![]() |
ข้อสอบคัดเลือกผู้แทนศูนย์ สอวน. มหาวิทยาลัยเรศวร พ.ศ. 2555
ได้ไปเที่ยวค่ายที่ ม.นเรศวร มาครับ ได้เห็นโจทย์เลยจำมาฝากครับ :))
Number Theory 1. จงแสดงว่ามีจำนวนนับ $n$ เป็นอนันต์ตัวที่ทำให้ $1444...443$ (มี $4$ อยู่ $n$ ตัว) เป็นพหุคูณของ $1443$ 2. ให้ $m,n$ เป็นจำนวนนับที่มากกว่า $1$ จงแสดงว่า ถ้า $m\phi (m)=n\phi (n)$ แล้ว $m=n$ Combinatorics 1. จงหาจำนวนฟังก์ชันทั่วถึงจากเซต ${0,1,2,...,9}$ ไปยังเซต ${1,2,3,4}$ 2. มีจุด $10$ จุดอยู่ในสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีความยาวด้านละ $1$ หน่วย จงแสดงว่า ก) มี $2$ จุดที่ห่างกันไม่เกิน $\frac{\sqrt{2}}{3} $ หน่วย ข) มี $3$ ที่อยู่ภายในบริเวณวงกลมรัศมี $\frac{1}{2}$ หน่วย Inequality 1. จงหาค่า $K$ ที่น้อยที่สุดที่ทำให้ $$\left|\,ab(a^2-b^2)+bc(b^2-c^2)+ca(c^2-a^2)\right|\leqslant K(a^2+b^2+c^2)^2 $$ สำหรับทุกจำนวนจริง $a,b,c$ ใดๆ 2. ให้ $a,b,c$ เป็นจำนวนจริงบวก จงแสดงว่า $$\frac{1}{a\sqrt{\frac{1}{a^2}+\frac{8}{bc}}}+\frac{1}{b\sqrt{\frac{1}{b^2}+\frac{8}{ca}}}+\frac{1}{c\sqrt{\frac{1}{c^2}+\frac{ 8}{ab}}}\geqslant 1$$ Geometry (มีข้อเดียวเพราะอีกข้อโจทย์ผิด) 1. สามเหลี่ยมสองรูปมีด้านขนานกันเป็นคู่ๆ และเส้นเชื่อมระหว่างจุดยอดที่สมนัยกันตัดกันที่จุดเดียว จงพิสูจน์ว่า เส้นออยเลอร์ (Euler line) ของสามเหลี่ยมทั้งสองรูปจะขนานกัน (อย่าเพิ่งใช้ Homothety นะครับ ลองทำแบบเนื้อหา สอวน. ดู :)) ) ถ้าจำได้อีกจะมาลงนะครับ |
รังนกถ้าดูโจทย์หนังสือ โลกคอมบินาทอริก ทำได้แน่นอนครับเหมือนกันเลย
คอมบิข้อ1เหมือนโจท์เก่า กทม เลยครับ |
อสมการคราวนี้โหดจริงๆครับเอา IMO ปี 2006 มาออกนี่สุดๆอ่ะครับ
คือถ้ามันเป็นจริงบวกจะดีในมาก ข้อ 2 เปลี่ยน a เป็น $\dfrac{1}{x}$ แล้วอัด Holder+Schur ก็ออกครับ หรือ Homogeneous ก็ได้ครับ |
NT ข้อแรกเอา Idea มาจาก TMO 7 วันแรก ครับ :D
ส่วนข้อที่สองก็เอา Ideaมาจาก Shortlist TMO 8 ครับ :)) ข้อสองพิจารณาจำนวนเฉพาะตัวที่มากที่สุดของ m กับ n ให้ดีๆครับ :D |
อ้างอิง:
