ข้อ 98 คิดมานานเเล้วครับ ได้เท่านี้จริงๆ :died:
จากสมการเเรกจะได้ $y^2 = \frac{49-x^3}{3x}$ ____ A
จาก $x^2 + 8xy+y^2 = 8y+17x$ จะได้ $x^2-17x+y^2 = y(8-8x)$ ยกกำลังสองอย่างบ้าคลั่ง
$x^4 + 289x^2+y^4-34x^3+2x^2y^2-34xy^2 = y^2(64-128x+64x^2)$
เเทนค่า $y^2$ ที่ได้ลงไป จัดรูป :died: จะได้
$(196x^5 - 392x^4 + 2209x^3 - 7003x^2 +7007x-2401)(x-1)=0$
ได้ $x=1$ กับสมการตัวใหญ่ด้านหน้าซึ่งมีคำตอบเป็นจำนวนจริง 1 จำนวนซึ่งไม่น่าพิสมันสักเท่าไร :cry:
$x=1$ เเทนลงไปใน A จะได้ $y=4,-4$
มีวิธีที่ดีกว่านี้ก็เสนอเลยครับ ต้องการมาก

101. ถ้า $a,b,k \in \mathbf{I}^+$ และเราสามารถเขียนจำนวน $a^a\times b^b$ ได้ในรูปของ $k\times 10^{98}$ จงหาคู่อันดับที่เป็นไปได้ $(a,b)$ ที่ $a\times b$ มีค่าน้อยที่สุด


102. กำหนดให้ $A = \left[ a_{ij} \right]_{n\times n}$ โดยที่ $a_{ij} = \left| i-j\right|$ จงพิสูจน์ว่า

$$det(A) = (-1)^{n-1}(n-1)\times{2^{n-2}}$$


103. กำหนดให้ $x + y +z = a, x^2+y^2+z^2 = b^2$ และ $xy = z^2$ จงหาเงื่อนไขความสัมพันธ์ระหว่าง $a,b$ ที่ทำให้ $x,y,z$ เป็นจำนวนจริงบวก ที่แตกต่างกัน


104. ถ้า $f(1) = 1996$ และ $f(1)+f(2)+...+f(n) = n^2f(n)$ เมื่อ $n > 1$ และ $n \in \mathbf{I}$ จงหา $f(1996)$


105. กำหนดให้ $a \in \mathbf{R}$ และ $x^4-2x^3+x^2+ax+20 = 0$ เป็นสมการพหุนามที่มีรากเป็นจำนวนเต็มบวกซ้ำกันสองราก และรากอีกสองราก ไม่เป็นจำนวนจริง จงหาค่า $a$ ที่เป็นไปได้

จัดรูปให้สวยๆก่อน $(n-1)f(n-1)+f(n) = n^2f(n)$
เมื่อ $n >1$ จะได้ $\frac{f(n)}{f(n-1)}= \frac{n-1}{n+1}$

ถ้า $n=2$ จะได้ $\frac{f(2)}{f(1)}= \frac{1}{3}$
ถ้า $n=3$ จะได้ $\frac{f(3)}{f(2)}= \frac{2}{4}$
.
.
.
ถ้า $n=1996$ จะได้ $\frac{f(1996)}{f(1995)}= \frac{1995}{1997}$

นำมาคูณกันทั้งหมดและแทนค่า $f(1) = 1996$ จะได้ $\dfrac{f(1996)}{1996} = \dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{2}{4} \cdot \dfrac{3}{5} \cdot \dfrac{4}{6} \cdot \cdot \cdot \dfrac{1995}{1997} $
เพราะฉะนั้น $f(1996) = \dfrac{3992}{1997} $

ขอแก้ $a$ ในโจทย์ เป็น $A$ นะครับ
สมมุติให้รากทั้งสี่ของสมการ $x^4-2x^3+x^2+Ax+20 = 0$ คือ $a,a,b+ci,b-ci$

จากทฤษฎีผลบวกผลคูณของราก พิจารณา สัมประสิทธิ์ของ $x^2$ จะได้ว่า $a^2+4ab+b^2+c^2 = 1$
พิจารณา สัมประสิทธิ์หน้า $x^0$ และ $x^3$ จะได้ว่า $a^2(b^2+c^2) = 20$ และ $a+b = 1$ ตามลำดับ

