|
IJSO 5th รอบ 2
เพิ่งได้มาหมาดๆครับ ถ้ามีพิมพ์ผิดก็บอกได้นะครับ
1. H1 และ H2 เป็นรูปหกเหลี่ยมด้านเท่ามุมเท่าสองรูปที่มีจุดศูนย์กลางร่วมกันและ H2 แนบใน H1 ถ้าจุดยอดของ H2 แบ่งด้านของ H1 เป็น 2 ส่วนในอัตราส่วน 2:1 แล้วอัตราส่วนของพื้นที่ H2 ต่อพื้นที่ H1 เป็นเท่าใด 2. รูปสามเหลี่ยม ABC มีมุม C = 60 องศา ลากเส้นแบ่งครึ่งมุม C ไปตัด AB ที่จุด D ถ้า CD ยาว 3 หน่วย และ AC ยาว 2 หน่วย แล้ว BC มีความยาวกี่หน่วย 3.วงกลม 3 วง รัศมี 2r , r และ r สัมผัสภายนอกซึ่งกันและกัน ถ้าวงกลมทั้งสามแนบในวงกลมรัศมี 2 หน่วย แล้ว r มีค่าเท่าใด 4. แก้วกรวยกลมตรงใบหนึ่งมีก้นแก้วเป็นจุดยอดกรวยใส่ทรงกลม 2 ลูก ที่มีรัศมี 1.5 และ 3 หน่วยลงในแก้วได้พอดีโดยทรงกลมทั้ง 2 สัมผัสกัน ปริมาตรของน้ำที่เทลงในแก้วจนทรงกลมลูกบนอยู่ปริ่มน้ำเท่ากับกี่ลูกบาศก์หน่วย 5. $ \sin^2 1^{\circ} + \sin^2 3^{\circ} + \sin^2 5^{\circ}+... + \sin^2 89^{\circ} $ มีค่าเท่ากับเท่าใด 6. กำหนด $ \theta $ เป็นมุมแหลม หาค่าต่ำสุดที่เป็นไปได้ของ $ \sec^2 \theta + 2 cosec^2 \theta $ มีค่าเท่าใด 7. ถ้า r เป็นจำนวนจริงซึ่ง $ r = \frac{1}{r} +1 $ แล้ว $ \frac{r^{16}-1}{r^8 +2r^7} $ มีค่าเท่าใด 8. ถ้า a , b , c เป็นค่าคงที่ทำให้พาราโบลา $ y = ax^2 + bx + c $ มีจุดยอดอยู่บนเส้นตรง y = x +1 และสัมผัสกับเส้นตรง y = x แล้ว a มีค่าเท่าใด 9. หมวกของชายคนหนึ่งหล่นลงน้ำขณะที่เขาเริ่มพายเรือตามน้ำเมื่อพายไปได้ 15 นาที เขาเปลี่ยนใจกลับทิศเรือเพื่อตามไปเก็บหมวกและเก็บได้หลังจากที่หมวกได้ลอยไปแล้ว 200 m ถ้าการไหลของกระแสน้ำและกำลังพายเรือของชายคนนี้มีค่าสม่ำเสมอแล้วกระแสน้ำมีอัตราเร็วกี่กิโลเมตรต่อชั่วโมง 10. ด.ช. ณัฐ นั่งรถออกไปเที่ยวนอกเมืองกับพ่อและคอยนับจำนวนรถบรรทุกที่แล่นสวนมาในเวลา 1 ชั่วโมง เขาพบว่าถ้าพ่อขับรถด้วยอัตราเร็ว 80 กิโลเมตร ต่อชั่วโมง เขาจะนับรถได้ 57 คัน แต่ถ้าพ่อขับรถด้วยอัตราเร็ว 90 กิโลเมตรต่อชั่วโมง เขาจะนับได้ 61 คัน สมมติให้รถบรรทุกเหล่านี้วิ่งเข้าเมืองในอัตราสม่ำเสมอและอัตราเร็วเท่ากันหมด รถบรรทุกเหล่านี้วิ่งด้วยอัตราเร็วกี่กิโลเมตรต่อชั่วโมง |
6.
