85. เนื่องจาก $1 = \sqrt{f(x)}\cdot\dfrac{1}{\sqrt{f(x)}}$ ทุกค่า $x\in[0,1]$
โดยอสมการโคชีเราจะได้ว่า $$1=\int_0^1\sqrt{f(x)}\cdot\dfrac{1}{\sqrt{f(x)}} \, dx \leq \Big(\int_0^1f(x)\, dx\Big)^{1/2}\Big(\int_0^1\frac{1}{f(x)}\, dx\Big)^{1/2}$$ ยกกำลังสองทั้งสองข้างก็จบครับ:yum: ป.ล. ข้อ 84 สามารถใช้เทคนิคการอินทิเกรตธรรมดาครับ แต่ไม่แน่ใจว่าจะต้องใช้ residue มาช่วยด้วยรึเปล่าครับ ผมลืมไปแล้วครับ แต่เดี๋ยวจะไปรื้อเฉลยมาให้ |
จริงด้วยนะครับลืมไปสนิทเลยครับว่าใช้โคชีกับอินทิเกรตได้ด้วยเจ๋งจริงๆครับ:kiki:
|
Simplify $\frac{\sin^4 2\theta}{(\sin^5 \theta + \cos^5 \theta)^2} $ cleverly and use $ u= \cot \theta$ or $ \tan \theta$ |
ข้อ83ตอบ $\dfrac{16}{25}\ln 2$ หรือเปล่าครับถ้าใช่พรุ่งนี้จะเอาวิธีลงครับ:kiki:
|
ถูกแล้วครับ น้อง timestopper :great:
|
ขอโพสต์ซักข้อ ... เคยโพสต์ในกระทู้ Calculus minimarathon แต่คิดว่าหินไปหน่อย ก็เลยยังไม่มีใครเฉลย
$86.$ จงพิสูจน์ว่า $\int_0^{\pi} (1-\sin\alpha \cos\theta)^n d\theta = (\cos\alpha)^{2n+1} \int_0^{\pi} \frac{d\theta}{(1-\sin\alpha \cos\theta)^{n+1}}$ . |
$\displaystyle{\frac{\sin^42\theta}{\left(\sin^5\theta+\cos^5\theta\right)^2}=16\frac{(\sin\theta\cos\theta)^4}{(1+\sin 2\theta)\left(\sin^4\theta-\sin^3\theta\cos\theta+\sin^2\theta\cos^2\theta-\sin\theta\cos^3\theta+\cos^4\theta\right)^2}}$
$\displaystyle{\frac{\sin^42\theta}{\left(\sin^5\theta+\cos^5\theta\right)^2}=\frac{16}{(1+\sin 2\theta)\left(\tan^2\theta-\tan\theta+1-\cot\theta+\cot^2\theta\right)^2}}$ So $\displaystyle{\displaystyle{\int_0^\frac{\pi}{4}\frac{\ln\cot\theta}{(\sin^5\theta +\cos^5\theta)^2}\sin^42\theta d\theta}=16\int_0^\frac{\pi}{4}\frac{\ln\cot\theta d\theta}{(1+\sin 2\theta)\left(\tan^2\theta-\tan\theta+1-\cot\theta+\cot^2\theta\right)^2}}$ After substitute $u=\cot\theta$ we gonna get $\displaystyle{\int_1^\infty\frac{u^4\ln u}{\left(1+u^5\right)^2}du}$, then continue with by parts method... $\displaystyle{\int_1^\infty\frac{u^4\ln u}{\left(1+u^5\right)^2}du=\frac{16}{5}\left(-\left[\frac{\ln u}{1+u^5}\right]_1^\infty+\int_1^\infty\frac{du}{u\left(1+u^5\right)}\right)=\frac{16}{5}\int_1^\infty\frac{du}{u\left(1+u^5\right)}}$ But my sense tell me that $\displaystyle{\frac{1}{u\left(1+u^5\right)}=\frac{1}{u}-\frac{1}{5}\left(\frac{1}{1+u}+\frac{4u^3-3u^2+2u-1}{u^4-u^3+u^2-u+1}\right)}$ Finally the answer come out...$\displaystyle{\frac{16}{5}\int_1^\infty\frac{du}{u\left(1+u^5\right)}=\frac{16}{25}\left[\ln\left(\frac{u^5}{1+u^5}\right)\right]_1^\infty=\frac{16}{25}\ln 2}$:sung: โจทย์ "Medium level" ของพี่ passer-by นี่ผมใช้เวลาตั้งครึ่งเดือนนะครับเนี่ย:p |
