|
โอ ... ลืมไปเลยครับเรื่องฐานของ log
|
ต่อเลย คราวนี้ เป็นแก้สมการตรีโกณนะครับ
36. จงแก้สมการ $\displaystyle{\frac{a\sin{x} +b}{b\cos{x}+a} = \frac{a\cos{x}+b}{b\sin{x}+a}}$ เมื่อ $a^2 \neq 2b^2$ ย้ายข้างจับคู่ ดึงตัวร่วม จะได้ $(\cos{x}-\sin{x})(ab(\cos{x}+\sin{x})+a^2+b^2) = 0$ $x = 2n\pi + \frac{\pi}{4}, 2n\pi+\frac{5\pi}{4} , 2n\pi + \frac{\pi}{4}+\cos^{-1}{(\frac{a^2+b^2}{\sqrt{2}ab})}$ 37. กำหนดสมการ $a\cos{x}+b\sin{x} = c$ a.) จงหาค่าของ $c$ ที่ทำให้ สมการนี้มีคำตอบเสมอ เมื่อ $a,b$ เป็นค่าคงที่ b.) จงแก้สมการ กำหนดให้ $\displaystyle{\theta = \tan^{-1}{(\frac{a}{b})}}$ $\displaystyle{\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}\cos{x}+\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}\sin{x} = \frac{c}{\sqrt{a^2+b^2}}}$ $\displaystyle{\sin{(x+\theta)} = \frac{c}{\sqrt{a^2+b^2}}}$ $\displaystyle{-1\leq \frac{c}{\sqrt{a^2+b^2}}\leq 1}$ $\displaystyle{-\sqrt{a^2+b^2}\leq c \leq \sqrt{a^2+b^2}}$ $\displaystyle{x = 2n\pi+\sin^{-1}{\frac{c}{\sqrt{a^2+b^2}}}-\tan^{-1}{(\frac{a}{b})}}$ 38. จงแก้สมการ $\sin^3{x}+\sin^3{(2x)}+\sin^3{(3x)} = (\sin{x}+\sin{(2x)}+\sin{(3x)})^3$ จัดรูปอย่างถึกๆ จับคู่ใช้สูตรผลคูณ ผลบวก ไปเรื่อยๆ สุดท้ายจะได้ $\cos{x} = 0$ $\sin{2x} = 0$ $\sin{\frac{3x}{2}} = 0$ $\sin{\frac{5x}{2}} = 0$ $\cos{\frac{x}{2}} = 0$ 39. จงแก้สมการ $\displaystyle{\frac{1}{\sin^2{x}}-\frac{1}{\cos^2{x}}-\frac{1}{\tan^2{x}}-\frac{1}{\cot^2{x}}-\frac{1}{\sec^2{x}}-\frac{1}{\csc^2{x}} = -3}$ จับคู่คูณไขว้ให้ถูก จะได้คำตอบ $x = 2n\pi+\frac{\pi}{4}, 2n\pi+\frac{3\pi}{4},2n\pi+\frac{5\pi}{4},2n\pi+\frac{7\pi}{4}$ 40. จงแก้สมการ $\displaystyle{\sin^5{x}-\cos^5{x} = \frac{1}{\cos{x}}-\frac{1}{\sin{x}}}$ ใช้ความจริงที่ว่า $x^5-y^5 = (x-y)(x^4+x^3y+x^2y^2+xy^3+y^4)$ แล้วจัดรูปจะได้ $\sin{x} = \cos{x}$ ตอบ $x = 2n\pi + \frac{\pi}{4}, 2n\pi+\frac{5\pi}{4}$ 41. จงแก้สมการ $\displaystyle{\cot^2{x} = \frac{1+\sin{x}}{1-\cos{x}}}$ $\displaystyle{\frac{\cos^2{x}}{(1+\sin{x})(\sin^2{x})} = \frac{1+\cos{x}}{1-\cos^2{x}}}$ จัดรูปสุดท้าย จะได้ $\sin{x} = -\cos{x}$ $x = 2n\pi + \frac{3\pi}{4},2n\pi+\frac{7\pi}{4}$ 42. จงแก้สมการ $\cot{x}-2\sin{(2x)} = 1$ จัดรูปจะได้ $\cos{3x} = \sin{x}$ $\displaystyle{\cos{3x} = \cos{(\frac{\pi}{2}-x)}=\cos{(x-\frac{\pi}{2})}}$ $x = 2n\pi+\frac{\pi}{8}, 2n\pi+\frac{3\pi}{4}, 2n\pi+\frac{5\pi}{8}, 2n\pi-\frac{\pi}{4},2n\pi - \frac{3\pi}{8},2n\pi-\frac{7\pi}{8}$ 43. จงแก้สมการ $2\tan{(3x)}-3\tan{(2x)} = \tan^2{(2x)}\tan{(3x)}$ วิธีทำคล้ายข้อ 45. ตอบ $x = n\pi$ 44. จงแก้สมการ $2\cot{(2x)}-3\cot{(3x)} = \tan{(2x)}$ วิธีคล้ายข้อ 