![]() |
โอ้ วิธีของคุณ nongtum น่าสนใจทีเดียวครับ จริงๆแล้วมันใช้ได้กับจำนวนเต็มบวกใดๆ วิธีทำข้อนี้อย่างยากใช้ฟังก์ชันการหมุนวงกลมหนึ่งหน่วยด้วยมุมอตรรกยะครับ :eek:
|
ช่วงนี้เว็บบอร์ดเงียบไปกับช่วงสอบแน่ๆเลย เอาเป็นว่ามาวางระเบิดไว้อีกข้อดีกว่า
17. จำนวนเฉพาะสองจำนวนต่างกันอยู่ 100 หากเราจับเลขสองตัวนี้มาต่อกัน(concatenate) เราจะได้จำนวนเฉพาะอีกตัว จงหาจำนวนเหล่านี้ |
อ้างอิง:
n = 10977, 13113, 24278, 26414, 37579, 39715, 41851, 53016, 55152, 66317, ... เช่น\[2^{10977}\approx2548.3695\times10^{3301}\] |
ข้อต่อไปครับ
ให้ \(n\) เป็นจำนวนนับ \((3+\sqrt{7})^n\) เป็นจำนวนคู่หรือคี่ |
อ้างอิง:
|
ขอโทษทีครับ คำถามจริงๆคือ
ให้ \(n\) เป็นจำนวนนับ \(\lceil(3+\sqrt{7})^n\rceil\) เป็นจำนวนคู่หรือคี่ |
แทน n = 1 ได้เลขคู่ครับ :p
วิธีพิสูจน์สำหรับจำนวนนับใด ๆ ของผม มันอาจจะดูสิ้นเปลืองไปหน่อย ช่วยดูด้วยนะครับ กำหนดให้ \[f(n) = (3 + \sqrt{7})^n + (3 - \sqrt{7})^n\] เราจะรู้ว่า \[f(n + 2) = 6 f(n + 1) - 2 f(n)\] แทนค่า n = 0 และ n = 1 จะรู้ว่า \[f(0) = 2\]\[f(1) = 6\] จาก induction \(\rightarrow f(n)\) จะเป็นจำนวนคู่แน่นอน ถ้า \(n \in \mathbf{Z}^+\) จาก... \[(3 - \sqrt{7})^n < 1 \qquad ; n \in \mathbf{Z}^+\] และ \[f(n) = (3 + \sqrt{7})^n + (3 - \sqrt{7})^n \in \mathbf{Z} \qquad ; n \in \mathbf{Z}^+\] ก็เลยรู้ว่า \[f(n) = \lceil (3 + \sqrt{7})^n \rceil \qquad ; n \in \mathbf{Z}^+\] สรุปแล้วก็คือ \[\forall n \in \mathbf{Z}^+ \left[2 \mid \lceil (3 + \sqrt{7})^n \rceil\right]\] หรือ ถ้าคิดกรณีทั่วไปมากขึ้นอีกนิด (จาก recurrence relation อันข้างบน) จะได้ว่า \[2^{\lfloor n/2 \rfloor + 1} \mid \lceil (3 + \sqrt{7})^n \rceil\] |
เอาโจทย์มาให้ครับ
กำหนดให้ \[\begin{eqnarray} a_1 & = & 1 \\ a_2 & = & 2 \\ 2 \mid a_n a_{n+1} \rightarrow a_{n+2} & = & 5a_{n+1} - 3a_n \\ 2 \mid (a_n a_{n+1} + 1) \rightarrow a_{n+2} & = & a_{n+1} - a_n \end{eqnarray}\] จงพิสูจน์ว่า 1. ลำดับ \(\{a_n\}\) มีจำนวนของค่าที่เป็นบวกและลบอยู่ไม่จำกัด 2. ไม่มี 0 อยู่ในลำดับนี้ 3. ถ้า \(n = 2^k - 1\) เมื่อ \(k \in (\mathbf{Z}^+ - \{1\})\) แล้ว \(7 \mid a_n\) |
อ้างอิง:
ให้จำนวนเฉพาะสองตัวนั้นเป็น p กับ p + 100 กรณีที่ 1 p = 3 ดังนั้น p + 100 = 103 เป็นจำนวนเฉพาะ จับ 2 ตัวมาต่อกัน ต่อแบบแรกได้ 1033 เป็นจำนวนเฉพาะ ต่ออีกแบบได้ 3103 = 29 * 107 ไม่ใช่จำนวนเฉพาะ กรณีที่ 2 \(2<p\equiv-1\pmod3\) ดังนั้น \(p+100\equiv0\pmod3\) ไม่ใช่จำนวนเฉพาะ กรณีที่ 3 \(p\equiv1\pmod3\) เราจึงได้ว่า \(p+100\equiv2\pmod3\) ดังนั้นเลขที่เกิดจากการต่อกันจะหารด้วย 3 ลงตัว จึงไม่ใช่จำนวนเฉพาะ (ตรงนี้ใช้หลักที่ว่า \(n\equiv d(n)\pmod3\) เมื่อ d(n) คือผลบวกของเลขโดดของ n) |