น้อง Timestopper_STG ทำครึ่งเดือน ถ้าพี่คงทำทั้งชีวิตครับ เพราะไม่กะจะคิด 555
|
อ้างอิง:
จริงๆจะอินทิเกรตตัวนี้ ก็ให้ $ v= u^5+1$ แล้วจะกลายเป็น $$ \frac{1}{5}\int \frac{1}{v(v-1)} \,\, dv $$ แต่ก็ต้องขอบใจน้อง timestopper ที่อุตส่าห์เสียเวลานั่งคิดข้อนี้นะครับ :great: |
อ่อครับจริงด้วย แต่จริงๆแล้วผมไปทำตอนแรกผิดวิธีครับเลยไม่ใกล้คำตอบสักที:p
|
87. ให้ $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ เป็นฟังก์ชันเพิ่ม และให้ $a_n,n=1,2,3,...$ แทนลำดับ $\dfrac{f(n)}{n}$ จงพิสูจน์ว่า
ถ้า $\displaystyle{\lim_{n\to\infty}a_n=a}$ แล้ว $\displaystyle{\lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{x}=a}$ |
ผมลองทำดูนะครับไม่รู้ว่าถูกไหม ผิดยังไงก็บอกนะครับผม
We will prove the contrapositive of this statement instead. Assume that $\lim_{x\rightarrow \infty} \frac{f(x)}{x} \neq a$. Then there exists $\epsilon >0 $ for any $M >0$ such that if $x > M$ and $\left| \frac{f(x)}{x} - a \right| \geq \epsilon$. Hence, we can see that there exists $\epsilon >0$, for any $M > 0$ such that for any $n\in \mathbb{N}$, if $n > M$ and $\left| \frac{f(n)}{n} - a \right| \geq \epsilon$. This implies $\lim_{n\rightarrow \infty} a_n \neq a.$ The proof is finished. |
เท่าที่อ่านดูเหมือนกับว่าวิธีของน้อง Magpie ใช้ได้กับทุกฟังก์ชันเลยครับ ซึ่งไม่จริง ยกตัวอย่างเช่น $f(x)=x\sin{\pi x}$ จะเห็นว่า $a_n=0$ ทุกค่า $n$ แต่ $\displaystyle{\lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{x}}$ หาค่าไม่ได้ แต่ก็ยังหาจุดผิดไม่เจออยู่ดีครับ คงเป็นเรื่องของการตีความนิยามนี่แหละครับ:unsure:
|
งืมมม นั่นสิครับ ผิดตรงไหนหนอ?? ผมเข้าใจอะไรผิดรึเปล่าครับ พี่ nooonuii โปรดชี้แนะ
|
อ้างอิง:
นิเสธจริงๆ น่าจะเป็นอย่างนี้นะครับ there exists $\epsilon_0 >0 $ such that for any $M >0$ , we can find $x > M$ with $\left| \frac{f(x)}{x} - a \right| \geq \epsilon_0$. |
เวลาที่แสดงทั้งหมด เป็นเวลาที่ประเทศไทย (GMT +7) ขณะนี้เป็นเวลา 10:09 |
Powered by vBulletin® Copyright ©2000 - 2024, Jelsoft Enterprises Ltd.
Modified by Jetsada Karnpracha