Oh So How to solve that problem??? please Hint^0^

P.S.I already change solution of problem 15 krub please check

ถ้า $p\neq 5$ ใช้ Euler Theorem กับ Fermat's Little Theorem พิสูจน์ว่า $6\equiv 0\pmod p$

Solution:
$p\neq 5$-->$(5,p)=1$
$5^{\phi (p^{2})} \equiv 1 \pmod{p^{2}}$
$5^{p^{2}-p} \equiv 1 \pmod{p^{2}}$
$5^{p^{2}}+1 \equiv 5^{p}+1 \equiv 0 \pmod{p^{2}}$
$p^{2}k =5^{p}+1,k \in \mathbb{N}---(*)$

$\because p \in \mathbb{P}$
$5^{p-1} \equiv 1 \pmod{p}$
$5^{p} \equiv 5 \pmod{p}$--->$p \neq 2$
$5^{p}=pm+5,m \in \mathbb{N}---(**)$

from$(*),(**)$
$6=p(pk-m)$
given $pk-m = r,r \in \mathbb{N}$
$pr=6$
$\therefore p =3$

บรรทัด (?) มาได้ยังไงครับ :confused:

ปล. ยังมีอีก case นึงที่ยังไม่ได้พิจารณานะครับ ($p=?$)

อีกวิธีนึงนะครับ
P. จงหาจำนวนเฉพาะ p ทั้งหมด ซึ่ง $5^{p^2}+1\equiv 0 (mod p^2)$
พิจารณาอย่างกว้างก่อนว่า $5^{p^2}+1\equiv 0 (mod p)$
เราทราบอยู่แล้วว่า p=5 ไม่ใช่คำตอบ และ $5^{p-1}\equiv1 (mod p)$
เนื่องจาก $5^{p^2}+1 = 5(5^{p-1})^{p+1}+1\equiv 5(1)+1=6 (mod p)$
จึงได้ว่า $6 \equiv 0 (mod p)$ ซึ่งก็คือ p = 2 หรือ 3
แต่ $5^{2^2}+1=5^4+1=626\equiv2 (mod 2^2)$
และ $5^{3^2}+1=5^9+1=5^3(5^6)+1\equiv5^3+1=126\equiv0 (mod 3^2)$
ดังนั้น p = 3 เท่านั้น #