จากนั้นก็แก้สมการ ... จะได้ว่า $a^2+4a(1-a)+\frac{20}{a^2}= 1$
$3a^4-4a^3-20+a^2 = 0$ เห็นได้ชัดเจนว่า $a=2$ เป็นราก
จะได้ $3a^4-4a^3+a^2-20= (a-2)(3a^3+2a^2+5a+10)=0$
เนื่องจากโจทย์กำหนดว่า $a$ เป็นจำนวนเต็มบวก จะได้ $3a^3+2a^2+5a+10 > 0$ เพราะฉะนั้นรากที่สอดคล้องจึงมีเพียง $a=2$ เท่านั้น ทำให้ $b=-1$ และ $c=\pm 2$

เพราะฉะนั้นรากคือ $2,2,-1+2i,-1-2i$
ค่า $A$ ที่เป็นไปได้คือ $-12$

ข้อ 103 กำหนดให้ $x + y +z = a, x^2+y^2+z^2 = b^2$ และ $xy = z^2$ จงหาเงื่อนไขความสัมพันธ์ระหว่าง $a,b$ ที่ทำให้ $x,y,z$ เป็นจำนวนจริงบวก ที่แตกต่างกัน
ผมได้เงื่อนไขว่า $a^2>3b^2$ ไม่มั่นใจเหมือนกันครับ

unsure solution

พิจารณา $x+y+z =a$ เนื่องจาก $x,y,z$ เป็นจำนวนจริงบวกที่แตกต่างกัน และจาก Am-GM inequality

จะได้ $x+y+z > 3\sqrt[3]{xyz}= 3z$ นั่นคือ $a > 3z $ ทำให้ $a^2>9z^2$ ---(1)

พิจารณา $x^2+y^2+z^2 = b^2$ จาก Am-Gm inequality
จะได้ $x^2+y^2+z^2 > xy+yz+zx = z^2+z(x+y) > z^2+2z^2 = 3z^2$ นั่นคือ $b^2 > 3z^2$ --(2)

นำ (1) หารด้วย (2) จะได้ $a^2 > 3b^2$

มาเฉลยข้อ 88 ให้ครับ โจทย์ตอนแรกดูน่ากลัว แต่ทำไปทำมาออกซะงั้น :happy:

ถ้า $x>y$ และ $z>w$ แต่ไม่จำเป็นที่ $\frac{x}{z}>\frac{y}{w}$ นี่ครับ ;)

สังเกตว่า $a^a\times b^b\mid 1^1\times(ab)^{ab}$
จึงได้ว่าถ้าสามารถเขียนจำนวน $a^a\times b^b$ ได้ในรูปของ $k\times 10^{98}$ แล้วจะสามารถเขียน
$(ab)^{ab}$ ในรูปของ $m\times 10^{98}$ สำหรับบางจำนวนเต็ม m
จึงสามารถพิจารณาเพียงคู่อันดับในรูป (1,n) เท่านั้น
ถ้า n<98 จะได้ว่ากำลังสูงสุดของ 10 ที่ไปหาร n คือ 1 ทำให้กำลังสูงสุดของ 10 ที่ไปหาร $n^n$ มีค่า $\le n$ ดังนั้น $10^98\nmid n^n$
ถ้า n=98,99 เห็นได้ชัดว่า $10^{98}\nmid n^n$
จาก $10^{98}\mid 100^{100}$ จึงได้ว่า 100 เป็นค่า n ที่ต่ำที่สุด
จาก $10^{98}\nmid a^a\times b^b$ เมื่อ a>1,ab=100
จึงได้ว่า (1,100),(100,1) เป็นคู่อันดับที่เป็นคำตอบทังหมด

ตรงสีแดงมันได้แค่ว่า $1 < n^{1/2^{n-1}}$ ไม่ใช่เหรอครับ

อ้อ จริงด้วยครับ เบลอไปหน่อย :cry:

ข้อ 103. นะครับ
ถ้าหาก $a=0$ จะได้ $(x,y,z)=(0,0,0) $
ถ้า $a\not= 0$ จะได้ $a^2 = b^2 + 2(xy+yz+zx)$ จะได้ $z=\frac{a^2 - b^2}{2a}$
เเละจะได้ $x+y = a-z = \frac{a^2 + b^2}{2a}$
นั่นคือ $x,y$ เป็นรากของสมการ $t^2 - (\frac{a^2 + b^2}{2a}) + [\frac{a^2 - b^2}{2a}]^2 = 0$
จัดรูปสมการได้ $4a^2t^2 - 2a(a^2+b^2)t+(a^2-b^2)^2=0$
$t=\frac{2a(a^2+b^2)\pm \sqrt{a^2 (3a^2-b^2)(3b^2-a^2)} }{2(4a^2)}$
$t=\frac{(a^2+b^2) \pm \sqrt{(3a^2-b^2)(3b^2-a^2)}}{4a}$

