ข้อ 85.
$sin2n\alpha +sin2n\beta+sin2n\gamma$ $= 2sinn(\alpha+\beta)cos\frac{2n\alpha - 2n\beta}{2} + 2sinn\gamma cosn\gamma$ $= 2sinn(n\pi - n\gamma)cosn(\alpha - \beta) + 2sinn\gamma cosn\gamma$ $= (-1)^{n+1}2sinn\gamma cosn(\alpha-\beta) +2sinn\gamma cosn(\alpha+\beta)(-1)^n$ $= (-1)^n 2sinn\gamma[-cosn(\alpha-\beta)+cosn(\alpha+\beta)]$ $= (-1)^n 2sinn\gamma[-2sinn\alpha sinn\beta]$ $= (-1)^{n+1}4sinn\alpha sinn\beta sinn\gamma$ |
อ้างอิง:
$=2sinn(A+B)cosn(A-B)+2sin(nC)cos(nC)$ $=2sinn(\pi-C)cosn(A-B)+2sin(nC)cosn(\pi-(A+B))$ $=2[sinn(\pi)cosn(C)-sinn(C)cosn(\pi )]cosn(A-B)+2sin(nC)[cosn(\pi)cosn(A+B)+sinn(\pi)sinn(A+B)]$ $=-2[sinn(C)(-1)^n]cosn(A-B)+2sin(nC)[(-1)^ncosn(A+B)]$ $=(-1)^n[-2sinn(C)cosn(A-B)+2sin(nC)cosn(A+B)]$ $=(-1)^n(-1)2sin(nC)[cosn(A-B)-cosn(A+B)]$ $=(-1)^n(-1)2sin(nC)[2sin(nB)sin(nA)]$ $=(-1)^{n+1}(4)sin(nA)sin(nB)sin(nC)$ มึนนิดๆครับไม่รุว่ายุบตรงไหนพลาดรึป่าว |
ข้อ 82 ลองให้ $x=\tan A , y=\tan B , z=tan C$ โดยที่ $0 \leqslant A,B,C \leqslant \frac{\pi}{2}$
จะได้ว่า $\tan A + \tan B + \tan C = \tan A \tan B \tan C \leftrightarrow A+B+C = \pi$ และจะได้ว่าโจทย์ก็คือ หาค่าสูงสุดของ $\cos A + \cos B + \cos C$ โดยมีเงื่อนไขตามข้างต้น จาก $\frac{d^2}{dx^2}\cos x \leqslant 0$ เมื่อ $0 \leqslant x \leqslant \frac{\pi}{2}$ $\therefore \cos x$ เป็น concave function เมื่อ $x$ อยู่ในช่วง $[0,\frac{\pi}{2}]$ $\therefore \cos A +\cos B+\cos C \leqslant 3\cos (\frac{A+B+C}{3})=\frac{3}{2}$ จาก Jensen's Inequality ดังนั้น ค่าสูงสุดของ $\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}+\frac{1}{\sqrt{1+y^2}}+\frac{1}{\sqrt{1+z^2}}$ เมื่อ $x+y+z=xyz$ คือ $\frac{3}{2}$ ค่าสูงสุดเกิดเมื่อ $x=y=z=\tan \frac{\pi}{3}=\sqrt{3}$ Q.E.D. :happy: |
86. กำหนดให้ $\displaystyle{\frac{((3!)!)!}{3!} = k\cdot n!}$ เมื่อ $k,n \in \mathbf{Z}^+$ และ $n$ มีค่ามากที่สุดเท่าที่เป็นไปได้ จงหาค่าของ $k+n$
87. จงพิสูจน์ว่าสมการ $(\sin{x}+\sqrt{3}\cos{x})\sin{4x} = 2$ ไม่มีคำตอบ 88. จงพิสูจน์ว่า ในทุกๆจำนวนนับ $N$ $$\sqrt{2\sqrt{3\sqrt{4...\sqrt{(N-1)\sqrt{N}}}}} < 3$$ 89. จงพิสูจน์ว่า $$\sum_{n=1}^{100}\frac{n^3+1}{n^5+1} < 2$$ 90. จงหารากทั้งหมดของ $$x^7-2x^6+x^5-x^4-x^3-2x^2+x-2=0$$ |
ข้อ 7. $x^7-2x^6+x^5-x^4-x^3-2x^2+x-2=0$