คือผมว่าโจทย์ข้อนี้คือต้องการให้เราทำให้ที่เขาให้มาเป็น จริงบวกก่อนแล้วใช้ AM-GM ครับ เพราะตอนนี้ที่เรามีเลยและใช้ได้คือ Cauchy เท่านั้นแต่ก็ไปได้ไม่ไกล เราต้องพิสูจน์ว่า $$[(a-b)(b-c)(c-a)(a+b+c)]^2 \leq K^2(a^2+b^2+c^2)^4$$ ให้ $x=a-b,y=b-c,z=a+b+c$ เราจะได้ $c-a=x+y,a^2+b^2+c^2= \dfrac{1}{3}(z^2+x^2+y^2+(x+y)^2)$ และเราจะได้ว่า $$\left(\,xyz(x+y)\right) ^2 \leq \dfrac{K^2}{81}(z^2+x^2+y^2+(x+y)^2)^4= \dfrac{K^2}{81}(z^2+2(x^2+y^2+xy))^4$$จากตรงนี้เราสามารถใช้ AM-GM ได้แล้วเพราะว่า $x^2,y^2,z^2 $ เป็นบวกแล้ว จากนั้นเราคิดแค่พจน์ $x,y$ ก่อนเพราะ $z$ เดี๋ยวค่อย Weight เอาก็ได้ (ตรงนี้คือที่มาได้ในห้องสอบ) และผมก็ลองใช้ Wolfram พิสูจน์ดูว่า $$\left(\,\dfrac{xy(x+y)}{2}\right) ^2 \leq \left(\,\dfrac{x^2+y^2+xy}{3}\right)^3 $$ จริงหรือไม่ (ลองไปกดดูละกันครับ) และได้ว่าจริง $$x^2y^2(x+y)^2 \leq 4\left(\,\dfrac{x^2+y^2+xy}{3}\right)^3 \cdot z^2 = \dfrac{1}{54}\left(\,x^2+y^2+(x+y)^2\right) ^3 \cdot z^2 $$ โดย Weight AM-GM จะได้ว่า $$\dfrac{1}{54}\left(\,x^2+y^2+(x+y)^2\right) ^3 \cdot z^2 \leq \dfrac{1}{162}\left(\,\dfrac{3x^2+3y^2+3(x+y)^2+3z^2}{4}\right)^4= \dfrac{1}{512}(z^2+x^2+y^2+(x+y)^2) $$ จับไปเท่ากันจะได้ $K= \dfrac{9}{16\sqrt{2}}$ |
สุดยอดครับ :great: ปีนี้ขอใหได้เข้า สสวท นะครับ :happy:
|
อ้างอิง:
ถึงทำได้ตอนนี้คะแนนคงไม่เพิ่มขึ้นหรอกครับ 55555 ยังไม่รู้ว่าจะติดหรือเปล่าเลยค่าย 3 อ่ะครับ :) พึ่งเจอน่าจะดูก่อนไปสอบ เฉลยของเขาบอกไว้อย่างงี้ครับ WLOG . suppose $p=a+b+c=1,q=ab+bc+ca,r=abc$ $\left|\,ab(a^2-b^2)+bc(b^2-c^2)+ca(c^2-a^2)\right|= |(a-b)(b-c)(c-a)(a+b+c)|$ Then inequality desired takes the form $$\sqrt{q^2-4q^3+2(9q-2)r-27r^2} \leq k(1-2q)^2$$ LHS. L satisfies $$L=\sqrt{-27\left(\,r-\dfrac{9q-2}{27}\right)^2+\dfrac{4(1-3q)^3}{27}} \leq \sqrt{\dfrac{4(1-3q)^3}{27}}$$ Thus , we need to maximize the function $$f(q)=\dfrac{2(1-3q)\sqrt{3(1-3q)}}{9(1-2q)^2}$$ Differentiating this function gives $$f'(q)=\dfrac{-(6q+1)\sqrt{3(1-3q)}}{9(1-2q)^3}$$ The equation $f'(d)=0$ gives $q= -\dfrac{1}{6},q=\dfrac{1}{3}$ . It follows that $$f(q) \leq f(-\dfrac{1}{6})=\dfrac{9\sqrt{2}}{32}$$ for all $q \leq \dfrac{1}{3} $ |
