|
อ้างอิง:
ขอเเก้ตัวนะครับ ^^ เเทน $a=\frac{x}{y},b=\frac{y}{z},c=\frac{z}{x}\rightarrow a+b+c\ge 3$ อสมการสมมูลกับ $$\sum_{cyc} \sqrt{\frac{1}{2}b(a+1)}\le a+b+c$$ จาก Cauchy จะได้ว่า $$\sum_{cyc} \sqrt{\frac{b}{2}(a+1)}\le\sqrt{\frac{a+b+c}{2}}\sqrt{a+b+c+3}\le a+b+c$$ เเละอสมการท้ายสุดเป็นจริงเพราะ $a+b+c\ge 3$ $$2\sum_{cyc} \sqrt{\frac{xy}{(x+y)(y+z)}}=\sum_{cyc} \sqrt{\frac{4xy(z+x)}{(x+y)(y+z)(z+x)}}$$ :great::great::great:$$RHS\le \sqrt{\frac{{8(xy+yz+zx)(x+y+z)}}{(x+y)(y+z)(z+x)}}\le 3$$ อสมการสุดท้ายเป็นจริงเพราะ $$\sqrt{\frac{{8(xy+yz+zx)(x+y+z)}}{(x+y)(y+z)(z+x)}}\le 3$$ $$\leftrightarrow 9(x+y)(y+z)(z+x)\ge 8(x+y+z)(xy+yz+zx)$$ $$\leftrightarrow (x+y)(y+z)(z+x)\ge 8xyz$$ |
ขอลง FE บ้างนะฮ้าฟฟ
1.จงหา $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} $ ทั้งหมดที่ทำให้ $$f(f(x)+y)=f(x^2-y)+4yf(x) $$ 2.จงหา $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} $ ทั้งหมดที่ทำให้ $$f(x)f(yf(x)-1)=x^2f(y)-f(x) $$ 3.จงหา $f:\mathbb{N} \rightarrow\mathbb{N} $ ทั้งหมดที่ทำให้ $$((f(m))^2+f(n))|(m^2+n)^2 $$ 4.จงหา $f:\mathbb{R}^+ \rightarrow \mathbb{R}^+ $ ทั้งหมดที่ทำให้ $$f(f(x))+f(x)=6x $$ 5.จงหา $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} $ ทั้งหมดที่ทำให้ $$f(f(x)-y)+f(x+y)=2x $$ ข้อ 5 Crebit by Rose-Joker http://www.mathcenter.net/forum/showthread.php?t=4288 |
อ้างอิง:
ถ้าได้นะครับ ก็เเทน $y\rightarrow 0$ $$f(f(x))+f(x)=2x$$ เเละ ผมก็เเทน $x\rightarrow f(x)$ $$f(f(f(x)))+f(f(x))=2f(x)$$ เเต่ $f(f(x))=2x-f(x)$ เลยได้สมการใหม่ว่า $$f(2x-f(x))+2x-f(x)=2f(x)$$ เเล้วก็เเทน $x\rightarrow f(x)$ อีกรอบ $$f(f(x))+2f(x)-f(f(x))=2f(f(x))\leftrightarrow f(x)=x$$ |
อ้างอิง:
โดย Wolstenholme's Theorem สำหรับจำนวนเฉพาะ $p \ge 5$ เราสามารถเขียนได้ว่า $$1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{p-1}=\frac{p^2k}{b}$$ เมื่อ $k,b$ เป็นจำนวนเต็มโดยที่ $(k.b)=1$ ดังนั้น $$1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{p-1}+\frac{1}{p}=\frac{p^3k+b}{bp}$$ แสดงได้ไม่ยากครับว่า $(p^3k+b,bp)=1$ ก็จะได้ว่า $x=p^3k+b$ และ $y=bp$ โจทย์ที่ให้พิสูจน์ว่า $px\equiv y \pmod{p^4}$ ก็เคลียร์แล้วครับ :) อ้างอิง:
เลือก $y$ ที่ทำให้ $f(x)+y=x^2-y$ หรือก็คือ แทน $y$ ด้วย $\frac{x^2-f(x)}{2}$ นั่นเอง ก็จะได้ว่า $$0=4 \cdot \frac{x^2-f(x)}{2} \cdot f(x)$$ แสดงว่า $f(x)=x^2$ หรือ $f(x)=0$ |
อ้างอิง:
$\sqrt{\dfrac{xy}{(x+y)(y+z)}}+\sqrt{\dfrac{yz}{(y+z)(z+x)}}+\sqrt{\dfrac{zx}{(z+x)(x+y)}} =\sqrt{ \dfrac{\sqrt{xy(z+x)}+\sqrt{yz(x+y)}+\sqrt{zx(y+z)}}{(x+y)(y+z)(z+x)}}$ $\leq \sqrt{\dfrac{2(x+y+z)(xy+yz+zx)}{(x+y)(y+z)(z+y)}}$ $=\sqrt{\dfrac{2(x+y)(y+z)(z+x)+2xyz}{(x+y)(y+z)(z+x)}}$ $=\sqrt{2+\dfrac{2xyz}{(x+y)(y+z)(z+x)}}$ $\leq \sqrt{2+\dfrac{1}{4}}=\dfrac{3}{2}$ |