$\sec ^2 \theta + 2\cos ec^2 \theta = \frac{1}{{\cos ^2 \theta }} + \frac{2}{{\sin ^2 \theta }}$ โดยอสมการ Cauchy $\left( {\frac{1}{{\cos \theta }}} \right)\left( {\cos \theta } \right) + \left( {\frac{{\sqrt 2 }}{{\sin \theta }}} \right)(\sin \theta ) \le \sqrt {\frac{1}{{\cos ^2 \theta }} + \frac{2}{{\sin ^2 \theta }}} \sqrt {\cos ^2 \theta + \sin ^2 \theta } $ $1 + \sqrt 2 \le \sqrt {\frac{1}{{\cos ^2 \theta }} + \frac{2}{{\sin ^2 \theta }}} $ $3 + 2\sqrt 2 \le \frac{1}{{\cos ^2 \theta }} + \frac{2}{{\sin ^2 \theta }}$ ดังนั้นค่าต่ำสุดคือ $3 + 2\sqrt 2 $ หาได้เมื่อ $\theta = \arctan \left( {2^{\frac{1}{4}} } \right)$ |
เดี่ยวจะลองคิดดูนะคับ
|
1 ไฟล์และเอกสาร
ข้อ 9 โจทย์สวยดี
สมมุติให้คนพายเรือด้วยอัตราเร็ว $x$ กม./ชม. ให้กระแสน้ำเร็ว $y$ กม./ชม. ให้ $s$ กม. แทนระยะห่างของคนกับหมวก หลังจากหมวกตกน้ำ $15 $นาที จะคิดแยกเป็น 2 ช่วง คือ สีน้ำเงิน และแดง ช่วงสีน้ำเงิน ในโจทย์บอกว่าชายคนนี้กำลังพายตามน้ำ($x+y$ กม./ชม.) ดังนั้น หมวกก็ลอยไปทางเดียวกับที่ชายคนนี้กำลังพายเรือ(ลอยตามกระแสน้ำ$ y$ กม./ชม.) ระยะทางห่างกัน $s$ (ไปทางเดียวกันนำความเร็วมาลบกัน) จะได้ว่า $v=\frac{s}{t}$ $(x+y)-y=\frac{s}{\frac{15}{60} }$ $x=\frac{s}{\frac{15}{60} }$ ติดไว้ก่อน ช่วงสีแดง คือ เขากำลังพายเรือทวนน้ำกลับไปเอาหมวก($x-y$ กม./ชม.) ขณะที่หมวกกำลังลอยตามน้ำ($y$ กม./ชม.) ในระยะทาง $s$ กม./ชม.(พายเรือสวนกันเหมือนนำความเร็วมาบวกกัน) จะได้ว่า $v=\frac{s}{t}$ $(x-y)+y=\frac{s}{t} $ $x=\frac{s}{t} $ อ้า! คุ้นๆเหมือนกับข้างบน ดังนั้น$ t=\frac{15}{60}$ ชม. เวลาที่หมวกลอย คือ เวลาช่วงสีน้ำเงินกับแดงมาบวกกัน $\frac{15}{60} +\frac{15}{60} =\frac{30}{60}$ จากโจทย์บอกว่าชายคนนี้เก็บหมวกได้เมื่อหมวกลอยไป $200 $ม. ดังนั้น $v=\frac{s}{t}$ $y=\frac{\frac{200}{1000}}{\frac{30}{60}}=0.4 $กม./ชม. |
ข้อ 9 นี้คุ้นๆว่าเคยทำมาก่อน จากที่ไหนไม่รู้ แต่นานแล้ว
|
7.
