ร่วมกันเฉลยแบบเรียน สอวน.กันมั้ย
 

เนื่องจากแบบเรียน สอวน. นั้น ไม่มีเฉลย จึงคิดว่าน่าจะร่วมกันทำเฉลยซะใน mc ดีกว่าอ่ะครับ
ผมเองก็พึ่งจะไปเหมามาจากงานหนังสือ ก็จะได้ตรวจสอบวิธีทำของผมเองด้วย ยังไงก็ขอฝากด้วยนะครับ
ขอเริ่มจาก พีชคณิตนะครับ
โจทย๋ปัญหา 1.1
1) จงคำนวณค่าของ $\sqrt{(71)(70)(69)(68)+1}$
2) จงสังเกตสิ่งที่เป็นจริงในบางกรณีที่กำหนดไว้ในข้อต่อไปนี้ แล้วจงเขียน(เดา)สมมุติฐานสำหรับกรณีทั่วไป พร้อมกับพิสูจน์ว่าสมมุติฐานเป็นจริง
2.1 \[\matrix{3^2 & + & 4^2 & = & 5^2\\5^2 & + & 12^2 & = & 13^2\\7^2 & + & 24^2 & = & 25^2\\9^2 & + & 40^2 & = & 41^2}\]
2.2 \[\matrix{1^2&=&\frac{1\cdot2\cdot3}{6}\\1^2+3^2&=&\frac{3\cdot4\cdot5}{6}\\1^2+3^2+5^2&=&\frac{5\cdot6\cdot7}{6}}\]
3) จงหาผลบวก $6+66+666+6666+...+666...6(nตัว)$ เมื่อ $n\geqslant 1$
4) กำหนดให้ $f_0(x)=\frac{1}{1-x} และ f_n(x)=f_0(f_{n-1}(x))$ สำหรับ $n\geqslant 1$ และ $x\not=1$ จงหาค่าของ $f_{2002}(2002)$
5) กำหนดให้ $f(n)$ เป็นผลบวกของของ n พจน์แรก ของลำดับต่อไปนี้$0,1,1,2,2,3,3,4,4,..,r,r,r+1,r+1,...$
5.1 จงเขียนสูตรกำหนด $f(n)$ สำหรับจำนวนเต็มบวกใดๆ
5.2 จงพิสูจน์ว่า $f(s+t)-f(s-t)=st$ สำหรับจำนวนเต็มบวก s และ t ซึ่ง $s>t$
6) กำหนด $f(x)=\frac{a^x}{a^x+\sqrt{a}}$ เมื่อ a เป็นจำนวนจริงบวก จงหาค่าของ$f(\frac{1}{2001})+f(\frac{2}{2001})+...+f(\frac{2000}{2001})$
7) กำหนดให้ลำดับ $a_0,a_1,a_2,...$ สอดคล้องกับเงื่อนไข $a_{m+n}+a_{m-n}=\frac{1}{2}(a_{2m}+a_{2n})$ สำหรับจำนวนเต็ม $m\geqslant n$ ถ้า $a_1=1$ จงหา $a_{2003}$

ประเดิมก่อนครับ
$(71)(70)(69)(68)+1=68(68+1)(68+2)(68+3)+1$
ให้ $n=68$ จะได้ว่า
$n(n+1)(n+2)(n+3)+1=(n^2+3n)(n^2+3n+2)+1={(n^2+3n)}^2+2(n^2+3n)+1={(n^2+3n+1)}^2$
แทน $n=68$ ดังนั้น
$(71)(70)(69)(68)+1={(68^2+3(68)+1)}^2=(4624+204+1)^2=(4829)^2$
$\therefore \sqrt{(71)(70)(69)(68)+1}=\sqrt{(4829)^2}=4829$

สมมุติฐานคือ
${(2n+1)}^2+{[2n(n+1)]}^2={(2n^2+2n+1)}^2$
พิสูจน์
$LHS={(2n+1)}^2+{[2n(n+1)]}^2=4n^4+8n^3+8n^2+4n+1$
$RHS={(2n^2+2n+1)}^2=4n^4+8n^3+8n^2+4n+1$
$\therefore LHS=RHS$

สมมุติฐานคือ
$\sum_{k=1}^n(2k-1)^2=\frac{(2n-1)(2n)(2n+1)}{6}$
พิสูจน์
$\sum_{k=1}^n(2k-1)^2=\sum_{k=1}^n(4k^2-4k+1)$
$=4\sum_{k=1}^nk^2-4\sum_{k=1}^nk+\sum_{k=1}^n1$
$=\frac{2}{3}n(n+1)(2n+1)-2n(n+1)+n$
$=\frac{2n(n+1)(2n+1)-6n(n+1)+3n}{3}$
$=\frac{2n(n+1)(2n-2)+3n}{3}$
$=\frac{n(2n+1)(2n-1)}{3}$
$=\frac{(2n-1)(2n)(2n+1)}{6}$

