เฉลยของผมเป็นแบบนี้ครับ
18. จงหาค่าของ $$\arctan 2+\arctan 3$$ |
18. ให้ $y=\arctan 2+\arctan 3$ จะได้ $\tan y=\frac{2+3}{1-2\cdot3}=-1$ ดังนั้น $y=3\pi/4$ (ดูโดเมนผิดซะงั้น)
19. Two Quickies: จงหาค่าของ a) $\cos15^\circ+\cos 87^\circ+\cos 159^\circ+\cos 231^\circ+\cos 303^\circ$ b) $\sin^210^\circ+\sin^220^\circ+\dots+\sin^290^\circ$ ข้อ 17 อาจจะ tricky นิดๆแต่ไม่ยากครับ |
ข้อ 18. คุณ nongtum ไม่ถูกต้องนะครับ
19.b) $$\sin^210^\circ+\cos^210^\circ+\sin^220^\circ+\cos^220^\circ+\sin^230^\circ+\cos^230^\circ+\sin^240^\circ+\cos^240^\circ+\sin^2 90^\circ=5$$ |
ข้อ 18. ใช้คุณสมบัติ
\[ arctanx + arctany = arctan \big( \frac{x+y}{1-xy} \big) ; \; \; xy<1 \] \[ arctanx + arctany = \pi + arctan \big( \frac{x+y}{1-xy} \big) ; \; \; xy > 1 \] \[ arctan2 + arctan3 = \pi + arctan \big( \frac{5}{1-6} \big) = \frac{3\pi}{4} \] |
20. คำนวนค่าของ
$$\sqrt[3]{\cos\frac{2\pi}{7}}+\sqrt[3]{\cos\frac{4\pi}{7}}+\sqrt[3]{\cos\frac{8\pi}{7}}$$ $$\sqrt[3]{\frac12(5-3\sqrt[3]{7})}$$ |
22.
$A+B+C=\pi$ prove that $$\sin\frac{A}{2}\sin\frac{B}{2}\sin\frac{C}{2}\leq\frac18$$ |
ข้อ 22. งั้นผมขึ้นข้อต่อไปเลยละกัน$$ \sin\frac{A}{2}\sin\frac{B}{2}\sin\frac{C}{2} $$ $$ = \cos\frac{B+C}{2}\sin\frac{B}{2}\sin\frac{C}{2} $$ $$ = \frac{1}{2}\cos \frac{B+C}{2} \left( \cos\frac{B-C}{2} - \cos\frac{B+C}{2} \right) $$ $$ \leq \frac{1}{2}\left( \frac{\cos \frac{B+C}{2}+\cos\frac{B-C}{2} - \cos\frac{B+C}{2}}{2}\right)^2 $$ $$ \leq \frac{1}{8} \left( \cos \frac{B-C}{2}\right) ^2$$ $$ \leq \frac{1}{8}$$ ข้อ 23. Evaluate the product $$\prod^n_{k=1} \left( 1- tan^2\frac{2^k\pi}{2^n+1}\right)$$ จากหนังสือ Mathematical Olympiad Challenges ปล.ผมสังเกตในเวปบอร์ดต่างประเทศ เค้าจะซ่อนเฉลยไว้ เพื่อไม่ให้คนที่มาดูต้องพบกับเฉลยก่อนที่จะได้คิด อันนี้ก็แล้วแต่คนนะครับ |
ข้อ 23
ให้ $ \theta_k= \frac{2^k\pi}{2^n+1}$ ดังนั้น $$ \prod_{k=1}^n (1-\tan^2\theta_k)= \prod_{k=1}^n \big(\frac{\cos 2\theta_k}{\cos\theta_k}\big) \big(\frac{1}{\cos\theta_k})=\prod_{k=1}^n \big(\frac{\cos\theta_{k+1}}{\cos\theta_k}\big)\big(\frac{1}{\prod_{k=1}^n \cos\theta_k}\big )$$ สำหรับผลคูณวงเล็บแรก แต่ละเทอมในผลคูณ จะตัดกัน จนได้ผลดังนี้ $$ \prod_{k=1}^n \frac{\cos\theta_{k+1}}{\cos\theta_k}=\frac{\cos\theta_{n+1}}{\cos\theta_1}= \frac{\cos\frac{2^{n+1}\pi}{2^n+1}}{\cos\frac{2\pi}{2^n+1}}=\frac{\cos(2\pi-\frac{2\pi}{2^n+1})}{\cos\frac{2\pi}{2^n+1}}=1 $$ ส่วนวงเล็บต่อไป คูณด้วย $ 2\sin\theta_1 $ และคูณด้วย 2 ต่อไปเรื่อยๆเพื่อยุบผลคูณ (ลองทดดูเองนะครับ) พบว่า $$ \prod_{k=1}^n \cos\theta_k = \cos\theta_1\cos 2\theta_1\cos 4\theta_1\cdots\cos (2^{n-1}\theta_1)=\frac{\sin\theta_{n+1}}{2^n\sin\theta_1}=\frac{-\sin\theta_1}{2^n\sin\theta_1}=\frac{-1}{2^n} $$ สรุปว่า ข้อนี้ตอบ $-2^n $ และก็ข้อต่อไป 24. Simplify $$ \sum_{k=0}^n {n \choose k}\cos k\theta $$ Edit (1): แก้ข้อ 23 ตามคำท้วงติงของคุณ zead (2): ขยายความวิธีทำบางส่วน |
ให้ z =cosq+isinq
พิจารณา$ {n \choose 0} $(cosq+isinq)0+$ {n \choose 1} $(cosq+isinq)1+...+$ {n \choose n} $(cosq+isinq)n=((cosq+isinq)+1)n=((cosq+1)+isinq)n ใช้ทฤษฎีบทเดอร์มัวร์กับสมการฝั่งซ้ายแล้วเทียบส่วนจริงจะได้ $ {n \choose 0} $(cos0)+$ {n \choose 1} $cosq+...+$ {n \choose n} $cosnq=Re((cosq+1)+isinq)n=(cosq+1)n-$ {n \choose 2} $(cosq+1)n-2sin2q+... ข้อ25.หาค่าของ$$ \prod^{2^{1999}}_{k=0}(4sin^{2}\frac{k\pi}{2^{2000}}-3) $$ |
ข้อ 24 จบเกือบสวยแล้วครับ
แต่ Re((cosq+1)+isinq)n ยัง simplify ได้อีกครับ และคุณ zead มาแก้ตัว $ \pi $ ที่พิมพ์ในข้อ 25 ด้วย ก็ดีนะครับ |
26.$$\sin^{-1}\alpha + \sin^{-1}\beta + \sin^{-1}\gamma = \pi$$
Prove that $\alpha\sqrt{1-\alpha^2}+\beta\sqrt{1-\beta^2}+\gamma\sqrt{1-\gamma^2}=2\alpha\beta\gamma$ |
ข้อ26. ให้ sin-1a=A,sin-1b=B,sin-1g=C
\sinA=a,sinB=b,sinC=g แทนค่าในโจทย์เป็นจะเปลี่ยนสิ่งที่ต้องการพิสูจน์เป็น sinA|cosA|+sinB|cosB|+sinC|cosC|=2sinAsinBsinC ซsin2A+sin2B+sin2C=4sinAsinBsinCซึ่งจริงสำหรับA+B+C=p ส่วนโจทย์ข้อต่อไปขอยกข้อก่อนนหน้าที่ยังไม่มีใครตอบมาแทนครับ อ้างอิง:
|
เดี๋ยวดินจะพอกหางหมู ผมขอเฉลยข้อ 24 ต่อให้จบก่อนนะครับ