พิจารณาค่า $t$ พบว่าค่า $t$ จะเป็นบวกได้เมื่อ $(3a^2-b^2)(3b^2-a^2)\geqslant 0$ เเละ $a>0$
พิจารณาจาก $z$ จะได้ว่า $z$ จะเป็นบวกได้ก็ต่อเมื่อ $a^2 - b^2 > 0$ นั่นคือ $a^2 > b^2$
เมื่อนำมาพิจารณาร่วมกัน จาก $a^2 > b^2$ ทำให้ $3a^2 -b^2 > 0$ ทำให้ $3b^2 - a^2 >0 $

เมื่อนำมารวมกันจะได้ $3b^2 > a^2 > b^2$ เเละ $a>0$ เป็นเงื่อนไข

ข้อ88. ใช้ Am-Gm นะครับออกแน่นอน

ขั้นแรกกำหนดข้อมูลชุดหนึ่งคือ i จำนวน $2^{n-i}$ สำหรับ i= 2,3,4,5,...,n และ 1 อีก1ตัว

จาก Am-Gm จะได้ว่า
$\sqrt{2\sqrt{3\sqrt{4...\sqrt{(N-1)\sqrt{N}}}}} \leqslant \frac{2(2^{n-2})+3(2^{n-3})+...+(n-1)(2^1)+n+1}{2^{n-1}} = \frac{3(2^{n-1})-(n+1)}{2^{n-1}} < 3$
ครับ

ผมว่า
$\sum_{n = 1}^{100}\frac{n^3 +1}{n^5} > \int_{1}^{100}\frac{x^3 +1}{x^5 }dx$
นะครับถ้าเริ่มอินทริเกรดจาก1 เพราะ $\frac{x^3 +1}{x^5 }$ เป็นฟังก์ชั่นลด ในช่วง x>0 อ่ะครับ
ไม่รู้นะครับไม่มั่นใจเหมือนกัน

อันนั้นผมเข้าใจอะไรบางอย่างผิดไปอะครับ ... ตอนนี้โอเคเเล้ว
เเต่ AM-GM นี่คาดไม่ถึงจริงๆครับ :)

the best solution :great:

ในที่สุดก็ทำได้เเล้วครับ :kiki:
นำสมการเเรกมาลบกับ สามเท่าของสมการที่สองจะได้
$x^3 - 3x^2+3xy^2-24xy-3y^2-49+24y+51x=0$
$(x^3-3x^2+3x-1)+(3xy^2-3y^2)-24xy+24y+51x-49-3x+1=0$
$(x-1)^3 + 3y^2 (x-1) - 24y(x-1) + 48(x-1)=0$
$(x-1)[(x-1)^2 + 3(y-4)^2] = 0$

เเยกกรณีได้ดังนี้
กรณีที่ 1 : $x-1=0$ หรือ $x=1$ เเทนเข้าไปในสมการเเรกจะได้ $y=4,-4$
กรณีที่ 2 : $(x-1)^2 + 3(y-4)^2 = 0$ จะได้ $x=1$ เเละ $y=4$

ดังนั้นคำตอบของระบบสมการคือ $(1,4)$ เเละ $(1,-4) $

ข้อ 102. ผมไปเจอ มันเป็นข้อสอบของ putnam 1969 A2 เเต่ผมอ่านไม่ค่อยเข้าใจตรงบรรทัดก่อนสุดท้ายอะครับ
http://mks.mff.cuni.cz/kalva/putnam/psoln/psol692.html

ตอนแรกเมทริกซ์ $A$ จะมีรูปร่างหน้าตาแบบนี้ครับ

$$\bmatrix{0 & 1 & 2 & 3 & \cdots & n-1 \\
1 & 0 & 1 & 2 & \cdots & n-2 \\
2 & 1 & 0 & 1 & \cdots & n-3 \\
\vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
n-1 & n-2 & n-3 & n-4 & \cdots & 0} $$

พอ Row Operation ทุกอย่างเสร็จ จะกลายเป็นแบบนี้

$$\bmatrix{0 & 2 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\
0 & 0 & 2 & 0 & \cdots & 0 \\
0 & 0 & 0 & 2 & \cdots & 0 \\
\vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
n-1 & n-2 & n-3 & n-4 & \cdots & 0} $$

ดังนั้น หา Determinant โดยใช้วิธี CoFactor จะได้ $(-1)^{n-1}(n-1)$ คูณกับ det ของเมทริกซ์ตัวข้างล่าง

$$\bmatrix{2 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\
0 & 2 & 0 & \cdots & 0 \\
0 & 0 & 2 & \cdots & 0 \\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & 0& \cdots & 2} $$

ซึ่งก็คือ $2^{n-2}$ นั่นเองครับ :happy:

106. จงหาค่าของ

$$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{(3n-2)(3n+2)}$$


107. จงหาค่า $a$ ที่ทำให้ สมการนี้มีคำตอบ และแก้สมการ

$$\sin^2{x} - \sin{x}\cos{x}-2\cos^2{x} = a$$


108.จงหาจำนวนผลเฉลย ที่เป็นจำนวนเต็มบวกของสมการ

$$(x_1+x_2+x_3)^2(y_1+y_2) = 2548$$


109. จงหาค่าของ

$$\sum_{k = 1}^{1273} (\frac{1}{1+\tan^{2548}{(\frac{k\pi}{2548})}})$$


110. จงแก้สมการ

$$\frac{2^x+2^{-x}}{3^x+3^{-x}} = \frac{4^x+4^{-x}}{9^x+9^{-x}}$$


111. จงหาค่าของ

$$\int_{2}^{8} \frac{(x+9)^{14}}{(x+9)^{14}+(x-19)^{14}} \, dx$$


112. กำหนดสามเหลี่ยม $ABC$ ที่มีคุณสมบัติ $6\sin{A} = 4\sin{B} = 3\sin{C}$ จงหา $\cos{C}$


113. จงแก้ระบบสมการ

$$x-4x^2y+y-4xy^2 = \frac{1}{4}$$

$$x^2+y^2 = 1$$


114. กำหนดให้ $a_1 = 1$ และ $a_n = a_{n-1}+\frac{1}{a_{n-1}}$ เมื่อ $n \geq 2$ จงพิสูจน์ว่า $71 < a_{2549} < 88$


115. จงแก้สมการ

$$343x(x+1)(x+2) = 120$$

106. ผมยังทำไม่สุดนะครับ $\frac{1}{4} \int_{0}^{1}\,\frac{x^3+x^2+x+1}{x^2+x+1} dx$


108.เนื่องจาก $2548=2^2\cdot 7^2\cdot 13$

กรณีที่ 1 $x_1+x_2+x_3 = 2$ ไม่มีผลเฉลยเพราะ $x_1+x_2+x_3 \geqslant 3$
กรณีที่ 2 $x_1+x_2+x_3 = 7$ และ $y_1+y_2 = 52$ จะได้จำนวนผลเฉลยคือ $51\binom{6}{4} = 765$
กรณีที่ 3 $x_1+x_2+x_3 = 14$ และ $y_1+y_2 = 13$ จะได้จำนวนผลเฉลยคือ $12\binom{13}{11}= 936$

จำนวนผลเฉลยทั้งหมดคือ $1701$

110. ให้ $2^x=a,3^x=b$ จัดรูปนิดหน่อยจะได้เป็น

$\dfrac{a+\frac{1}{a} }{b+\frac{1}{b}} =\dfrac{(a+\frac{1}{a})^2-2 }{(b+\frac{1}{b})^2-2}$

ให้ $a+\frac{1}{a} = p , b+\frac{1}{b} =q$ จะได้เป็น

$\dfrac{p}{q} = \dfrac{p^2-2}{q^2-2} $

จัดรูปนิดหน่อยจะได้เป็น $(pq+2)(p-q) =0$

กรณีที่ 1 $pq=-2$ เห็นได้ชัดว่า $a,b >0$ เพราะฉะนั้นกรณีนี้จึงไม่มีคำตอบ
กรณีที่ 2 $p=q$ จะได้ว่า $a+\frac{1}{a}= b+\frac{1}{b}$
จัดรูปนิดหน่อยจะได้เป็น $(ab-1)(b-a) =0$
2.1 $ab=1,6^x=1$ จะได้ $x=0$
2.2 $a=b,2^x=3^x$ จะได้ $x=0$ เช่นกัน

$x(x+1)(x+2) = \dfrac{120}{7^3} $ เห็นชัดเจนว่า $x$ ไม่ใช่จำนวนเต็มแน่นอน

สมมุติว่า $x+1$ สามารถเขียนในรูป $\dfrac{A}{7}$

$\dfrac{A-7}{7}(\dfrac{A}{7})(\dfrac{A+7}{7}) = \dfrac{120}{7^3} $

เหลือที่ต้องแก้สมการ $A^3-49A-120=0$

$(A+3)(A+5)(A-8) =0$

$A=-3,-5,8$ $\rightarrow$ $x=\dfrac{1}{7},\dfrac{-10}{7},\dfrac{-12}{7} $

กฎของ $\sin$

$\dfrac{a}{\sin A}=\dfrac{b}{\sin B}=\dfrac{c}{\sin C} $

$6\sin A = 3\sin C$ จะได้ว่า $a=\dfrac{c}{2}$

$4\sin B = 3\sin C$ จะได้ว่า $b=\dfrac{3c}{4}$

กฎของ $\cos$ จะได้ว่า

$c^2=\dfrac{c^2}{4}+\dfrac{9c^2}{16}-\dfrac{3}{4}c^2\cos C$
$\cos C = \dfrac{1}{4}$

