1. $a=\sin x + \sin y$ และ $b= \cos x + \cos y \quad$ จงหา $\tan \frac{x}{2}, \tan \frac{y}{2}$
2. จงหาค่าของ $\ \cos \frac{2 \pi}{7}$
3. จงหาจำนวนของจำนวนเต็มบวก $n \leqslant 1000$ ที่ทำให้ $ (\sin t+i\cos t)^n =\sin nt+i\cos nt $ เป็นจริง สำหรับ $\forall t\in \mathbb{R} $
4. จงพิสูจน์ว่า $$1< \frac{1}{1001}+\frac{1}{1002}+\frac{1}{1003}...+\frac{1}{3001}< \frac{4}{3}$$

จากอสมการ A.M.-H.M. จะได้ว่า $ (\frac{1}{1001}+\frac{1}{1002}+...+\frac{1}{3001})(1001+1002+...+3001) > 2001^2 $
$ (\frac{1}{1001}+\frac{1}{1002}+...+\frac{1}{3001})(\frac{(2001)(4002)}{2}) >2001^2 $
$ (\frac{1}{1001}+\frac{1}{1002}+...+\frac{1}{3001}) >1 $
จับทีละ 500 ตัว $ (\frac{1}{1001}+\frac{1}{1002}+...+\frac{1}{1500}) < \frac{1}{1000}+\frac{1}{1000}+...+\frac{1}{1000}$
$ L.S. < \frac{500}{1000} = \frac{1}{2} $
$ (\frac{1}{1501}+\frac{1}{1502}+...+\frac{1}{2000})<\frac{500}{1500}=\frac{1}{3}$
$(\frac{1}{2001}+\frac{1}{2002}+...+\frac{1}{2500})< \frac{500}{2000}= \frac{1}{4}$
$ (\frac{1}{2501}+\frac{1}{2502}+...+\frac{1}{3000}) <\frac{500}{2500} =\frac{1}{5}$
$\because \frac{1}{3001} <\frac{1}{3000}$

จะได้ว่า $(\frac{1}{1001}+\frac{1}{1002}+...+\frac{1}{3001})<\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\frac{1}{3000}$
$ L.S. <\frac{3851}{3000} <\frac{4000}{3000}=\frac{4}{3} $

$ \sin t+i\cos t =\cos (\frac{\pi}{2}-t)+i\sin (\frac{\pi}{2}-t)$
จะได้
$\begin{array}{cl} & (\sin t+i\cos t)^n \\ = & (\cos (\frac{\pi}{2}-t)+i\sin (\frac{\pi}{2}-t))^n \\ = & \cos (\frac{n\pi}{2}-nt)+i\sin (\frac{n\pi}{2}-nt)\\ = & \sin (\frac{(1-n)\pi}{2}+nt)+i\cos (\frac{(1-n)\pi}{2}+nt) \end{array} $
$\therefore \sin(\frac{(1-n)\pi}{2}+nt)=\sin nt$ และ $\cos(\frac{(1-n)\pi}{2}+nt)=\cos nt$
แต่ $\sin , \cos$ มีคาบ $2\pi$
$\therefore \frac{(1-n)\pi}{2} = 2k\pi$ สำหรับบาง $k\in\mathbb{Z}$
จะได้ $n\equiv 1 (mod 4)$ และได้ว่ามีจำนวนเต็มบวก $n \leqslant 1000$ ที่ทำให้ $ (\sin t+i\cos t)^n =\sin nt+i\cos nt $ เป็นจริงสำหรับ $\forall t\in \mathbb{R} $ ทั้งหมด $250$ จำนวน

อีกข้อแล้วกันครับ (ข้อสอบเก่า)
สำหรับจำนวนเชิงซ้อน $z,w$ ใดๆ จงแสดงว่า $$(\left|\,z\right|+\left|\,w\right|)\left|\,\frac{z}{\left|\,z\right|}+\frac{w}{\left|\,w\right| } \right| \leqslant 2\left|\,z+w\right| $$
ปล.ผมก็ยังทำไม่ได้ครับ

Hint : ใช้รูปเชิงขั้ว แล้วจัดรูปเป็น SOS

ทำเล่นๆคลายครียด
 

Problem from a book.

warm your brain!!!
 

Problem are not hard but do for warm up.

ทำได้แล้วบอกด้วย

1. แก้สมการตัวแปรเดียวธรรมดาครับ
2. P(7)+5+P(-7)+5=0
3. แยกเคส ทั้งสามตัวมากกว่าศูนย์ มีสองตัวมากกว่าศูนย์ ...

อีกสัก2ข้อครับ
 

ไม่น่าจะยากนะครับ

Bonus
 

Geometry problem

Given $a^4+a^3+a^2+a+1=0$ Find the value of $a^{2000}+a^{2010}+1$
วิธีทำ จาก $a^4+a^3+a^2+a+1=0$ จะได้ $(a^4+a^3+a^2+a+1)(a-1)=0$
$\therefore a^5-1=0$ ดังนั้น $a^5=1$ จึงได้ $a^{2000}=(a^5)^{400}=1$ และ $a^{2010}=(a^5)^{402}=1$
ดังนั้น $a^{2000}+a^{2010}+1=1+1+1=3$

Attachment 13784
$(x^2-x-1)^n = a_{2n}x^{2n}+a_{2n-1}x^{2n-1}+\cdots+a_1x+a_0$

$(1^2-1-1)^n = (-1)^n = a_{2n}+a_{2n-1}+\cdots+a_1+a_0$
$((-1)^2-(-1)-1)^n = 1 = a_{2n}-a_{2n-1}+\cdots-a_1+a_0$

$a_{2n}+a_{2n-2}+\cdots+a_0 = (-1)^n+1$

จงแสดงว่าไม่มีจำนวนเต็มบวก n ที่

$1000^n-1 | 1978^n-1$

ช่วยทีครับ