$r = \frac{1}{r} + 1$ $r^2 - r - 1 = 0$ $\left( {r^{16} - r^{15} - r^{14} } \right) + (r^{15} - r^{14} - r^{13} ) + 2(r^{14} - r^{13} - r^{12} ) + 3(r^{13} - r^{12} - r^{11} ) + 5(r^{12} - r^{11} - r^{10} ) + 8(r^{11} - r^{10} - r^9 ) +$ $13(r^{10} - r^9 - r^8 ) + 21(r^9 - r^8 - r^7 ) + 34(r^8 - r^7 - r^6 ) + 55(r^7 - r^6 - r^5 ) + 89(r^6 - r^5 - r^4 ) + $ $144(r^5 - r^4 - r^3 ) + 233(r^4 - r^3 - r^2 ) + 377(r^3 - r^2 - r^1 ) + 610(r^2 - r - 1) = 0$ $r^{16} - 987r - 610 = 0$ ดังนั้น $r^{16} - 1 = 987r + 609$ $(r^8 - r^7 - r^6 ) + 3(r^7 - r^6 - r^5 ) + 4(r^6 - r^5 - r^4 ) + 7(r^5 - r^4 - r^3 ) + 11(r^4 - r^3 - r^2 ) + 18(r^3 - r^2 - r) + 29(r^2 - r - 1) = 0$ $r^8 + 2r^7 - 47r - 29 = 0$ ดังนั้น $r^8 + 2r^7 = 47r + 29$ จะได้ว่า $\frac{{r^{16} - 1}}{{r^8 + 2r^7 }} = \frac{{987r + 609}}{{47r + 29}} = \frac{{21(47r + 29)}}{{41r + 29}} = 21$ |
ขอแนวคิดของข้อ 2 หน่อยค่ะ(ขอแบบเด็กม.ต้น)
|
วิธีของคุณ Anonymous314 สุดยอดจริงๆๆคับ
|
7. $r-\dfrac{1}{r}=1$
ยกกำลังสองทั้งสองข้าง $r^2-2+\dfrac{1}{r^2}=1$ $r^2+\dfrac{1}{r^2}=3$ ยกกำลังสองทั้งสองข้างได้ $r^4+\dfrac{1}{r^4}=7$ และสังเกตว่า $1+\dfrac{2}{r}=r+\dfrac{1}{r}$ ดังนั้น $\dfrac{r^{16}-1}{r^8+2r^7}=\dfrac{r^8-\frac{1}{r^8}}{1+\frac{2}{r}}$ $~~~~~~~~~~~=\dfrac{(r-\frac{1}{r})(r+\frac{1}{r})(r^2+\frac{1}{r^2})(r^4+\frac{1}{r^4})}{r+\frac{1}{r}}$ $~~~~~~~~~~~=21$ |
โห มีแต่ท่านจอมยุทธ์เก่งๆๆท้านน้าน สุดยอดเลยคับ :great:
|
อ้างอิง:
ลากเส้นเพิ่ม 2 เส้นครับ เส้นแรกต่อออกไปจาก B เพื่อให้ขนานกับ AC ส่วนอีกเส้นต่อออกไปจาก CD ให้ทั้ง 2 เส้นตัดกันที่ E ครับ ให้ DE = x , BE = y จากสามเหลี่ยมคล้าย จะได้ $ \frac{2}{y}=\frac{3}{x} $ และเพราะสามเหลี่ยม CEB เป็นสามเหลี่ยมหน้าจั่วที่มีมุมที่ฐานเท่ากับ 30องศา ดังนั้น $ \frac{3+x}{2y} = \cos 30^{\circ}$ (สมการสร้างจากการลากส่วนสูงจาก B มายัง CE ของสามเหลี่ยม BEC) แก้ 2 สมการก็จะได้ค่า y ออกมาครับ ซึ่งก็คือความยาวด้าน BE = BC |
ขอบคุณมากๆค่ะ
|
5.ใช้โคฟังก์ชันยุบsinเป็นcosเเล้วใช้สูตร $sin^2A+cos^2A=1$
|
ข้อ 6 ผมคิดว่าวิธีที่ simple ที่สุดสำหรับเด็ก ม.ต้น น่าจะเป็นการเปลี่ยนฟังก์ชันที่ให้มาให้อยู่ในรูป $ \tan \theta $ ครับ แล้ว minimize จากฟังก์ชันของ tan
|
ผมเคยสอบijsoแล้ว
ข้อสอบยากมาก:mad::sweat::sweat: |
จะพยายามคิดดู
|
ผมคิดไม่ค่อยออกเลย
|
อื้ม คิดไม่ค่อยออกเหใือนกัน >,< แต่จะพยายามฝึกวรยุทธต่อไป !!