อ้างอิง:
มันมีอีกคำตอบคือ $f(x)=C-2x$,C is constant |
เเก้ไขครับ (เเต่ผมก็ได้เเค่ว่า $f(x)=x$เองอ่ะ = =)
|
โจทย์ประเภทนี้คำตอบหายกันได้ง่ายๆครับ เพราะว่า $y$ ที่มีในสมการอยู่ข้างใน $f$ ตลอด เวลาแทนตัวเลขก็จะได้คำตอบเฉพาะ
หรือพูดง่ายๆก็คือ คำตอบของ $f(f(x)-y)+f(x+y)=2x$ ครอบคลุมคำตอบของ $f(f(x))+f(x)=2x$ ซึ่งถ้าเราพิจารณาแค่สมการหลัง ก็เหมือนการพิจารณากรณีเฉพาะของคำถามแหละครับ คำตอบเลยไม่ครบ :) |
#44 จริงด้วยอ่ะครับ 555+ ( ตอนนี้ก็ยังไม่ออกเลย :sweat:)
#45 อาจจะเป็นอย่างนั้นก็ได้ครับ เเต่จริงๆเเล้วผมทำผิดด้วยอ่ะครับ :aah: เเบบนี้เเล้วเราจะรู้ได้ไงครับว่ามันยังมีคำตอบอีกหรือป่าว ปล. สอนโคชีหน่อยได้ไหมครับ งงมากๆเลยอ่ะ :cry::cry::nooo: |
อ้างอิง:
|
ผมเองก็รู้สึกว่ามันขาดๆอะไรไป :sweat: เหมือนเคยเห็นชีทในเน็ตซักอันนี่แหละ
ที่บอกว่า $(f(x))^2=x^2$ ก็ต้องพิสูจน์อะไรบางอย่างก่อนจะสรุปว่า $f(x)=x$ หรือ $f(x)=-x$ (เพราะคำตอบที่ได้อาจเป็น $f(x)=|x|$ ก็ได้) แล้วในกรณีนี้สรุปแทนได้ไหมครับ ว่า $f(x)=x^2$ และ $f(x)=0$ เป็นเพียงหนึ่งคำตอบ (แต่ยังไม่รู้ว่ามีคำตอบอื่นอีกหรือเปล่า) |
|
อ้างอิง:
$f(x)(x^2-f(x))=0$ ถึงตรงนี้เราสรุปได้แค่ว่า สำหรับแต่ละ $x$ เราจะได้ $f(x)=0$ หรือ $f(x)=x^2$ จบรึยัง ? ยังครับ เราจะแน่ใจได้อย่างไรว่าจะไม่เกิดกรณีที่ $f(1)=0$ แต่ $f(2)=2^2$ (เป็นไปได้) ซึ่งส่วนที่โหดที่สุดก็คือส่วนที่เราต้องแยกออกมาให้ได้ว่ามีสองคำตอบเท่านั้นครับ วิธีพิสูจน์ต่อไปนี้ผมให้เครดิต pco เทพ FE ใน AOPS ครับ :great: จากเงื่อนไขที่ได้มาเราสรุปได้แน่นอนว่า $f(0)=0$ Case 1 มี $a\neq 0$ ซึ่ง $f(a)=0$ สมมติว่ามี $b\neq a,0$ ซึ่ง $f(b)\neq 0$ นั่นคือ $f(b)=b^2$ แทนค่า $x=a,y=b$ ในสมการจะได้ $f(b)=f(a^2-b)$ $b^2=(a^2-b)^2$ ($f(a^2-b)\neq 0$ เพราะ $b\neq 0$) $b=\dfrac{a^2}{2}$ ให้ $c\in\mathbb{R}-\{0,a,-a,b\}$ ถ้า $f(c)=0$ แทนค่า $x=c,y=b$ จะได้ $f(b)=f(c^2-b)$ $b^2=(c^2-b)^2$ $c^2=2b=a^2$ ซึ่งขัดแย้ง ถ้า $f(c)=c^2$ แทนค่า $x=a,y=c$ จะได้ $f(c)=f(a^2-c)$ $c^2=(a^2-c)^2$ $c=\dfrac{a^2}{2}=b$ ซึ่งขัดแย้ง ดังนั้น $f(x)=0$ ทุก $x\in\mathbb{R}$ Case 2 $f(x)\neq 0$ ทุก $x\neq 0$ จะได้ทันทีว่า $f(x)=x^2$ ทุก $x\in\mathbb{R}$ สรุป คำตอบของสมการคือ 1. $f(x)=0$ ทุก $x\in\mathbb{R}$ 2. $f(x)=x^2$ ทุก $x\in\mathbb{R}$ |
#56,57,58 ช่วยสอน Cuachy Equation ผมหน่อยได้ใหมอ่ะครับ :please:
|
ว้าวว ขอบคุณพี่ nooonuii มากๆครับ :kaka:
เว็บ AOPS ผมสมัครไว้แต่ไม่เคยเข้าไปดูเลย ในนั้นคงมีแต่เทพๆจากทั่วโลก :died: #59 แนะนำให้ลองอ่านในนี้ดูครับ Mathematical Excalibur Vol.8 No.1 |
| เวลาที่แสดงทั้งหมด เป็นเวลาที่ประเทศไทย (GMT +7) ขณะนี้เป็นเวลา 05:53 |
Powered by vBulletin® Copyright ©2000 - 2024, Jelsoft Enterprises Ltd.
Modified by Jetsada Karnpracha