45. เปลี่ยน ให้เป็นฟังก์ชัน ไซน์กับคอส ทั้งหมด แล้วย้ายข้าง จัดรูป จะได้ $x = 2n\pi$ 45. จงแก้สมการ $6\tan{x}+5\cot{(3x)} = \tan{(2x)}$ $\displaystyle{\frac{5\sin{x}}{\cos{x}}+\frac{5\cos{3x}}{\sin{3x}} = \frac{\sin{2x}}{\cos{2x}} - \frac{\sin{x}}{\cos{x}}}$ จัดรูปไปเรื่อยๆจะได้ $\displaystyle{10\cos^{2x} = \cos{2x}-\cos{4x}}$ ให้ $\theta = 2x$ แล้วแก้สมการเอา จะได้คำตอบคือ $\displaystyle{x = 2n\pi\pm\cos^{-1}{\frac{\sqrt{2}}{3}}, 2n\pi\pm\cos^{-1}{(\frac{-\sqrt{2}}{3})}, 2n\pi\pm\cos^{-1}{\frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{2}}}, 2n\pi\pm\cos^{-1}{(\frac{-\sqrt{3}}{2\sqrt{2}})}}$ |
น่ารวมโจทย์เป็นไฟล์ pdf จริงๆ
|
อ้างอิง:
|
46. กำหนดให้ $a,b,c \in \mathbb{R}^+$ จงหาค่าต่ำสุดของ $f(x)$ เมื่อ $f(x) = \sqrt{a^2+x^2}+\sqrt{(b-x)^2+c^2}$
47. จงแก้ระบบสมการ $x+\log{(x+\sqrt{x^2+1})} = y$ $y+\log{(y+\sqrt{y^2+1})} = z$ $z+\log{(z+\sqrt{z^2+1})} = x$ 48. จงหาค่า $x$ ที่ทำให้ $\cos^2{x}+\cos^2{2x}+\cos^2{3x} = 1$ ผมจัดรูปไปจัดรูปมา แยกตัวประกอบจะได้ $\displaystyle{\cos{2x}(\cos{2x}+1)(2\cos{2x}-1) = 0}$ 49. จงแก้ระบบสมการ $\displaystyle{\frac{4x^2}{1+4x^2} = y}$ $\displaystyle{\frac{4y^2}{1+4y^2} = z}$ $\displaystyle{\frac{4z^2}{1+4z^2} = x}$ 50. จงพิสูจน์ว่า $\displaystyle{\frac{\sin{x}+\sin{2x}+...+\sin{nx}}{\cos{x}+\cos{2x}+...\cos{nx}} = \tan{(\frac{n+1}{2}x)}}$ |
อ้างอิง:
$\log{(y+\sqrt{y^2+1})} = z-y$ $\log{(z+\sqrt{z^2+1})} = x-z$ $x+\sqrt{x^2+1} = 10^{y-x}$ $y+\sqrt{y^2+1} = 10^{z-y}$ $z+\sqrt{z^2+1} = 10^{x-z}$ จับสมการคูณกันหมด $(x+\sqrt{x^2+1})(y+\sqrt{y^2+1})(z+\sqrt{z^2+1})=10^0 = 1$ ข้อนี้ไม่ได้กำหนด x เป็นอะไรผมก็ไม่แน่ใจเหมือนกัน แต่คู่อันดับที่ได้แน่ ๆ คือ (x,y,z) = (0,0,0) |
เป็นผม ถ้าเจอโจทย์ทำนองนี้ ผมจะใช้ $x = y = z$ :happy:
|
48. จำได้ว่าเป็นข้อสอบ IMO 196x ไม่เเน่ใจ
49. เห็นได้ว่า $x,y,z$ ไม่เป็นลบเเน่นอน เเละ $x=y=z=0$ เป็นคำตอบชัวร์ ทีนี้ $\frac{4x^2}{1+4x^2} = 1-\frac{1}{4x^2 +1}$ นั่นคือ $x,y,z$ มีค่าบวกที่ไม่ถึง $1$ ให้ $x=\frac{1}{2}tanA,y=\frac{1}{2}tanB,z=\frac{1}{2}tanC$ โดย$ 0\leqslant A,B,C\leqslant \frac{\pi}{2}$ เเทนกลับไปได้ระบบสมการ $sin^2 A = \frac{1}{2}tanB$ $sin^2 B = \frac{1}{2}tanC$ $sin^2 C = \frac{1}{2}tanA$ จบคูณหมด จัดรูปอีกหน่อย จะได้ $sin2Asin2Bsin2C=1$ หมายความว่า $2A=2B=2C=\frac{\pi}{2}$ $A=B=C=\frac{\pi}{4}$ จะได้ $x=y=z=\frac{1}{2}$ คำตอบคือ $(0,0,0),(\frac{1}{2},\frac{1}{2},\frac{1}{2})$ |
T T ข้ออื่นยากจัง ทำตั้งนานละ
|
ข้อ 50. ง่ายมากเลยค่ะ แค่เอา sin $\frac{x}{2}$ คูณทั้งข้างบนข้างล่างก็จบค่ะ
|
50. นำ $2sin\frac{x}{2}$ คูณทั้งบนเเละล่าง
