|
#110
ลองดู zsigmondy Theorem ครับ Hint แต่ละข้อนะครับ 1. ตาม #109 ครับ (ข้อนี้ IMO 2006/1 ครับ) 2.แก้โจทย์เป็นระยะทางดังกล่าวเดคาเมตรครับ 4.เส้นผมบังภูเขาครับ แต่ละข้าง $f$ ซ้อนกันกี่ทีครับ :D 5.ให้ $a_i=(x-x_i)$ โดยที่ $x_i$ เป็นรากครับ แล้วก็ใช้สมบัติการดิฟนิดหน่อย (?) 6.คิดว่ามันเวอร์รึเปล่าครับ :D (อสมการในรูปนี้เรียกว่า Shapiro's Inequality ครับ) |
เรขาข้อ 1 ใช้อันนี้ก็ได้ครับคือแสดงว่า $AI$ ผ่านศูนย์กลางวงกลมล้อมรอบ $BPIC$
และเราจะได้ว่า จุด $P$ ใดๆบนวงกลม ความยาว $AP$ จะสุ้นที่สุดเมื่อ $P,I$ เป็นจุดเดียวกัน ป.ล. คำใบ้ของ ความรู้ยังอ่อนด้อย เป็นคำใบ้ที่สวยงามมากครับ |
ผมก็ยังทำโจทย์ของคุณ Beatmania ได้ไม่หมดนะครับ อยากลงโจทย์ (ทำไม่ได้ 55)
1. ถ้า n เป็นจำนวนคี่บวกจงแสดงว่า ตัวประกอบเฉพาะทุกตัวของ $2^n-1$ อยู่ในรูป $8k \pm 1$ 2. พิสูจน์ว่ามี n เป็นจำนวนอนันต์ที่ $n^2+1$ มี prime divior มากกว่า $2n+\sqrt{2n}$ |
Friendlander Iwaniec Theorem ได้กล่าวไว้ว่า... มี Prime ในรูป $a^2+b^4$ เป็นจำนวนอนันต์ ครับ :) |
อ้างอิง:
proof that there exist $p_1,p_2,...,p_{k-1}$ such that $3p_1p_2 \cdots p_{k-1} \ | \ 2^{3^k}+1$ โดยอุปนัยจะพิสูจน์ข้อความดังกล่าว ขั้นฐานเห็นได้ชัดว่าจริง ขั้นอุปนัย สมมติว่ามี $p_1,p_2,...,p_{k-1}$ such that $3p_1p_2 \cdots p_{k-1} \ | \ 2^{3^k}+1$ พิจารณา $\gcd(2^{3^k}+1,2^{2\cdot3^k}-2^{3^k}+1)=3$ , $9 \ | \ 2^{3^k}+1$ และ $2^{2\cdot3^k}-2^{3^k}+1 > 3$ จะมี $p \not\in \left\{ 3,p_1,p_2,...,p_{k-1} \right\}$ such $p \ | \ 2^{2\cdot3^k}-2^{3^k}+1$ $\therefore 3p_1p_2 \cdots p_{k-1}p \ | \ 2^{3^{k+1}}+1$ which complete the inductive step เลือก $n = 3^kp_1p_2\cdots p_{24}$ ครบตามที่กำหนดครับ |
คอมบิซักข้อครับ
จงหาจำนวนวิธีเรียงสับเปลี่ยนเลข$9$ตัวจาก{$1,2,3,...,9$}โดยที่จำนวนติดกันเพียง$2$คู่เท่านั้น ตัวอย่าง $12598$.... หรือ$123$....เท่านั้นครับ |
มาเพิ่มโจทย์ครับ
1.จำนวนนับ$n$โดย$2n+1$และ$3n+1$เป็น$perfect square$ พิสูจน์ว่า$40|n$ 2.$AB=12,BC=13,CA=15$,$M$อยู่บน$AC$โดนวงกลมแนบในสามเหลี่ยมABM,BCMมีรัศมีเท่ากัน หาค่า$AM/CM$ 3.หาจำนวนเฉพาะ$p,q$สอดคล้องกับ$p^3-q^5=(p+q)^2$ 4.พิสูจน์ว่าทุกจำนวนนับ$n$ต้องมีจำนวนนับ$m$ซึ่งหลักสุดท้ายของ$m^3$เป็นเลข$8$ทั้งหมด |
#118 ข้อ4 n,m เกี่ยวอะไรกันหรอครับ
ข้อ 3 ไม่ใช่q^3 หรอ |
มาเติมโจทย์อสมการครับ
และGeo ลากจุด $A$ มาสัมผัสวงกลมๆหนึ่ง ที่จุด $B,C$ จากนั้นต่อ BC (ไปทางจุด B,C ก็ได้) ไปถึงจุด $Q$ แล้วลากเส้นสัมผัสทั้งสองเส้น ที่จุด X,Y จงแสดงว่า $A,X,Y conllinear$ |
weight am-gm
|
อ้างอิง:
$$\sum_{cyc} \frac{ab}{a^5+b^5+ab} = \sum_{cyc} \frac{1}{\frac{a^4}{b}+\frac{b^4}{a} +1} \le \sum_{cyc} \frac{1}{a^2b+b^2a+1}= \sum_{cyc} \frac{1}{a^2b+b^2a+abc}=\sum_{cyc} \frac{c}{a+b+c}=1$$ |
อ้างอิง:
จาก $Muirhead [(5,0)] \geqslant [(4,1)]$ ดังนั้น $a^5+b^5 \geqslant a^4b+b^4a$ $LHS = \therefore \sum_{cyc} \dfrac{ab}{a^5+b^5+ab} \leqslant \sum_{cyc} \dfrac{ab}{a^4b+b^4a+ab} = \sum_{cyc} \dfrac{ab}{ab(a^3+b^3+1)} = \sum_{cyc} \dfrac{1}{a^3+b^3+abc}$ จาก $Muirhead [(3,0)] \geqslant [(2,1)]$ $\sum_{cyc} \dfrac{1}{a^3+b^3+abc} \leqslant \sum_{cyc} \dfrac{1}{a^2b+ab^2+abc} = \sum_{cyc} \dfrac{abc}{ab(a+b+c)} = \sum_{cyc} \dfrac{c}{a+b+c} = 1$ |
| เวลาที่แสดงทั้งหมด เป็นเวลาที่ประเทศไทย (GMT +7) ขณะนี้เป็นเวลา 17:04 |
Powered by vBulletin® Copyright ©2000 - 2024, Jelsoft Enterprises Ltd.
Modified by Jetsada Karnpracha