อ้างอิง:
เท่าที่ผมสังเกตเจอหลังจากคิดเลขอย่างหนักคือ\[a_{3n}=2a_{3n-3}-9a_{3n-6}\]ดังนั้น\[a_{3n} =-3^{n+1}\cos\left((n+1)\cos^{-1}\frac{1}{3}\right)\]ซึ่งจากสูตรนี้ทำให้เราสามารถตอบคำถามข้อ 1 ได้ครับ |
ข้อแรก ผมก็คิดคล้าย ๆ หยั่งงี้แหละครับ :p
แต่ ทำไมมันถึงตอบข้อ 2 ได้ล่ะครับ? (ข้อ 2 ผมคิดที่ mod 3 น่ะครับ มันจะได้ลำดับ 1 2 1 2 1 2...) |
กระทู้เงียบไปเลย ขอปล่อยระเบิดอีกลูกละกันครับ :p
20. จงหาจำนวนเต็มบวก x,y,z ทั้งหมดที่ทำให้ 4x+4y+4z เป็นจำนวนจัตุรัส |
อ้างอิง:
เพราะเมื่อไม่นานมานี้ ก็เพิ่งไปเจอ คำถามสไตล์นี้ มาเหมือนกัน แต่อยู่ในหัวข้อ combinatorics โจทย์มีอยู่ว่า Prove that 2004 occurs in first four digit of 2n for infinitely many n แล้วเขาก็ hint แค่ว่า log2 เป็นจำนวนอตรรกยะ ตอนนี้ เหลือแต่ พิสูจน์ว่า มี infinitely many n ที่ทำให้ {log 2004} < nlog2 -๋nlog2๛ <{log2005} (เมื่อ {x} แทน fractional part ของ x) แต่ยังคิดไม่ออกว่า จะทำไงต่อดี ก็เลยอยากรู้ว่า ที่คุณ nooonuii ใช้หมุนวงกลมด้วยมุม อตรรกยะ มันเป็นยังไง รบกวนช่วยอธิบายด้วยนะครับ P.S. ทำไมการบ้านวิชา Dynamical system ถึงมีคำถามข้อนี้ได้ งงจัง :confused: ดูไม่น่าจะไปด้วยกันได้ |
ลองอ่าน paper นี้ ดู เน้นที่ตรง Lemma 2 น่ะครับ
|
หลังจากอ่าน proof ของ lemma 2 จาก paper ที่คุณ warut ให้ link ไว้ ตอนนี้ก็ get ทุกอย่าง แล้วครับ
จริงๆ ถ้าไม่สังเกต ผมก็ไม่รู้สึกนะเนี่ย ว่าปัญหาที่ผมไปเจอจะเป็นปัญหา combinatorics เพราะ ส่วนที่เอา combinatorics (pigeonhole principle) ไปใช้พิสูจน์ใน lemma 2 ดังกล่าว มันนิดเดียวจริงๆ ส่วนประเด็นหลัก อยู่ที่ การ มองช่วง [0,1] ให้เป็นวงกลมเส้นรอบวง 1 หน่วย แล้วหมุนทีละ 2px radian เมื่อ x เป็น จำนวนอตรรกยะ แต่ก็ยังอยากรู้อยู่ดี ว่า การบ้านวิชา dynamical system ของคุณ nooonuii ทำไมมีคำถามประมาณนี้ด้วย เพราะ ถ้าคนไม่เคยเรียนวิชานี้มาก่อน (อย่างผม) เห็นชื่อวิชา แล้วจะรู้สึกถึง พวก nonlinear system/ differential equation อะไรทำนองนี้น่ะครับ อ้อ ! เกือบลืม......ขอบคุณ คุณ warut สำหรับ paper มากๆ ครับ ;) |
เวลาที่แสดงทั้งหมด เป็นเวลาที่ประเทศไทย (GMT +7) ขณะนี้เป็นเวลา 00:15 |
Powered by vBulletin® Copyright ©2000 - 2024, Jelsoft Enterprises Ltd.
Modified by Jetsada Karnpracha