|
ข้อ 1 ถ้าใช้กฎของโคไซน์ ม.ปลายน่าจะออก
แต่มันเป็นข้อสอบเด็กม.ต้นเลยไม่แน่ใจ |
ช่วยแนะวิธีคิดข้อ 10 ให้หน่อย
อ่านโจทย์แล้วงงมากครับ
|
ถามข้อ 6 อีกนิด
อ้างอิง:
|
สำหรับข้อ 6 ที่ถามมาครับ
$ \begin{array}{rcl} \sec^2 \theta + 2cosec^2 \theta &=& (1+\tan^2 \theta)+2(1+\cot^2 \theta) \\ &=& (1+\tan^2 \theta)+2(1+\frac{1}{\tan^2 \theta}) \\ &=& 3+(\tan^2 \theta + \frac{2}{\tan^2 \theta}) \\ & \geq & 3+ 2\sqrt{2}\end{array}$ (ค่าต่ำสุดเกิดเมื่อ $ \tan \theta= \sqrt{\sqrt{2}}$ ) เหตุผลที่ $ \tan^2 \theta + \frac{2}{\tan^2 \theta} \geq 2\sqrt{2} $ อธิบายได้ 2 แบบครับ แบบที่ 1 : สำหรับคนที่สนใจข้อสอบโอลิมปิก ก็จะตอบได้อย่างรวดเร็วว่า เป็นผลมาจาก AM-GM inequality แบบที 2 : สมมติว่า $ y= x+ \frac{2}{x} $ โดยที่ $ x >0 $ ดังนั้น $ x^2 -yx+2 =0 $ x จะเป็นจำนวนจริงเมื่อ $ y^2-4(1)(2) \geq 0 \Rightarrow y \geq 2\sqrt{2} $ หรือที่เราเรียกกันว่าพิจารณาค่า discriminant ครับ (น่าจะได้เรียนแล้วในเรื่องสมการกำลังสอง) |
ขอบคุณมากครับ
|
เฉลยข้อ 1
เฉลยข้อ 1 รุปวาดไม่ค่อยสวยขอโทษด้วยครับ
ตอนนี้ยังติดข้อ 4 ข้อ 8 และ 10 อยุ่ใครพอได้ช่วยเฉลยหน่อยครับ |
ขอตอบข้อ8ก่อน$ a=\frac{1}{4} พาราโบล่ามีจุดยอด x=\frac{-b}{2a} $,$y=\frac{4ac-b^2}{4a} $แทนในสมการ y=x+1 จะได้ $\frac{4ac-b^2}{4a } =\frac{-b}{2a} +1$ จะได้$4ac=b^2-2b+4a$, อีกสมการ หาจาก $ b^2-4ac=0,จะได้(b-1)^2 =4ac$,$\therefore b^2-2b+4a =(b-1)^2 จะได4a =1,a=\frac{1}{4} $ ข้อ4ตอบ$\frac{243}{12} (3.14)$
|
อ้างอิง:
|
ผมขอขอบคุณพี่หยินหยางที่ให้คำตอบที่ถูก. แต่ผมยังได้คำตอบโหม่=$\frac{47}{2} (3.14) ปล. รัศมีปากแก้วเท่าไหร่ครับ. สูงผมหาได้=12ซม.รัศมีปากแก้ว=4ซม. $ ?:please::please:
|
อ้างอิง:
และข้อ.10 แนวคิด ให้ระยะห่างระหว่างรถบรรทุกเป็น P และอัตราเร็วของรถบรรทุกเป็น V และเริ่มพบคันแรกตอนออกจากเมืองเลย มี 56และ60 ช่วงตามลำดับ (คล้ายๆกับการนับหลัก) ดังนั้นระยะห่างระหว่างรถบรรทุกเป็น P = 2.5 กิโลเมตร จะได้อัตราเร็วของรถบรรทุกเป็น V = 60 กิโลเมตรต่อชั่วโมง ชอบแบบใหนก็ตอบแบบนั้น ** |
1 ไฟล์และเอกสาร
อ้างอิง:
Attachment 982 ปริมาตรกรวย = $ \dfrac {1}{3} \pi r^2h$ = $ \dfrac {1}{3} \pi (3\sqrt{2} )^2(12)$ = $72 \pi $ ปริมาตรทรงกลมใหญ่ = $ \dfrac {4}{3} \pi (3)^3$ = $36 \pi $ ปริมาตรทรงกลมเล็ก = $ \dfrac {4}{3} \pi (1.5)^3$ = $4.5 \pi $ ปริมาตรน้ำที่ต้องเติม = $72 \pi $ - $36 \pi $ - $4.5 \pi $ = $31.5 \pi $ หรือ $\dfrac {63}{2} \pi $ |
ขอขอบคุณพี่Puriwatt ผมเข้าใจแจ่มแจ้งมาก. ผมต้องฝึกอีกมากเตรียมไปสอบเพชรยอดมงกุฏในสัปดาห์หน้า.
