Mathcenter Forum - Fighting for TMO12 !!

อ้างอิง:

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Thgx0312555 (ข้อความที่ 178388)

เดี๋ยวฝากโจทย์ไว้ข้อนึงครับ

จงหาฟังก์ชัน $f: \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}$ ทั้งหมดที่สอดคล้องกับสมการ
$f(1+xy)-f(x+y)=f(x)f(y)$ สำหรับทุก $x,y \in \mathbb{Z}$
และ $f(-1) \neq 0$

เฉลยครับ

แทนค่า $(x,y)$ ด้วย $(-1,x+1)$
$f(-x)-f(x)=f(-1)f(1+x)$
แทนค่า $x$ สมการนี้ ในสมการนี้ด้วย $-x$
$f(x)-f(-x)=f(-1)f(1-x)$
บวกกัน หาร $f(-1)$ ทิ้ง
$f(1+x)+f(1-x)=0$

แทนค่า $(x,y)$ ในสมการเริ่มต้นด้วย $(-1,x)$
$f(1-x)-f(-1+x)=f(-1)f(x)$
จัดรูปใหม่
$-f(x+1)-f(x-1)=f(-1)f(x)$
$f(x+1)=-f(-1)f(x)-f(x-1)$

เห็นได้ไม่ยากว่า $f(0)=-1,f(1)=0$

จากสมการ $f(x+1)=-f(-1)f(x)-f(x-1)$ จะหาค่า $f(2),f(3),f(4),f(5)$ ในรูปของ $f(-1)$ ได้

จากนั้น แทนค่าในสมการเริ่มต้นด้วย $(2,2)$
$f(5)-f(4)=f(2)f(2)$

แก้สมการหา $f(-1)$ ออกมาได้ 2 ค่า ที่เหลือก็แค่ induction จากสมการ $f(x+1)=-f(-1)f(x)-f(x-1)$ ครับ