$6+66+66+6666+666...6(nตัว)=6n+6(10)(n-1)+6(10^2)(n-2)+...+6(3)(10^{n-2})+6(2)(10^{n-1})+6(10^n)$
$$=6(n+10(n-1)+10^2(n-2)+...+(3)(10^{n-2})+(2)(10^{n-1})+(10^n))$$
$$=6\sum_{k=1}^n(n-k+1)(10^{k-1})$$
$$=6[\sum_{k=1}^n(n(10^{k-1})-k(10^{k-1})+10^{k-1})]$$
$$=6[\frac{n+1}{10}\sum_{k=1}^n10^{k}-\sum_{k=1}^nk(10^{k-1})]$$
$$=\frac{3}{5}[(n+1)(\frac{10(10^n-1)}{9}]-\frac{3}{5}\sum_{k=1}^nk(10^{k})$$
$$=\frac{2}{3}(n+1)(10^n-1)-\frac{3}{5}\sum_{k=1}^nk(10^{k})$$
ได้แค่เนี้ยอ่ะครับ

$f_1(x)=f_0(f_0(x))=f_0(\frac{1}{1-x})=\frac{x-1}{x}$
$f_2(x)=f_0(f_1(x))=f_0(\frac{x-1}{x})=x$
$f_3(x)=f_0(f_2(x))=f_0(x)=\frac{1}{1-x}$ เริ่มวน
ดังนั้น \(f_n(x)=\cases{\frac{1}{1-x}&,n=3m-3\\ \frac{x-1}{x}&,n=3m-2\\x&,n=3m-1}\) $m=1,2,3,...$
$2002=3(668)-2$
ดังนั้น $f_{2002}(x)=\frac{x-1}{x}$
$f_{2002}(2002)=\frac{2001}{2002}$

ข้อนี้ทำแบบนี้ได้ไหมครับ

$6+66+666+6666+...+\underbrace{666...6}_{n ตัว} = x$

$x = 6(1+11+111+1111+...+\underbrace{111...1}_{n ตัว})$

$9x = 6(9+99+999+9999+...+\underbrace{999...9}_{n ตัว})$

$9x = 6(10-1+10^2-1+10^3-1+10^4-1+...+10^n-1)$

$9x = 6(10+10^2+10^3+10^4+...+10^n-\underbrace{1-1-1-...}_{n ตัว})$

ใช้สูตร $s_n = \frac{a_1(r^n-1)}{r-1} ; r\not= 1$

ได้ $x = \frac{6}{9}(\frac{10(10^n-1)}{10-1} - n)$

$ x = \frac{2}{3}(\frac{10^{n+1}-10-9n}{9})$

$\therefore x = \frac{2(10^{n+1}-9n-10)}{27}$

ไม่น่าจะถูก:confused::cry::tired:

ถูกครับ ลองแทนค่าแล้วได้ครับ
ขอบคุณมากเลยครับ:please:

$f(1)=0$ $\ \, f(2)=1$ $\ \, f(3)=2$ $\ \, f(4)=4$ $\ \, f(5)=6$ $\ \, f(6)=9$ $\ \, f(7)=12$ $\ \, f(8)=16$
เมื่อ n เป็นจำนวนคี่ จะได้ลำดับคือ $0,2,6,12,...$ $\ \ f(k)=k^2-k$ ดังนั้น $n=2k-1$ จะได้ $k=\frac{n+1}{2}$ $\ \ f(n)=\frac{n^2-1}{4}$
เมื่อ n เป็นจำนวนคู่ จะได้ลำดับคือ $1,4,9,16,...$ $\ \ f(k)=k^2$ ดังนั้น $n=2k$ จะได้ $k=\frac{n}{2}$ $\ \ f(n)={(\frac{n}{2})}^2$
\(f(n)=\cases{\frac{n^2-1}{4}&,n เป็นจำนวนคี่\\{(\frac{n}{2})}^2&,n เป็นจำนวนคู่}\)

1) เมื่อ s และ t เป็นจำนวนคู่ หรือ จำนวนคี่ s+t และ s-t เป็นจำนวนคู่
ดังนั้น $f(s+t)-f(s-t)={(\frac{s+t}{2})}^2-{(\frac{s-t}{2})}^2=st$
2) เมื่อ s หรือ t มีตัวหนึ่งเป็นจำนวนคู่และอีกตัวหนึ่งเป็นจำนวนคี่ s+t และ s-t เป็นจำนวนคี่
ดังนั้น $f(s+t)-f(s-t)=\frac{(s+t)^2-1}{4}-\frac{(s-t)^2-1}{4}=\frac{(s+t)^2-(s-t)^2}{4}=st$

