จากที่ $$ \sum_{n=1}^\infty \frac{n^2}{n^4+4} $$ $$ = \frac14 \sum_{n=1}^\infty \left( \frac{n-1}{(n-1)^2+1} - \frac{n+1}{(n+1)^2+1} \right) $$ $$ + \frac14 \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{(n-1)^2+1} + \frac14 \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{(n+1)^2+1} $$
จะเห็นว่า อนุกรมอันแรกเป็น telescoping series ส่วนอนุกรมสองอันหลังสามารถหาผลบวกได้ โดยใช้ผลจากข้อ 6. ที่ว่า
$$ \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2+1} = \frac{\pi}{2} \coth\pi - \frac{1}{2} $$ ดังนั้น $$ \sum_{n=1}^\infty \frac{n^2}{n^4+4} = \frac{\pi}{4} \coth\pi $$

18. แต่งเอง (ไม่รู้จะมีจริงรึเปล่า)

$$a_n = \frac{n}{\ln|a_{n-1}+n|}\quad,a_0 =1$$

Evaluate

$$\lim_{n\to\infty} a_n$$

ขอโทษจริงๆครับคุณwarut ผมพิมพ์ผิดเองครับไปแก้ให้ละนะครับ :please:
ส่วนโจทย์ข้อนี้มีคนเอามาถามอีกทีน่ะครับไม่ได้แต่งเอง :D

ในโจทย์ข้อ 15. ฉบับแก้ไขครั้งที่ 1 นี้ $a_1$ หาค่าไม่ได้นะครับ (เจอหารด้วย 0)

ถือโอกาสนี้ขอถามด้วยเลยว่าคุณ Timestopper_STG มีวิธีทำข้อ 6. อย่างไรครับ

แม้จะยุ่งยากสักหน่อย แต่เราสามารถใช้ induction + calculus พิสูจน์ได้ครับว่ามี $n_0$ ที่เมื่อ $n\ge n_0$ แล้ว $\ln n<a_n<n$ ดังนั้น $$ \lim_{n\to\infty} a_n = \infty $$

ดีใจสุดๆ ที่หาเวลามาตอบได้ก่อนปีใหม่

สำหรับ คำตอบข้อ 16,17 ก็ถูกต้องแล้วครับ :great:

ในข้อ 17 เกี่ยวกับ cesaro mean ผมเพิ่งได้เห็นว่ามันไปเกี่ยวกับ Fourier series ด้วย เดี๋ยวให้ผ่าน1 เดือนอันตรายนี้ไปก่อน แล้วจะกลับมาเล่าแบบเต็มๆให้ฟังแน่นอน พร้อมคำถามภาคต่อจากข้อ 17 ด้วย(จากวิชา Functional analysis)

หลังจากวันนี้ คงจะสาบสูญจาก board แบบของแท้แน่นอน แล้วเจอกันอีกทีกลางเดือนหน้าครับ

p.s. วันนี้ ผมเพิ่งได้ของจากสิงคโปร์มา กะว่าจะเก็บไว้ใช้เป็นของรางวัลตอน แจกเฉพาะกิจ เฟส 2 ประมาณ กลางเดือนกุมภาพันธ์ รายละเอียดการแจกในเฟส 2 นี้ จะมาบอกอีกทีตอนใกล้ๆนะครับ

สำหรับโจทย์ข้อ 15. ฉบับแก้ไขครั้งที่ 2 นี้ ก็ยังไม่เป็นจริงนะครับ ยกตัวอย่างเช่น $$ a_6 = 1 +\frac11 -\frac12 -\frac13 +\frac14 -\frac15 = \frac{73}{60} $$ $$ \therefore \, |a_6-\sqrt2| = \sqrt2-\frac{73}{60} > 0.19 > \frac16 $$

สำหรับข้อ6นั้นตอนแรกผมกะจะหารูปแบบปิดของ$\displaystyle{\sum_{n=0}^{\infty}x^{n^2}}$เมื่อ$|x|<1$
ละจะอินทิเกรตตั้งแต่0ถึง1เอาหน่ะครับเพื่อให้ได้ค่าของอนุกรมออกมาแต่ว่า...ผมหารูปแบบปิดไม่เจอครับ :p

คิดว่าไม่มี closed form สำหรับผลบวกของอนุกรมที่คุณ Timestopper_STG สนใจนะครับ

แล้วโจทย์ข้อ 15. นี่จะยังมีฉบับแก้ไขครั้งที่ 3 อีกไหมครับ

ผมแถมโจทย์ให้ข้อนึงละกัน เป็นภาคต่อจากข้อ 4. ของคุณ passer-by ครับ

19. จงหาค่าของ $$ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{F_{2n-1}F_{2n+1}} $$ โดยที่ $F_n$ แทน Fibonacci number ตัวที่ $n$ นั่นคือ $F_1=F_2=1$ และ $F_n=F_{n-1}+F_{n-2}$ เมื่อ $n\ge3$

ตอนแรกว่าจะแปะภาคต่อของ Cesaro mean แต่ดูแล้วข้อที่จะแปะนี่ คงจะสาหัสเกินไป งั้นผมเปลี่ยนเป็น แปะภาคต่อของข้อ 13 แทนแล้วกันครับ

20. Evaluate $$ \int_0^1 \bigg \{ \frac{2}{x} \bigg \}^2 \,\, dx $$

NOTE: {a} แทน fractional part of a เช่น {5.187}= 0.187

ข้อ 20. นี่ผมก็ยังคงต้องทำแบบข้อ 13. คือกลับเศษเป็นส่วนก่อน แล้วค่อยคิด (ไม่งั้นงงตาย) แต่ข้อนี้ผมต้องใช้ Stirling's formula ด้วย ยุ่งยากกว่าข้อ 13. มากเลยครับ คำตอบที่ผมได้คือ $$2\ln8\pi-2\gamma-5$$ แต่ตอนนี้ขี้เกียจพิมพ์วิธีทำครับ ใครขยันเชิญก่อนได้เลย

ข้อนี้สามารถใช้ Mathematica หรือ Maple คำนวนได้หรือไม่ / อย่างไรครับ

ผมเพิ่งลองใน MATLAB รู้สึกจะขึ้น error เต็มไปหมดเลยครับ แต่ใน mathematica กับ maple ไม่รู้ได้หรือเปล่า

ยังไง น้อง mastermander ลอง เปลี่ยน $ \bigg \{ \frac{2}{x} \bigg \}^2 $ เป็น $ \bigg ( \frac{2}{x}- \lfloor\frac{2}{x} \rfloor \bigg )^2 $ แล้ว input เข้าไปใน mathematica /maple ดูแล้วกันครับ ว่าเกิดอะไรขึ้น


ถ้ายังมีปัญหาอยู่ ก็อาจต้องพึ่ง numerical integration แล้วล่ะครับ

p.s. คำตอบคุณ Warut ถูกแล้วครับ :great:

:confused:

จากที่น้อง mastermander แปะให้ดู แสดงว่า โปรแกรมทำให้เฉพาะกรณี numerical integration เท่านั้น ซึ่งจะได้แค่ค่าประมาณ (แต่รู้สึกจะ error เยอะไปนิดนะครับ)

ผมสันนิษฐานว่า กราฟของ integrand น่าจะ ขึ้นๆลงๆ หรือ oscillate ชนิดที่ถี่สุดๆ ตรงใกล้ x= 0 เลยทำให้ ผลลัพธ์แบบ numerical มี error พอสมควร

ยังไงลอง read more ตรงที่เขาขึ้นว่า option method ดูน่ะครับ เผื่อ error จะลดลง