$ (1+\cos\theta) + i\sin\theta= 2\cos\frac{\theta}{2}(\cos\frac{\theta}{2}+i\sin\frac{\theta}{2}) $ ดังนั้น By De Moivre theorem $ ((1+\cos\theta) + i\sin\theta)^n= (2\cos\frac{\theta}{2})^n(\cos\frac{n\theta}{2}+i\sin\frac{n\theta}{2}) $ หรือหมายความว่า $ Re((1+\cos\theta) + i\sin\theta)^n= (2\cos\frac{\theta}{2})^n(\cos\frac{n\theta}{2}) $ ส่วนข้อ 25 ขอตอบรวมกับแบบที่ generalize แล้ว นะครับ ให้ $$ \prod^{2^{n-1}}_{k=0}(4\sin^{2}\frac{k\pi}{2^n}-3)=(-3)\prod^{2^{n-1}}_{k=1}(4\sin^{2}\frac{k\pi}{2^n}-3)=-3p_n $$ และ $\quad \theta_k=\frac{k\pi}{2^n} $ เพราะ $ \quad 4\sin^{2}\theta_k-3 = -\frac{\sin3\theta_k}{\sin\theta_k} $ ดังนั้น $$ p_n= (-1)^{2^{n-1}} \prod_{k=1}^{2^{n-1}}\frac{\sin3\theta_k}{\sin\theta_k}=(-1)^{2^{n-1}} \frac{\prod_{k=1}^{2^{n-1}}\sin3\theta_k}{\prod_{k=1}^{2^{n-1}}\sin\theta_k}= (-1)^{2^{n-1}}\frac{b_n}{a_n} $$ เมื่อจับคู่คูณเทอมต้นกับเทอมท้ายไปเรื่อยๆ ประกอบกับ ใช้สูตร $ \sin\theta \cos\theta=\frac{\sin2\theta}{2}$ จะได้ recurrence relation $$ a_n=\frac{1}{\sqrt{2}}\big (\frac{a_{n-1}}{2^{2^{n-2}-1}}\big ) \quad n \geq 2 \quad a_1= 1 $$ $$ b_n=\frac{1}{\sqrt{2}}\big (\frac{b_{n-1}}{(-2)^{2^{n-2}-1}}\big ) \quad n \geq 2 \quad b_1= -1 $$ ดังนั้น $$ \frac{b_n}{a_n}=\big ( \frac{b_{n-1}}{a_{n-1}} \big ) (-1)^{2^{n-2}-1} \quad n \geq 2 \quad \frac{b_1}{a_1}=-1 $$ สรุปว่า $ p_n=1$ เมื่อ n เป็นเลขคี่ และ $ p_n=-1$ เมื่อ n เป็นเลขคู่ ดังนั้น ผลคูณที่ต้องการ เท่ากับ -3 เมื่อ n เป็นเลขคี่ และ เท่ากับ 3 เมื่อ n เป็นเลขคู่ สรุปว่าข้อ 25 ตอบ 3 ต่อไปก็ ข้อ 27 ถ้า n เป็นจำนวนนับ และ $ 0 < x \leq \frac{\pi}{2}$ พิสูจน์ว่า $$ \cot\frac{x}{2^n}-\cot x \geq n $$ |
อ้างอิง:
|
ข้อ27
ให้P(n):$ cot\frac{x}{2^{n}}-cotx\ge n สำหรับnเป็นจำนวนนับและ 0<x\le \frac{\pi}{2}$ จะพิสูจน์โดยวิธีอุปนัย ขั้นฐาน : P(1):$ cot\frac{x}{2}-cotx\ge 1 ซึ่งเป็นจริงเพราะถ้าจัดรูปโดยใช้cot2A=\frac{cot^{2}A-1}{2cotA} จะกลายเป็น cot^{2}\frac{x}{2}+1\ge 2cot\frac{x}{2}$ ขั้นอุปนัย :สมมติP(n)จริง \$cot\frac{x}{2^{n}}-cotx\ge n บวก1ทั้งสองข้างจะได้ n+1\le cot\frac{x}{2^{n}}-cotx+1 เราต้องการพิสูจน์ว่าP(n+1)จริงนั่นคือcot\frac{x}{2^{n}}+1\le cot\frac{x}{2^{n+1}}$ซึ่งสามารถพิสูจน์ได้ในทำนองเดียวกับขั้นฐาน ข้อ28 หาค่าเฉลี่ยของ2sin2ฐ+4sin4ฐ+...+180sin180ฐ cot1ฐ |
เวลาที่แสดงทั้งหมด เป็นเวลาที่ประเทศไทย (GMT +7) ขณะนี้เป็นเวลา 16:36 |
Powered by vBulletin® Copyright ©2000 - 2024, Jelsoft Enterprises Ltd.
Modified by Jetsada Karnpracha