เห็นได้ว่า $a_n > 1$ สำหรับจำนวนเต็ม $n\geqslant 2$
จาก $a_n = a_{n-1}+\frac{1}{a_{n-1}}$ ยกกำลังสองจะได้ $a_n^2 = a_{n-1}^2+\frac{1}{a_{n-1}}^2 + 2$

จะได้ $a_{n-1}^2+2 < a_n^2 < a_{n-1}^2+3$
ดังนั้น
$\displaystyle a_1^2 + 2 < a_2^2 < a_1^2 + 3$
$\displaystyle a_2^2 + 2 < a_3^2 < a_2^2 + 3$
$\displaystyle a_3^2 + 2 < a_4^2 < a_3^2 + 3$

ไปเรื่อยๆ จนถึง

$\displaystyle a_{2548}^2 + 2 < a_{2549}^2 < a_1^2 + 3$
รวมทุกอสมการเข้าด้วยกันจะได้
$a_1^2 + 2(2548) < a_{2549}^2 < a_1^2 + 3(2548)$
$5069 < a_{2549}^2 < 7645$
$71.39 < a_{2549} < 87.43$

ดังนั้น $71 < a_{2549} < 88$

สังเกตก่อนว่า
$$\frac{1}{1+\tan^{2548}{(\frac{(1273-k)\pi}{2548})}} = \frac{1}{1+\cot^{2548}{(\frac{k\pi}{2548})}} = \frac{\tan^{2548}{(\frac{k\pi}{2548})}}{1+\tan^{2548}{(\frac{k\pi}{2548})}}$$

จึงได้
$$2\sum_{k = 1}^{1273} (\frac{1}{1+\tan^{2548}{(\frac{k\pi}{2548})}})
= \sum_{k = 1}^{1273}[\frac{1}{1+\tan^{2548}\frac{k\pi}{2548}}+
\frac{tan^2 {\frac{k\pi}{2548}}}{1+tan^2 {\frac{k\pi}{2548}}}] = 1273$$



ดังนั้น $\sum_{k = 1}^{1273} (\frac{1}{1+\tan^{2548}{(\frac{k\pi}{2548})}}) = \frac{1273}{2}$

ตอบกันเร็วไปมั๊ยครับ :p

ไม่เเน่ใจนะครับ จัดรูปจะได้
$$sin^2x-cos^2x-sinxcosx-cos^2x = a$$
$$-cos2x - \frac{1}{2}sin2x - \frac{1}{2}(1+cos2x) = a$$
$$-\frac{1}{2}(3cos2x+sin2x) = a+\frac{1}{2}$$
$$-\frac{\sqrt{10} }{2}(\frac{3}{\sqrt{10}}cos2x+\frac{1}{\sqrt{10}}sin2x) = a+\frac{1}{2}$$
ให้ $sinA = \frac{3}{\sqrt{10}}$
$$sinAcos2x + sin2xcosA = -(a+\frac{1}{2})(\frac{2}{\sqrt{10}}) $$
$$sin(A+2x) = -(a+\frac{1}{2})(\frac{2}{\sqrt{10}})$$
จาก $-1\leqslant sin(A+2x)\leqslant 1$
ดังนั้น $$-1 \leqslant -(a+\frac{1}{2})(\frac{2}{\sqrt{10}}) \leqslant 1$$
$$-\frac{1}{2}(\sqrt{10}+1) \leqslant a \leqslant \frac{1}{2}(\sqrt{10}-1)$$

116. กำหนดให้ $j = \sqrt{-1}$ จงหาพจน์ทั่วไปของ

$$\prod_{k = 0}^{n} (1+(\frac{1+j}{2})^{2^k})$$


117. จงหาค่า $a$ ที่ทำให้ระบบสมการ มีคำตอบ

$$\sin{x}\cos{(2y)} = a^2+1$$

$$\cos{x}\sin{(2y)} = a$$


118. จงเขียนอนุกรม

$$\sum_{k = 0}^{n} \frac{(-1)^k\binom{n}{k}}{k^3+9k^2+26k+24}$$

ในรูปของ $\frac{p(n)}{q(n)}$ โดยที่ $p(n),q(n)$ เป็นพหุนามที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนเต็ม


