![]() |
ไม่ต้องใช้อะไรพิเศษหรอกครับ น้อง timestopper
เพียงแต่ขอบเขตคราวนี้มันไม่ใช่ rectangular region การสลับขอบเขตเลยไม่ใช่เพียงแค่สลับขอบเขตในกับขอบเขตนอก แต่ต้องเขียนใหม่ทั้ง 2 ขอบเขตภายใต้ area เดิม เดิมบริเวณ $dvdu$ มันเป็น $ 0 \leq v \leq u \,\,\, , u \geq 0 $ ดังรูปข้างล่างก่อนหมุน (บริเวณ A cover ใต้เส้นถึง infinity นะครับ) แล้วก็เปลี่ยนเป็นขอบเขตแบบ $dudv$ ก็เหมือนน้องมองเอาแกน v เป็นเส้นนอน และแกน u เป็นเส้นตั้งน่ะครับ ก็จะเห็นเป็นรูปล่าง และขอบเขตก็จะเป็น $ v \leq u < \infty \,\,\, , v \geq 0 $ NOTE : $\infty$ ที่ผมเขียนบรรทัดก่อน เป็นแค่ notation เท่านั้นนะครับ ![]() |
อ้างอิง:
มีสุดยอดวิชาอยู่สามอย่างที่ใครได้มาครอบครองก็จะได้เป็นนักคณิตศาสตร์ผู้เยี่ยมยุทธ์ สามสิ่งนั้นคือ ความรู้เกี่ยวกับ ตรรกศาสตร์ เซต และ ฟังก์ชัน ครับ :laugh: |
The answer is $ \mathbf {\frac{6}{\pi}}$ Set $ x=\frac{1}{y} $ First equation becomes $$ g(\frac{1}{y}) - \frac{d}{dy}\bigg(\frac{1}{y^2}g'(\frac{1}{y}) \bigg) =0 \,\, \cdots(*)$$ Let $ w= g(\frac{1}{y})$ and hence (*) becomes $$ w(y)+w''(y)=0 \Rightarrow w= c_1\cos y +c_2 \sin y \Rightarrow g(x)= c_1\cos(\frac{1}{x}) +c_2 \sin(\frac{1}{x})$$ Since $\lim_{x\rightarrow \infty} xg(x)=1 $ ,it forces $c_1=0$ and then $ c_2=1$ Now $ g(x)= \sin(\frac{1}{x}) $ and we can easily solve for $a$. |
เป็นโจทย์ ODE ที่พระเจ้าจอร์จมากครับพี่ passer-by :great:
ผมนั่งเปลี่ยนตัวแปรอยู่นาน แต่ไม่เห็นความสัมพันธ์ :haha: |
โห... คุณ passer-by ให้เวลาข้อ 80. น้อยจังครับ ผมมาเห็นโจทย์ข้อนี้ก็ตอนเฉลยซะแล้ว
|
คือปกติ ผมจะตั้ง timer ไว้ว่า คำถามข้อนึงของผมมีเวลา 4 วัน ถ้าไม่มีใครมาตอบ ผมก็จะเฉลย ไม่อยากทิ้งไว้นานครับ เพราะ 2 สาเหตุคือ เดี๋ยวผมลืมว่าผมเคย post ข้อนี้ไว้ กับอีกเหตุผลคือ มีคำถามที่ไม่มีใครตอบในกระทู้มาราธอนมากมายพอแล้ว
แต่เอาเป็นว่า คราวหลังผมตั้ง timer ไว้ซัก 1 สัปดาห์แล้วกัน ส่วนข้อ 80 ผมเอามาจาก competition (ชื่อย่อขึ้นต้นด้วย h) ซึ่งดังมากๆและเพิ่งจบไปไม่นานนี้ ที่สำคัญก็คือมีเด็กไทยไปแข่งด้วยครับ ถ้าจำไม่ผิดรู้สึกข้อนี้จะ 7 คะแนน |
อ้างอิง:
$\displaystyle{\int\limits_0^{\infty}\frac{e^{-t}-2e^{-3t}+e^{-5t}}{t^2}dt}$ $\displaystyle{=\int_0^{\infty}\int_0^{\infty}xe^{-tx}\left(e^{-t}-2e^{-3t}+e^{-5t}\right)dxdt}$ $\displaystyle{=\int_0^{\infty}x\int_0^{\infty}e^{-(1+x)t}-2e^{-(3+x)t}+e^{-(5+x)t}dtdx}$ $\displaystyle{=\int_0^{\infty}\left[\left(\frac{x}{1+x}\right)-2\left(\frac{x}{3+x}\right)+\left(\frac{x}{5+x}\right)\right]dx}$ $\displaystyle{=\int_0^{\infty}\left[\left(1-\frac{1}{1+x}\right)-2\left(1-\frac{3}{3+x}\right)+\left(1-\frac{5}{5+x}\right)\right]dx}$ $\displaystyle{=\int_0^{\infty}\left[-\frac{1}{1+x}+\frac{6}{3+x}-\frac{5}{5+x}dx\right]}$ $\displaystyle{=\left[\ln\left(\frac{(3+x)^6}{(1+x)(5+x)^5}\right)\right]_0^{\infty}=\ln\left(\frac{5^5}{3^6}\right)}$:) Don't be surprise why a "ลมปราณบริสุทธิ์" man can solve this question with a beautiful method. Because I have just copied this from the other place.:p |
ผมเห็นว่าช่วงนี้บอร์ดเงียบๆไป+ผมไม่เห็นว่ามีโจทย์เหลือในกระทู้นี้เลยครับเลยหามาลงเพิ่มให้:p
81.$\displaystyle{\int_0^\frac{\pi}{2}\frac{dx}{\{\sin(x+a)+\cos x\}^2}=?,|a|<\frac{\pi}{2}}$ 82.$\displaystyle{\int_0^\infty\frac{\ln x}{x^3+1}dx=?}$ 83.$\displaystyle{\int_0^1\frac{\ln(1+x)}{1+x^2}dx=?}$ ไม่รู้ว่ามีข้อไหนซ้ำหรือเปล่านะครับถ้าซ้ำผมจะได้เอาออกครับแหะๆ:D |
ข้อ 83 ซ้ำ้กับ คำถามข้อ14 ที่นี่ ครับ
|
ผมเคยเห็นเวลาที่พิมพ์แล้วใช้เส้นขีดฆ่านี่ทำกันยังไงหรอครับผมจะได้ทำมั่งที่พิมพ์ผิดไป:D
|
83. (Medium level) Evaluate $$ \int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{\ln \cot \theta}{(\sin^5 \theta + \cos^5 \theta)^2}\cdot \sin^4 2\theta \,\, d\theta $$
|
ใช้ partial fractions หรือเปล่าครับผมทำมาละมันถึกมากๆถ้าถูกทางจะได้ทำต่อครับ:p
|
คิดว่าไม่จำเป็นครับ (หมายความว่า ถ้าใช้ ก็ไม่ใช่ขั้นตอนสำคัญของข้อนี้ครับ)
แต่ที่น่าจะได้ี่ใช้แน่ๆ คือ by parts หรือบางคนอาจจะเลือกกระจาย series ก็ไม่ว่ากันครับ Note : ข้อนี้ อาจจะถึกนิดหน่อย แต่ไม่อึดมากครับ |
มาเพิ่มให้อีกข้อนึงครับ
84. จงหาค่าของ $$\int_0^1 \frac{\sqrt{x-x^2}}{x+2} \,dx$$ |
ข้อ 84. ของพี่ nooonuii รู้สึกจะเป็นข้อสอบ Qualify Exam รึเปล่าครับ เหมือนผมเคยเห็นในกระทู้เก่าๆ เฉลยโหดมาก แต่อาจจะมีวิธีทั่วๆไป ยังคิดไม่ออกครับ ขอเติมโจทย์ละกันอิอิ
85. Assume that $f$ is integrable such that $0<f(x)<\infty $ for $x\in [0,1]$. Prove that \[ \int_0^1 f(x) dx \cdot \int_0^1\frac{1}{f(x)}dx \geq 1.\] |
เวลาที่แสดงทั้งหมด เป็นเวลาที่ประเทศไทย (GMT +7) ขณะนี้เป็นเวลา 04:34 |
Powered by vBulletin® Copyright ©2000 - 2024, Jelsoft Enterprises Ltd.
Modified by Jetsada Karnpracha