#7 เก่งขนาดนี้ ถ้ามน.ไม่เลือกก็คงต้องเสียใจภายหลังเเหละครับ 555
|
มาอยู่ที่ค่าย สสวท เป็นเพื่อนหน่อยครับ เหงา 555
ว่าแต่ใครจำโจทย์ข้อไหนได้อีกก็ช่วยโพสต์ด้วยครับ |
ข้อ 2 NT ถ้าเราใช้ว่า $p\rightarrow q \equiv \sim q\rightarrow \sim p $ เเล้วมันเหมือนจะได้เลยอ่ะครับเหมือนจะบรรทัดเดียวจบ แต่ผมไม่ได้ใช้วิธีนี้นะ เพราะไม่หล้ามันสั้นไป 555
|
ศูนย์นี้โหดแฮะใช้ข้อสอบโอลิมปิกทั้งนั้นเลย
|
อ้างอิง:
|
อ้างอิง:
แต่ Algebra ไม่ยากมากครับ มีข้อนึงเคยเป็นข้อสอบคัดตัวแทนเก่าในค่ายตอน 2 ปีที่แล้วด้วยครับ ที่พูดมาจำโจทย์ไม่ได้ TT |
#12 เราก็สมมุติให้ $m\not=n\rightarrow m\phi (m)\not=n\phi (n)$ ซึ่งเห็นได้ชัดเเล้วว่าไม่เท่า (มั้งครับ) 555
|
อยากได้เฉลยข้อ 2 ทฤษฎีจำนวนอ่ะครับ
|
เเล้วที่ผมพิมพ์ไปยังใช้ไม่ได้ใช่ป่าว เพราะผมว่ามันเเปลกๆ 555
|
2. NT
แนวคิดต่อไปนี้ เอามาจาก shortlist TMO 8 ครับ ให้ m,n เป็นจำนวนนับมากกว่า 1 สมมติ $ \ m \phi (m) = n\phi(n)$ ให้$ \ m = p_1^{i_1}p_2^{i_2}..p_r^{i_r} \ , \ n = q_1^{j_1}q_2^{j_2}..q_s^{j_s}$ เป็นการเขียน m และ n ใน รูปแบบบัญญัติ $\because m \phi (m) = n\phi(n)$ $\therefore m^2(1-\dfrac{1}{p_1})(1-\dfrac{1}{p_2})...(1-\dfrac{1}{p_r}) = n^2(1-\dfrac{1}{q_1})(1-\dfrac{1}{q_2})...(1-\dfrac{1}{q_s})$ $p_1^{2i_1+1}p_2^{2i_2+1}...p_r^{2i_r+1}(p_1-1)(p_2-1)...(p_r-1) = q_1^{2j_1+1}q_2^{2j_2+1}...q_s^{2j_s+1}(q_1-1)(q_2-1)...(q_s-1)$ จากนั้นก็พิสูจน์ว่า $p_r = q_s, i_r = j_s$ แล้วก็ induction เอาครับ ก็จะสามารถพิสูจน์ได้โดยไม่ยากว่า $m=n$ วิธีแบบ #16 ผมว่าไม่ออกนะครับ |
อ้างอิง:
|
อ้างอิง:
|
อ้างอิง:
$p_1^{2i_1+1}p_2^{2i_2+1}... p_r^{2i_r+1}(p_1-1)(p_2-1)...(p_r-1) = q_1^{2j_1+1}q_2^{2j_2+1}...q_s^{2j_s+1}(q_1-1)(q_2-1)...(q_s-1)$ induction : ให้ P(a) แทน $p_{r-a}=q_{s-a}, i_{r-a}=j_{s-a}$ ขั้นฐาน สมมติ $p_r > q_s$ จะได้ $p_r\nmid q_1^{2j_1+1}q_2^{2j_2+1}...q_s^{2j_s+1}(q_1-1)(q_2-1)...(q_s-1)$ เกิดข้อขัดแย้ง ในทำนองเดียวกัน จะได้ $p_r \not< q_s$ ดังนั้น $p_r = q_s$ ถ้า $i_r \not= j_s$ โดยไม่เสียนัยให้ $i_r > j_s$ จะได้ $p_r^{2i_r-1}\nmid q_1^{2j_1+1}q_2^{2j_2+1}...q_s^{2j_s+1}(q_1-1)(q_2-1)...(q_s-1)$ เกิดข้อขัดแย้ง $\therefore i_r = j_s, P(0)$ เป็นจริง ขั้นอุปนัย สมมติ $P(k)$ เป็นจริง $\forall k \in \mathbb{N}, 0 \le k < a, r-a \ge 1, s-a \ge 1$ นั่นคือจาก $p_1^{2i_1+1}p_2^{2i_2+1}... p_r^{2i_r+1}(p_1-1)(p_2-1)...(p_r-1) = q_1^{2j_1+1}q_2^{2j_2+1}...q_s^{2j_s+1}(q_1-1)(q_2-1)...(q_s-1)$ แต่ $p_{r-a+1}^{2i_{r-a+1}+1}... p_r^{2i_r+1}(p_{r-a+1}-1)...(p_r-1) = q_{s-a+1}^{2j_{s-a+1}+1}...q_s^{2j_s+1}(q_{s-a+1}-1)(q_2-1)...(q_s-1)$ นำสองสมการหารกัน $p_1^{2i_1+1}p_2^{2i_2+1}... p_{r-a}^{2i_{r-a}+1}(p_1-1)(p_2-1)...(p_{r-a}-1) = q_1^{2j_1+1}q_2^{2j_2+1}...q_{s-a}^{2j_s+1}(q_1-1)(q_2-1)...(q_{s-a}-1)$ ซึ่ง $P(a)$ เป็นจริง โดย $P(0)$ เป็นจริง ดังนั้น โดยหลักอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์แบบเข้ม $P(a)$ เป็นจริง สำหรับทุก $a\in\mathbb{N}, r-a, s-a \ge 1$ สมมติ $r \not= s$ โดยไม่เสียนัยให้ $r>s$ $p_1^{2i_1+1}p_2^{2i_2+1}... p_r^{2i_r+1}(p_1-1)(p_2-1)...(p_r-1) = q_1^{2j_1+1}q_2^{2j_2+1}...q_s^{2j_s+1}(q_1-1)(q_2-1)...(q_s-1)$ $= p_{r-s+1}^{2j_{r-s+1}+1}...p_r^{2i_r+1}(p_{r-s+1}-1)...(p_s-1)$ $p_1^{2i_1+1}p_2^{2i_2+1}... p_{r-s}^{2i_{r-s}+1}(p_1-1)(p_2-1)...(p_{r-s}-1) = 1$ เกิดข้อขัดแย้ง ดังนั้น $r = s$ $p_1^{i_1}p_2^{i_2}..p_r^{i_r}= q_1^{j_1}q_2^{j_2}..q_s^{j_s}$ $m=n$ |
สุดยอดครับ เก่งมากๆเลยครับน้อง *O*
|
1 ไฟล์และเอกสาร
ข้อ 2 NT ครับ
|
ตรงนี้ไม่จริงนะครับ
$\phi (dx) = \phi (d) \phi (x)$ เพราะไม่จำเป็นเสมอไปที่ $(d,x)=1$ |
อ๋อ เข้าใจแล้ว ขอบคุณมากครับ :)
|
เวลาที่แสดงทั้งหมด เป็นเวลาที่ประเทศไทย (GMT +7) ขณะนี้เป็นเวลา 02:03 |
Powered by vBulletin® Copyright ©2000 - 2024, Jelsoft Enterprises Ltd.
Modified by Jetsada Karnpracha