119. สามเหลี่ยม $ABC$ มี $AD, BE$ และ $CF$ เป็นเส้นมัธยฐาน โดยที่
ด้าน $AD$ อยู่บนเส้นตรง $y = x+3$
ด้าน $BE$ อยู่บนเส้นตรง $y = 2x+4$
ด้าน $AB$ ยาว $60$ หน่วย และ $\hat{C} = 90^{\circ}$ จงหาพื้นที่สามเหลี่ยม $AC$


120. จงแก้ อสมการ $\sqrt{3-x} - \sqrt{x+1} > \frac{1}{2}$

ให้ $S=\prod_{k = 0}^{n} (1+(\frac{1+j}{2})^{2^k})$และ $a=\frac{1+j}{2}$ จะได้ว่า

$$\begin{array}{rcl} \prod_{k = 0}^{n} (1+(\frac{1+j}{2})^{2^k}) & = & \prod_{k = 0}^{n} (1+a^{2^k})\\ & = & \frac{1-a}{1-a}\cdot (1+a)(1+a^2)(1+a^4)...(1+a^{2^n}) \\ &= & \frac{1-a^{2^{n+1}}}{1-a}\end{array} $$

พิจารณา $1-a^{2^{n+1}}$ เมื่อ $n>0$ จะได้ว่า

$$\begin{array}{rcl} 1-a^{2^{n+1}} & = & 1-\left(\, \frac{1}{\sqrt{2}}cis \frac{\pi}{4}\right) ^{2^{n+1}}\\ & = & 1-\left(\,\frac{1}{2}\right)^{2^{n}}cis(2^{n-1}\pi)\\ &=& 1-\frac{1}{2^{2^n}} \end{array} $$

แสดงว่า $$S=\prod_{k = 0}^{n} (1+(\frac{1+j}{2})^{2^k}) =\frac{2^{2^n}-1}{2^{2^{n}+1}}(1+j)$$

ผิดตรงไหนขออภัยด้วยครับ

จับมาบวกกันจะได้ \begin{array}{rcl} \sin{x}\cos{2y}+\cos{x}\sin{2y} & = & 2a^2+1 \\ sin(x+2y) & = & 2a^2+1 \geqslant 1 \end{array}

แต่ $\sin(x+2y) \leqslant 1$ แสดงว่า $\sin(x+2y)=1=2a^2+1$

ดังนั้น $a=0$ เท่านั้น

พิจารณาด้านซ้ายของอสมการ พบว่า $x+1\geqslant 0$ เเละ $3-x\geqslant 0$ จะได้ว่า $-1\leqslant x\leqslant 3 ... (1)$
พิจารณาว่า $\sqrt{3-x} > \sqrt{x+1}$ จะได้ $x<1$ ...(2)
จากโจทย์ พบอีกว่า $\sqrt{3-x} - \sqrt{x+1} > \frac{1}{2}>0$ ยกกำลังสองทั้งสองข้างได้
$$(3-x)+(x+1)-2\sqrt{3-x}\sqrt{x+1} > \frac{1}{4}$$
$$\sqrt{3-x}\sqrt{x+1}<\frac{15}{8}$$
$$(3-x)(x+1)<\frac{225}{64}$$
$$x^2-2x-3+\frac{225}{64}>0$$
$$(x-(1+\frac{\sqrt{31}}{8}))(x-(1-\frac{\sqrt{31}}{8}))>0$$
$x<1-\frac{\sqrt{31}}{8}$ หรือ $x>1+\frac{\sqrt{31}}{8} .... (3)$



จาก (1),(2) เเละ (3) จะได้ว่า $-1\leqslant x<1-\frac{\sqrt{31}}{8}$

ข้อ 118 ผมเคยถามไว้เมื่อ ... ปลายปีที่เเล้วครับ สุดยอดมาก คำตอบคือ $\frac{1}{2(n+3)(n+4)}$
ลองดูจาก link นี้เลยครับ http://www.mathcenter.net/forum/showthread.php?t=17864

บรรทัดแรกทำไม x-1>=0 ครับ

ลองนั่งคิดเเบบจริงๆจังๆเเล้วมันเยอะมากๆๆๆๆๆ เลยลองเปลี่ยนเเนวคิดเป็นมาเลื่อนขนานสมการเส้นตรง 2 เส้นซะก่อนให้มาอยู่ที่ $y=x$ กับ $y=2x$ ก่อน ... เเล้วจะง่ายขึ้นมากๆๆๆๆ

เลื่อนเส้นมัธยฐานเเล้วกำหนดจุด $A(a,a) , B(b,2b)$ จะได้จุด $(0,0)$ เป็นจุด centroid ไปโดยปริยาย ... ทำให้กำหนดจุด C ได้เป็น $C(-a-b,-a-2b)$ (จากสูตรหาจุด centroid เอาสามจุดมาบวกกันหาร 3) เเละได้ว่าพื้นที่สามเหลี่ยมนี้ .. หาจากการตั้ง det ได้เป็น $|\frac{3}{2}(ab)|$