นำ $a^x$ หารทั้งเศษและส่วน
$$f(x)=\frac{1}{1+a^{(\frac{1}{2}-x})}=\frac{1}{1+{(\sqrt{a})}^{1-2x}}$$
$$f(\frac{n}{x})=\frac{1}{1+{(\sqrt{a})}^{\frac{x-2n}{x}}}$$
$$f(\frac{n}{2001})=\frac{1}{1+{(\sqrt{a})}^{\frac{2001-2n}{2001}}}$$
$$f(\frac{1}{2001})+f(\frac{2}{2001})+...+f(\frac{2000}{2001})=\frac{1}{1+{(\sqrt{a})}^{\frac{1999}{2001}}}+\frac{1}{1+{(\sqrt{a })}^{\frac{1997}{2001}}}+...+\frac{1}{1+{(\sqrt{a})}^{-\frac{1997}{2001}}}+\frac{1}{1+{(\sqrt{a})}^{-\frac{1999}{2001}}}$$
สังเกตว่า $\frac{1}{1+a^n}+\frac{1}{1+(a)^{-n}}=1$
ดังนั้นผลบวกทั้งหมด $=1+1+1+...+1(1000ตัว)=1000$

1) m=1,n=1 จะได้ $a_2+a_0=a_2$---->$a_0=0$
2) m=1,n=0 จะได้ $2a_1=\frac{1}{2}a_2$---->$a_2=4$
3) m=2,n=0 จะได้ $2a_2=\frac{1}{2}a_4$---->$a_4=16$
4) m=2.n=1 จะได้ $a_3+a_1=\frac{1}{2}(a_4+a_2)$---->$a_3=9$
5) m=3,n=0 จะได้ $a_3=\frac{1}{2}a_6$---->$a_6=36$
จะสังเกตว่า $a_n=n^2$
ดังนั้น $a_{2003}=2003^2=4012009$