ลองเเยกตัวประกอบดูจะได้ $(x-2)(x^2-x+1)(x^4+x^3+x^2+x+1)=0$ $x=2,\frac{1\pm \sqrt{3}i}{2},\frac{\sqrt{5}-1}{4}\pm\frac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{4}i,\frac{-\sqrt{5}-1}{4}\pm\frac{\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{4}i$ |
86. $\frac{(6!)!}{3!}=\frac{720!}{6}=120\times719!$
$k+n=839$ |
87. จัดรูปของสมการจะได้ $2sin(x+60^\circ)sin(4x)=2$
นั่นหมายความว่าสมการจะมีคำตอบก็ต่อเมื่อ กรณีที่ 1 $sin(x+60^\circ)=1$ เเละ $sin(4x)=1$ พร้อมกัน จาก $sin(x+60^\circ)=1$ จะได้ $x=30^\circ + k(360^\circ)$ เมื่อ $k$ เป็นจำนวนเต็ม จะได้ $x$ เป็นองศาของจำนวนเต็ม จาก $sin(4x)=1$ จะได้ $x=22.5^\circ + m(90^\circ)$ เมื่อ $m$ เป็นจำนวนเต็ม จะได้ $x$ ไม่เป็นองศาของจำนวนเต็ม ทำให้ได้ว่าสมการไม่มีคำตอบ กรณีที่ 2 $sin(x+60^\circ)=-1$ เเละ $sin(4x)=-1$ พร้อมกัน จาก $sin(x+60^\circ)=-1$ จะได้ $x=210^\circ + k(360^\circ)$ เมื่อ $k$ เป็นจำนวนเต็ม จะได้ $x$ เป็นองศาของจำนวนเต็ม จาก $sin(4x)=-1$ จะได้ $x=67.5^\circ + m(90^\circ)$ เมื่อ $m$ เป็นจำนวนเต็ม จะได้ $x$ ไม่เป็นองศาของจำนวนเต็ม ทำให้ได้ว่าสมการไม่มีคำตอบ (อธิบายเอาง่ายไปหน่อย ได้ไหมครับเเบบนี้ ? :p) |
อ้างอิง:
|
ข้อ 89. ผมคิดมั่วๆออกมาเเบบนี้นะครับ
$\sum_{n = 1}^{100}\frac{n^3 +1}{n^5 +1} < \sum_{n = 1}^{100}\frac{n^3 +1}{n^5} < \int_{1}^{100}\frac{x^3 +1}{x^5 }dx = A$ อินทิเกรตหาค่า $A$ ออกมาได้ $A = \frac{5}{4} - \frac{1}{100}-\frac{1}{4 \times 100^4} < 2$ ดังนั้น $\sum_{n = 1}^{100}\frac{n^3 +1}{n^5 +1} < 2$ เเปลกๆ !!! :died::confused: |
อ้างอิง:
|
อ่า ไม่ค่อยเข้าใจเท่าไรอะครับ คุณ Innoxent
|
อ่อ คือประเด็นมันอยู่ที่บรรทัดนี้ครับ :
$$\int_{N}^{M+1}f(x) dx \leq\sum_{n=N}^M f(n)\leq f(N)+\int_N^Mf(x) dx$$ ดังนั้น จากที่คุณคิดมาตอนแรก $$\sum_{n=1}^{100}\frac{n^3+1}{n^5+1} < \sum_{n=1}^{100}\frac{n^3+1}{n^5} < \int_{1}^{100}\frac{x^3+1}{x^5} dx$$ ถ้าอ้างจาก ข้างบน ส่วนท้ายมันควรจะเป็นแบบนี้นะครับ $$\sum_{n=1}^{100}\frac{n^3+1}{n^5+1} < \sum_{n=1}^{100}\frac{n^3+1}{n^5} \leq \frac{n^3+1}{n^5}\left|_{n=1}\,\right. +\int_{1}^{100}\frac{x^3+1}{x^5} dx \approx 3.24$$ |
อ๋อ โอเคครับ ขอบคุณมากครับ
|
อ้างอิง:
|
อ้างอิง:
$\displaystyle \sum_{n=1}^{100}\frac{n^3+1}{n^5+1}=1+\sum_{n=2}^{100}\frac{n^3+1}{n^5+1}\leq 1+\sum_{n=2}^{100}\frac{1}{n(n-1)}=2-\dfrac{1}{100}$ |
เวลาที่แสดงทั้งหมด เป็นเวลาที่ประเทศไทย (GMT +7) ขณะนี้เป็นเวลา 05:27 |
Powered by vBulletin® Copyright ©2000 - 2024, Jelsoft Enterprises Ltd.
Modified by Jetsada Karnpracha