เเยกตัวประกอบ 9350. เนื่องจาก a^2 หาร a^91 ลงตัว เเล้วก้หาตัวที่กำลังสองเเล้วยังเปน ตปก ของ 9350 อยู่ครับ

ถ้า เปน จนเต็ม ก้มีเเค่ 1 กับ 5 ใช่มั้ยครับ

จงพิสูจน์ nesbitt inequality ด้วย rearrangement

อีกข้อนะคับ ถ้ามีอยู่ เลขเริ่มต้น คือ n เเล้วเเบ่ง n เป็นสองจน คือ a กับ b ซึ่ง บวกกันได้ n นำจนที่เเบ่งเเล้ว มาคูณกัน เเล้ว เเบ่ง a กับ b ต่อจน สุดที่ 1 นำผลคูณทั้งหมดมาบวกกัน จะได้ว่าเลขนั้นเป็นเท่าไหร่

วิธีพิสูจน์ Nesbitt จาก
$$\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{a+c}+\dfrac{c}{a+b}\ge\dfrac{a}{a+b}+\dfrac{b}{b+c}+\dfrac{c}{c+a}$$ $$\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{a+c}+\dfrac{c}{a+b}\ge\dfrac{b}{a+b}+\dfrac{c}{b+c}+\dfrac{a}{c+a}$$ บวกกันจะได้ Nesbitt

ข้อต่อมา เรา claim ว่าคำตอบคือ $\dfrac{n(n-1)}{2}$ จะพิสูจน์โดยการ induction ขั้นฐานตรวจสอบได้ไม่ยาก ให้เลขทั้ง 2 ตัวที่ถูกแบ่งคือ $a,b$ จะได้ว่า ผลบวกของผลคูณทั้งหมดมีค่า
$$ab+\dfrac{a(a-1)}{2}+\dfrac{b(b-1)}{2}=\dfrac{a^2+2ab+b^2-a-b}{2}=\dfrac{(a+b)(a+b-1)}{2}=\dfrac{n(n-1)}{2}$$

ตามนั้นครับ เเต่ข้อที่ใช้ induction ถ้ามองดีๆ มันเปน มี n ชิ้น เลือกมา2 นะคับผม

ลองพิสูจน์ nesbitt ด้วยการจัดรูปธรรมดา

a^3+b^3+c^3=10^k+40 จงหาจำนวนเต็มบวก a b c k ทั้งหมด

เช็ค mod หรือเปล่าคับ

ใช่ครับ แต่ข้อนี้ไม่มีคำตอบ555

อ่อ คับผม 5555 จงพิสูจน์ว่าใน 10 คนจะมี 3 คนที่รู้จักกัน หรือ 4 คนที่ไม่รู้จักกันเลย

Nesbitt จัดรูปธรรมดามี 2 แบบครับ

แบบแรก ให้ $2x=b+c,2y=c+a,2z=a+b$ จะได้ว่า $a=y+z-x, b=z+x-y, c=x+y-z$ นั่นคืออสมการ Nesbitt กลายเป็น$$\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}+\dfrac{x}{z}+\dfrac{z}{x}+\dfrac{y}{z}+\dfrac{z}{y}\ge 6$$ ซึ่งสมมูลกับ $$\left(\sqrt{\dfrac{x}{y}}-\sqrt{\dfrac{y}{x}}\right)^2+\left(\sqrt{\dfrac{x}{z}}-\sqrt{\dfrac{z}{x}}\right)^2+\left(\sqrt{\dfrac{z}{y}}-\sqrt{\dfrac{y}{z}}\right)^2\ge 0$$
แบบที่สอง เอา $(a+b)(b+c)(c+a)$ คูณทั้งสองข้างแล้วกระจาย (ทำเอง) อสมการกลายเป็น
$$2(a^3+b^3+c^3)\ge a^2b+b^2a+b^2c+c^2b+a^2c+c^2a$$ ซึ่งสมมูลกับ $$(a+b)(a-b)^2+(b+c)(b-c)^2+(c+a)(c-a)^2\ge 0$$

ลองเขียนเป็นภาษา formal สิครับ
อย่างเช่นเราจะเขียนจุด $n$ จุดโดยให้แต่ละจุดแทนของแต่ละชิ้นตามลำดับ จากนั้นในแต่ละครั้งที่ของสองชิ้นใดๆถูกแยกออกจากกันเราจะลากเส้นระหว่างสองจุดนั้น จำนวนเส้นจะเท่ากับผลคูณของกองที่แยกพอดี เนื่องจากของสองชิ้นใดๆถูกแยกกัน 1 ครั้งพอดี กราฟที่ได้จึงเป็น complete graph หรือเป็นกราฟที่มีเส้น $\binom{n}{2}$ เส้นครับ

แบบนี้ก็ได้ครับ

$\sum\frac{a}{b+c} = \frac{3}{2}+\frac{1}{2}\sum\frac{(a-b)^2}{(a+c)(b+c)}$