บน ;$ 2sinxsin\frac{x}{2}+2sin\frac{x}{2}sin2x+...+2sin\frac{x}{2}sinnx$ $= (cos\frac{x}{2}-cos\frac{3x}{2}) + (cos\frac{3x}{2}-cos\frac{5x}{2})+...+(cos\frac{2n-1}{2}x - cos\frac{2n+1}{2}x)$ $= cos\frac{x}{2}-cos\frac{2n+1}{2}x$ $= 2sin\frac{n+1}{2}x sin\frac{n}{2}$ ล่าง ;$ 2sin\frac{x}{2}cosx + 2sin\frac{x}{2}cos2x + ... + 2sin\frac{x}{2}cosnx$ $= (sin\frac{3x}{2}-sin\frac{x}{2}) + (sin\frac{5x}{2}-sin\frac{3x}{2}) + ... + (sin\frac{2n+1}{2}x - sin\frac{2n-1}{2}x)$ $= sin\frac{2n+1}{2}x - sin\frac{x}{2}$ $= 2cos\frac{n+1}{2}x sin\frac{n}{2}x$ จับหารกัน ก็ได้ $tan\frac{n+1}{2}x$ |
51. กำหนดให้ $\displaystyle{\frac{2a_1}{3}+a_2+\frac{4a_3}{3}+...+\frac{(n+1)a_n}{3} = \frac{n+2}{n+3}}$
จงหาค่าของ $\displaystyle{\sum_{n=8}^{\infty}21a_n}$ 52. กำหนดให้ $f(x) = 2+(1+x)+(1+x)^2+...+(1+x)^{99} = C_0+C_1x+C_2x+...+C_{99}x^{99}$ จงหาค่าของ $\displaystyle{\log_2{(C_0+C_1+...+C_{99})}}$ 53. จงหาค่าของ $\displaystyle{\lim_{n\rightarrow\infty} (\frac{n^2+6n}{n^2+3n})^n}$ จับ $y$ เท่ากับก้อนข้างใน แล้ว take ln เอา ใช้ L'hospital Rule จะได้ $e^3$ 54. จงแก้ระบบสมการ $x^3+y^3 = 9$ $x^2y+y^2x = 6$ 55. กำหนดให้ $\displaystyle{x+\frac{1}{x} = \frac{\sqrt{5}+1}{2}}$ จงหาค่าของ $\displaystyle{x^n+\frac{1}{x^n}}$ |
51. จะได้ $\frac{2a_1}{3}+\frac{3a_2}{3} + ... + \frac{(n)(a_n)}{3} = \frac{n+1}{n+2}$
จะได้ว่า $\frac{n+1}{n+2} + \frac{(n+1)a_n}{3} = \frac{n+2}{n+3}$ จัดรูปจะได้$ a_n = \frac{3}{(n+1)(n+2)(n+3)} = \frac{3}{2}[\frac{1}{(n+1)(n+2)}-\frac{1}{(n+2)(n+3)}]$ ดังนั้น $\sum_{n = 8}^{\infty}21a_n = \frac{63}{2}[\frac{1}{9\cdot 10} - ...] = \frac{7}{20}$ 52. สังเกตว่า $C_0 + C_1 + ... + C_{99} = f(1) = 2+2+2^2+2^3+...+2^99 = 2^100$ ดังนั้น $log_2 (C_0 + C_1 + ... + C_{99}) = 100$ 54.จากสมการเเรก $ (x+y)(x^2 - xy + y^2) = 9$ จากสมการสอง $xy(x+y)=6$ นำมาหารกันเเละจัดรูป จะได้ $2x^2 - 5xy + 2y^2 =0$ นั่นคือ $x=2y$ หรือ $x=\frac{y}{2}$ เเทนกลับเข้าไปในสมการจะได้ว่า $(x,y) = (1,2) , (2,1)$ 55. สังเกตว่า $\frac{\sqrt{5}+1 }{2} = 2cos36^\circ$ จาก ถ้า $x+\frac{1}{x} = 2cos\theta$ เเล้ว $x^n + \frac{1}{x^n} = 2cosn\theta$ จะได้ว่า $x+\frac{1}{x} = 2cos36n^\circ$ |
ข้อ 53 ได้ $e^{\frac{1}{3}}$ หรือเปล่าครับ??
|
54. $x^3+y^3 = 9 ...........(1)$
$x^2y+xy^2 = 6..............(2)$ $(2)x3 : 3x^2y+3xy^2 = 18..........(3)$ $(1)+(3) : (x+y)^3 = 27$ $\therefore x+y = 3 $ $(1)-(2): (x+y)(x-y)^2 = 3$ ได้ $(x-y)^2 = 1 ; x-y = 1,-1 $ $\therefore (x,y) = (2,1),(1,2)$ |
| เวลาที่แสดงทั้งหมด เป็นเวลาที่ประเทศไทย (GMT +7) ขณะนี้เป็นเวลา 10:15 |
Powered by vBulletin® Copyright ©2000 - 2024, Jelsoft Enterprises Ltd.
Modified by Jetsada Karnpracha