|
อ้างอิง:
1. เราไม่ต้องคำนึงถึง ระทางที่รถวิ่งออกมาก่อนที่จะเจอรถบรรทุกใช่มั้ยครับ 2. ถ้านับรถได้ 57 คันนั่นหมายถึงช่วงระยะทางมี 56 ช่วงไม่ใช่หรือครับ รบกวนช่วยชี้แนะด้วยครับ:please::please: |
อ้างอิง:
 |
1 ไฟล์และเอกสาร
ลองดูรูปนี้ซิครับ
Attachment 996 |
อ้างอิง:
เช่น $80+v =57p =142.5$ (เพราะว่า p = 2.5 กม.) สมการนี้คิดจากหลักคิดที่ว่า ตอนแรกทั้งรถยนต์และรถบรรทุกอยู่ทีจุดเดียวกันและวิ่งสวนกัน นั่นคือคำถามของข้อแรกของผม ส่วนข้อที่สอง ผมถามว่าโดยหลักแล้วคันที่ 1 ถึงคันที่ 57 ควรมี 56 ช่วงไม่ใช่หรือ ที่ผมถามทั้งหมดนี้คือผมตีโจทย์ตามที่ผมได้แสดงไว้ นั่นคือ ถ้าเป็นไปตามที่ผมเข้าใจจะเห็นว่าความเร็วของรถบรรทุกมีได้ตั้งแต่ 60-140 กม/ชม. ขึ้นอยู่ว่าช่วงแรกรถยนต์กับรถบรรทุกห่างกันเท่าไร ลองดูรูปผมอีกที  จะเห็นว่า s เปลี่ยน ความเร็วของรถบรรทุกก็เปลี่ยน เพราะความเร็วของรถบรรทุก = 60+s กม./ชม. ประเด็นของข้อนี้ ตามที่ผมเข้าใจคือหาได้ว่าระยะระหว่างรถบรรทุก แต่ละคันคือ 2.5 กม. ส่วนเงื่อนไขอื่นที่มียังไม่สามารถหา s ได้ ที่ผมถามข้อสงสัยคือ ผมอยากรู้ว่ามีใครคิดแบบผมบ้างเท่านั้น เพราะเวลาทำโจทย์ผมไม่รู้ว่าอย่างนี้ต้องเดาใจคนออกข้อสอบหรือเปล่า หรือผมตีโจทย์ผิด:confused: |
ข้อนี้จะมีคำตอบที่แน่นอนเพียงแค่หาได้ว่าระยะระหว่างรถบรรทุก แต่ละคันคือ 2.5 กม.
และความเร็วของรถบรรทุกต้องมากกว่าหรือเท่ากับ 60 กม/ชม. อย่างที่คุณหยินหยางคิดนั่นแหละครับ ผมเห็นตอนที่แก้รูปของคุณหยินหยางแล้วครับ (ถ้า s = 500 กม. แล้วจะได้ความเร็วของรถบรรทุกเป็น 560 กม/ชม แบบชินกันเซน JR500) ผมรู้สึกว่าคนที่ออกข้อสอบพยายามสื่อความหมายจากมโนภาพของตนว่า เมื่อออกจากเมืองก็เจอรถบรรทุกคันแรกเลย(แต่ไม่ยอมเขียน) |
อ้างอิง:
ก็หนาวแล้วครับ:died: |
ข้อสุดท้าย
ใช้สูตร y=kx (ได้ไหม) 555 |
ข้อ8
อ้างอิง:
ช่วยขยายความหน่อยครับ |
1 ไฟล์และเอกสาร
อ้างอิง:
รถยนต์ของผมดันเจอกับรถบรรทุกคันที่ 57 เมื่อเวลาผ่านไป 1 ชั่วโมงได้ละครับ สงสัยคนขับรถบรรทุกจะเป็นตีนผีจอมซิ่งมั้งครับ(ลองดูรูปประกอบ) Attachment 998 |
อ้างอิง:
|
| เวลาที่แสดงทั้งหมด เป็นเวลาที่ประเทศไทย (GMT +7) ขณะนี้เป็นเวลา 06:02 |
Powered by vBulletin® Copyright ©2000 - 2024, Jelsoft Enterprises Ltd.
Modified by Jetsada Karnpracha