จาก $AB=60$ จะได้
$$(a-b)^2 + (2b-a)^2 = 3600$$
$$2a^2 -6ab+5b^2 = 3600 ... (1)$$

จากที่ AC ตั้งฉากกับ BC
$$(\frac{2a+2b}{2a+b})(\frac{a+4b}{a+2b})=-1$$
$$2a^2 + 5b^2 = -\frac{15}{2}ab$$
เอาไปเเทนใน (1) จะได้ $ab = -\frac{800}{3}$ ทำให้ได้พื้นที่เป็น $|-\frac{3}{2}\cdot \frac{800}{3}| = 400$

เเก้เเล้วครับ ขอบคุณมากครับ .. ผมเมาเเต่บ่ายเลย 55555 :haha:

121. กำหนดสามเหลี่ยม ABC จงพิสูจน์ว่า ถ้า

$$\frac{\sin^2{A} + \sin^2{B}+\sin^2{C}}{\cos^2{A}+\cos^2{B}+\cos^2{C}} = 2$$

แล้ว ABC เป็นสามเหลี่ยมมุมฉาก

122. กำหนดให้ $a,b,c,d \in \mathbf{R}$ ที่ทำให้ $a^6+b^6+c^6+d^6 = 3^6$ จงหาค่าสูงสุดของ

$$(a+\sqrt[6]{13})^6+(b+\sqrt[6]{15})^6+(c+\sqrt[6]{17})^6+(d+\sqrt[6]{19})^6$$

123. จงหาค่า $\lambda$ ที่ทำให้ สมการ
$\lambda x^3-x^2-x-(\lambda+1) = 0$ และ
$\lambda x^2-x-(\lambda+1) = 0$
มีรากเหมือนกัน และจงแก้สมการ

124. จงแก้สมการ

$$(x+1)(x+2)(x+3)(x+4) = (x+5)(x+6)(x+7)(x+8)$$

125. จงแก้ระบบสมการ (ข้อนี้ มีคนเคยโพสท์ไว้นานแล้ว ในบอร์ดนี้ แต่ผมยังไม่เห็นใครโพสท์วิธีทำเลย :nooo: ผมทำไม่ได้ T_T)

$$\frac{1}{\sqrt{1+2x^2}}+\frac{1}{\sqrt{1+2y^2}} = \frac{2}{\sqrt{1+2xy}}$$
$$\sqrt{x(1-2x)}+\sqrt{y(1-2y)} = \frac{2}{9}$$

126. กำหนดให้ $\displaystyle{\frac{m}{n} = 1+\frac{1}{2}+....+
frac{1}{67}}$ เมื่อ $m,n$ เป็นจำนวนเฉพาะ จงพิสูจน์ว่า $3$ หาร $m$ ไม่ลงตัว

