจริงตามเงื่อนไขที่ว่ามิได้หมายความว่าจะใช้ได้เพราะยังไม่ได้ตรวจสอบว่าค่า $x,y$ จะเป็นจำนวนจริงด้วยหรือเปล่า ลองคิดดูครับ :):)