สังเกตว่า มี $\sqrt{x^2+1}$ อยู่ และมี $x^2$ ซึ่งเกิดจาก $\sqrt{x^2+1}$ กำลังสอง

ลองให้ $\sqrt{x^2+1} = A$ จะได้ $x^2+4\sqrt{x^2+1}+5 = A^2+4A+4$

ให้พิสูจน์ว่า เมื่อนำ function ทางตรีโกณต่างๆ ได้เเก่ sin cos tan cosec sec cot arcsin arccos arctan arccosec arcsec arccot มาซ้อนกัน หน้า1 เเล้วจะมีวิธีที่ทำให้ค่า เท่ากับ n เมื่อ n เป็นจำนวนนับใดๆ เช่น sin(arcsin(1))=1

สังเกตว่า $cosec(cot^{-1}(1))=\sqrt{2}$ และ $cosec(cot^{-1}(\sqrt{x})) = \sqrt{x+1} \ \ ,\forall x \in \mathbb{N}$

ดังนั้น $n = \sqrt{n^2} =\underbrace{cosec(cot^{-1}(...cosec(cot^{-1}}_{2n^2-2\ \text{times}}(1)...))$

ถูกต้องครับ เเต่ก้ใช้ sin arctan ได้นะครับ

ตั้งโจทย์ข้อใหม่นะครับ
จงเเสดงว่าสำหรับเซต A ที่มีสมาชิกเป็นจำนวนจริง ต่างกัน13 ตัวใดๆ จะต้องมี x y เป็นสมาชิกของ A ซึ่ง$ 0<(x-y)/(1+xy)<2-\sqrt{3}$

ให้อีกข้อนะคับ ในตาราง 7*7 ให้หาจำนวนช่องที่ระบายสีได้มากที่สุด โดยที่ไม่เกิดสี่เหลี่ยมมุมฉากจากจุดที่ระบายสีเอาไว้

ข้อนี้ ไอเดียมันอยู่ที่การเปลี่ยนจำนวนจริง 13 ตัว ให้เป็นฟังก์ชัน $tan$ ครับ โดยสังเกตจากรูป $\frac{x-y}{1+xy}$ นะครับ มันจะมีลักษณะคล้ายกับสูตรผลลบของฟังก์ชัน $tan$ และอีกอย่างหนึ่งคือ $2-\sqrt{3} = tan(\frac{\pi}{12})$ ซึ่งผมจะใช้เรื่องหลักรังนกพิราบในการพิสูจน์ครับ

สมมติให้ จำนวนจริงทั้ง 13 ตัว คือ $a_1, a_2, a_3,..., a_{13}$ และเราจะแทนที่โดยให้ $a_i = tan$ $b_i$ $\forall i \in$ {${1,2,3,...,13}$} และ $b_i \in (-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})$
ให้นก แทน $b_1, b_2, b_3,..., b_{13}$
และรัง แทน $(-\frac{\pi}{2},-\frac{11\pi}{12}],(-\frac{11\pi}{12},-\frac{5\pi}{6}],...,(\frac{11\pi}{12},\frac{\pi}{2})$ ซึ่งมีทั้งหมด 12 รัง
โดยหลักรังนกพิราบอย่างง่าย จะได้ว่ามีนกอย่างน้อย 2 ตัว ที่อยู่ในรังเดียวกัน สมมติเป็น $b_i, b_j$ โดยไม่เสียนัยทั่วไป ให้ $b_i>b_j$
เนื่องจาก $b_i, b_j$ อยู่ในรังเดียวกัน ทำให้ได้ว่า $0 < (b_i-b_j) \le \frac{\pi}{12}$
$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 0<tan(b_i-b_j)\le tan(\frac{\pi}{12})$
$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 0<\frac{{tan\ b_i}-{tan\ b_j}}{1 + (tan\ b_i)(tan\ b_j)}\le tan(\frac{\pi}{12})$
$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 0<\ \ \ \frac{a_i-a_j}{1 + a_ia_j}\ \ \le 2-\sqrt{3}$
ดังนั้น จะมี $x,y \in A$ ซึ่งทำให้ $0 < \frac{x-y}{1+xy}\le2-\sqrt{3}$

ให้หาฟังก์ชั่นทั้งหมดจาก R ไป R ที่ f(x+y+z)=f(x)+f(y)+f(z)

ถ้าใช้ Cauchy นี่ต้อง เป็น continuous function หรือเปล่าครับ

ข้อนี้ไม่จำเป็นคับผม

แทน x=y=z=0 จะได้ f(0)=0
แทน z=0 จะได้สมการอยู่ในรูป Cauchy Equation คือ f(x+y)=f(x)+f(y)
แต่ f เป็นฟังก์ชันจาก R ไป R โจทย์น่าจะเพิ่มเงื่อนไขว่าเป็นฟังก์ชันต่อเนื่อง หรือ ฟังก์ชันทางเดียว หรือ ฟังก์ชันมีขอบเขต นะครับ

คับผม ถูกเเล้วนะคับผม
อีกข้อนะครับ จงพิสูจน์ว่ามี 3^k ที่ลงท้ายด้วย 0001 ได้เสมอ เมื่อ k เป็นจำนวนเต็มบวก

ข้อใหม่ใช้รังนกใน mod10000 แล้วออกเลยครับ

สำหรับข้อตารางลองแบ่ง case ดูคับ น่าจะประมาณ5case พิจารณาจุดแถวแรกดูครับ บวกกับรังนกนิดๆหน่อยๆ แล้วจะได้ว่าเยอะสุดคือ 21 จุด

คับผม ข้อต่อไป จงพิสูจน์ว่า เมื่อหยิบ จำนวนนับ 18 ติดกัน เเล้วไม่สามารถเเบ่งเป็น 2 เซ็ต เเล้วคูณกันได้ เท่ากันพอดี