127.จงหาจำนวนเต็ม $n$ ที่ทำให้ $n^4+6n^3+11n^2+3n+31$ เป็นกำลังสองสมบูรณ์

128. จงหาเลขตัวสุดท้ายของจำนวน $17^{1996}$

129. กำหนดให้ $ 0< x < \pi$ จงหาค่าต่ำสุุดของ

$$\frac{9x^2\sin^2{x}+4}{x\sin{x}}$$

130. จงแก้สมการ

$$\sqrt{x}+\sqrt[3]{x+7} = \sqrt[4]{x+80}$$

$\because (17,10)=1$

$17^{\phi (10)}\equiv 1(mod10)$

$17^4\equiv 1(mod10)$

$17^{1996}\equiv 1(mod10)$

เลขหลักสุดท้าย คือ 1

$$\frac{(x+1)(x+2)}{(x+5)(x+6)} =\frac{(x+7)(x+8)}{(x+3)(x+4)} $$
$$\frac{x^2+3x+2}{x^2+11x+30} =\frac{x^2+15x+56}{x^2+7x+12} $$
$$1+\frac{-8x-28}{x^2+11x+30} =1+\frac{8x+44}{x^2+7x+12} $$
$$\frac{-2x-7}{x^2+11x+30} =\frac{2x+11}{x^2+7x+12} $$
$$\frac{-2(x+5)+3}{(x+5)(x+6)} =\frac{2(x+4)+3}{(x+3)(x+4)} $$
$$\frac{-2}{x+6}+\frac{3}{(x+5)(x+6)} =\frac{2}{x+3} +\frac{3}{(x+3)(x+4)} $$
$$2(\frac{1}{x+3}+\frac{1}{x+6} )=3(\frac{1}{(x+5)(x+6)}-\frac{1}{(x+3)(x+4)} )$$
$$2(\frac{2x+9}{(x+3)(x+6)} )=3(\frac{(x^2+7x+12)-(x^2+11x+30)}{(x+3)(x+4)(x+5)(x+6)}) $$
$$2(\frac{2x+9}{(x+3)(x+6)}) =3(\frac{-4x-18}{(x+3)(x+4)(x+5)(x+6)} )$$
$$2(2x+9)=-6(\frac{2x+9}{(x+4)(x+5)} )$$
$(Note:x=4.5)$
$$-\frac{1}{3} =\frac{1}{(x+4)(x+5)} $$
$$x^2+9x+20=-3$$
$$x^2+9x+23=0$$
$$x=\frac{-9\pm \sqrt{81-92} }{2}=x=\frac{-9\pm \sqrt{-11} }{2}$$
$\therefore x=4.5$
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _


-------------------------------

วิธีนี้เป็นวิธีของคุณ Rosalynn

จาก $a(a+1)(a+2)(a+3)+1=(a^2+3a+1)^2$

$$((x+1)^2+3(x+1)+1)^2=((x+6)^2+3(x+6)+1)^2$$
$$(x^2+5x+5)^2=(x^2+13x+41)^2$$
$x^2+5x+5=x^2+13x+41$ หรือ $x^2+5x+5=-x^2-13x-41$

$0=8x+36$ หรือ $2x^2+18x+46=0$

$x=-4.5$ หรือ $x^2+9x+23$ (ไม่มีคำตอบในระบบจำนวนจริงตามข้างบน)

$\therefore x=-4.5$

$$(n^2+3n)^2+2n^2+3n+31$$
$$=(n^2+3n)^2+2(n^2+3n)(1)+(-3n+31)$$
$$=(n^2+3n+1)^2$$
$$-3n+31=1 $$
$$\therefore n=10$$

สมการแรกมี 3 ราก สมการสองมี 2 ราก รากเหมือนกันนี่หมายความยังไงหรอครับ

$(1)-(2);\lambda -1=\frac{1}{x}$ ถ้าหา $\lambda $ จากคำถามแรกได้ก็แก้ x ออกมาได้

ค่าของ $xsinx > 0$ เสมอ เมื่อ $ 0< x < \pi$
$$\frac{9x^2\sin^2{x}+4}{x\sin{x}} = 9xsinx + \frac{4}{xsinx} \geqslant 2\sqrt{9xsinx \times \frac{4}{xsinx}} = 12$$

ดังนั้นค่าต่ำสุดเป็น 12 (จากอสมการ AM-GM)

จากที่ $\sin^2{A} + \sin^2{B}+\sin^2{C} + \cos^2{A}+\cos^2{B}+\cos^2{C} = 3$ ทำให้ได้ว่า $\cos^2{A}+\cos^2{B}+\cos^2{C} = 1$
คูณ 2 เข้าไปจะได้
$$2cos^2{A}+2cos^2{B}+2cos^2{C} = 2$$
$$cos2A + cos2B + 2cos^2(A+B) = 0$$
$$2cos(A+B)cos(A-B) + 2cos^2 (A+B) = 0$$
$$cos(A+B)=0 หรือ cos(A-B) + cos(A+B) = 0$$
$$cosC = 0 หรือ 2cosAcosB = 0$$
$$cosC = 0 หรือ cosA = 0 หรือ cosB = 0$$

จะกรณีไหนๆก็ได้ว่ามุมสักมุมเป็นมุมฉาก นั่นคือสามเหลี่ยมนี้เป็นสามเหลี่ยมมุมฉาก

ขอเปลี่ยน $\lambda$ เป็น $a$ เพราะขี้เกียจ :p:p
จากสมการที่ (2) จะได้ $(a+1) = ax^2 - x$ เเทนในสมการที่ (1)
$$ax^3 - x^2 - x - (ax^2-x) = 0$$
$$ax^3 - x^2(a+1) = 0$$
$$x=0 หรือ ax - (a+1) = 0$$
$$x=0 หรือ x=1+\frac{1}{a}$$
ถ้า $x=0$ เเทนกลับไปสมการไหนๆ ก็ได้ $a=-1$ เมื่อลองเเก้สมการก็พบว่ามีรากซ้ำจริง
ถ้า $x=1+\frac{1}{a}$ เเทนกลับสมการที่ (2) จะได้ $2=0$ เป็นไปไม่ได้

ได้เเค่ $a=-1$ -----> $\lambda=-1$