ขยันจังครับคุณPoper:great::great::great:
ขอดูอย่างเดียว พลังวัตรไม่ถึงขั้นครับ

มาเพิ่มแล้วครับ
โจทย์ปัญหา 1.2
1) จงหาจำนวนเต็ม x ทั้งหมดที่ทำให้ $\sqrt{x}$ และ $\sqrt{x-\sqrt{x}}$ เป็นจำนวนเต็ม
2) จงหาอัตราส่วนของความยาวด้านทั้งสามของสามเหลี่ยมมุมฉากซึ่งเป็นพจน์เรียงกันในลำดับเลขคณิต
3) จงหาจำนวนจำนวนหนึ่งซึ่งเป็นเลข 2 หลักที่มีผลบวกของเลขโดดในหลักทั้งสองเท่ากับ 12 แต่ถ้าเอา 36 บวกเข้ากับจำนวนนั้น จะได้จำนวนซึ่งกลับหลักกับจำนวนนั้น
4) จงหาจำนวนจำนวนหนึ่งซึ่งเป็นเลข 3 หลัก ถ้าสลับที่หลักหน่วยกับหลักร้อยของจำนวนนั้นจะได้ จำนวนที่มากกว่าสองเท่าของจำนวนเดิมอยู่ 66 แต่ถ้าสลับที่หลักร้อยกับหลักสิบ จะได้จำนวนที่มีค่าน้อยกว่าจำนวนเดิมอยู่ 180 และถ้าสลับที่หลักหน่วยกับหลักสิบ จะได้จำนวนที่มีค่ามากกว่าจำนวนเดิมอยู่ 63
5) จงหาจำนวนจริง 2 จำนวน ซึ่งจำนวนหนึ่งเป็นจำนวนบวก แต่อีกจำนวนหนึ่งเป็นจำนวนลบ ผลต่างของจำนวนทั้งสองเท่ากับ 2 และผลบวกของส่วนกลับของจำนวนทั้งสองเท่ากับ 1
6) มาลีมีอายุ 32 ปี วิมลมีอายุเป็นครึ่งหนึ่งของอายุมาลีในปีที่มาลีมีอายุเท่ากับวิมลขณะนี้ อยากทราบว่าในปีนี้ วิมลมีอายุเท่าใด
7) เมื่อฉันมีอายุเท่ากับอายุปัจจุบันของพ่อ ลูกชายของฉันก็จะมีอายุมากกว่าอายุปัจจุบันของฉัน 7 ปี ส่วนปัจจุบัน ผลรวมของอายุพวกเราทั้ง 3 คนเท่ากับ100 ปีพอดี จงบอกอายุปัจจุบันของฉัน
8) จงหาจำนวนเต็มบวกสองจำนวนซึ่งผลบวกของจำนวนทั้งสองคูณกับผลบวกกำลังสองของจำนวนทั้งสองเท่ากับ 5500 แต่ผลต่างของจำนวนทั้งสองคูณกับผลต่างกำลังสองของจำนวนทั้งสองเท่ากับ 352
9) พ่อค้าผู้หนึ่งตั้งใจว่าจะตัดผ้าในพับออกเป็น 50 ชิ้นเท่าๆกัน แต่ปรากฏว่าเขาตัดผ้าบางชิ้นยาวไป 2 หลา และที่เหลือนอกนั้นตัดสั้นไปครึ่งหลา และเมื่อเขาตัดผ้าครบ 50 ชิ้นแล้ว ยังคงมีผ้าในพับเหลือ 10 หลา อยากทราบว่าพ่อค้าตัดผ้ายาวไปกี่ชิ้น
10) เดชชาติกำหนดวงเงินไว้ 3,600 บาทต่อสัปดาห์เพื่อจ้างคนงานถมดินภายในบริเวณบ้าน โดยทำงานสัปดาห์ละ 6 วัน แต่เมื่อจ้างจริงปรากฏว่าค่าแรงถูกไป จำต้องเพิ่มค่าแรงให้แก่คนงานสูงขึ้นอีก คนละ 5 บาทต่อวัน ด้วยเหตุนี้จึงต้องลดคนงานลงเสีย 4 คนจึงจะทำให้การจ่ายค่าจ้างพอดีกับวงเงินที่ตั้งไว้ จงหาว่าแต่เดิมเดชชาติกำหนดจะจ้างคนงานกี่คน
11) รถไฟขบวนหนึ่งเกิดอุบัติเหตุหลังออกจากสถานีต้นทาง 1 ชั่วโมงและเสียเวลาซ่อมอยู่ 1 ชั่วโมงก่อนออกเดินทางต่อไปได้ แต่ต้องเดินทางต่อด้วยความเร็วเพียง $\frac{3}{5}$ ของความเร็วปกติเท่านั้น ปรากฏว่ารถไฟถึงสถานีปลายทางช้ากว่ากำหนด 3 ชั่วโมง แต่ถ้าอุบัติเหตุเกิดขึ้นไกลกว่าที่เดิม 50 กิโลเมตร รถไฟจะเสียเวลาเพียงชั่วโมงครึ่ง
เราจะบอกระยะทางของรถไฟขบวนนี้ได้หรือไม่ จากข้อมูลที่ให้มานี้
12) ครอบครัวหนึ่งมีพี่น้อง 4 คน อายุแตกต่างกันในช่วง 2 ถึง 16 ปี เมื่อปีที่แล้ว ผลบวกกำลังสองของอายุน้องทั้งสามคนเท่ากับกำลังสองของอายุพี่คนโต แต่ปีหน้าผลบวกกำลังสองของอายุพี่คนโตกับอายุน้องคนเล็กจะเท่ากับผลบวกกำลังสองของอายุน้องสองคนกลาง อยากทราบว่าพี่น้องทั้ง 4 คน แต่ละคนมมีอายุเท่าใด
13) ให้ x และ y เป็นจำนวนเต็มบวกซึ่ง $x+y+xy=71$ และ $x^2y+xy^2=880$ จงหาค่าของ $x^2+y^2$
14) สำหรับแต่ละจำนวนเต็มบวก n เรานิยามให้ $h(n)=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{n}$
จงพิสูจน์โดยไม่ใช้วิธีอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์ว่า $n+h(1)+h(2)+h(3)+...+h(n-1)=nh(n)$ สำหรับ $n=2,3,4,...$
15) สำหรับแต่ละจำนวนเต็มบวก n จงพิสูจน์ว่า $1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-...+\frac{1}{2n-1}=\frac{1}{n}+\frac{1}{n+1}+...+\frac{1}{2n-1}$
16) สำหรับแต่ละจำนวนเต็มบวก n เรากำหนดให้ $S_n=1-2+3-4+...+(-1)^{n-1}n$ จงหา $S_{2000}+S_{2001}$
17) ให้ N แทนเซตของจำนวนนับและ $f\subseteq N\times N$ จงหาค่าของ $f(2547)$ เมื่อ f ถูกกำหนดโดย
\(f(3n)=\cases{1&,n=1\\n+f(3n-3)&,n>1}\)

ให้ $\sqrt{x}=m$ $\ \ \ m\geqslant 0$
$x=m^2$
$\sqrt{x-\sqrt{x}}=\sqrt{m^2-m}=n$ $\ \ \ n\geqslant 0$
$m^2-m=n^2$
${(m-\frac{1}{2})}^2-\frac{1}{4}=n^2$
${(m-\frac{1}{2})}^2-n^2=\frac{1}{4}$
$(m+n-\frac{1}{2})(m-n-\frac{1}{2})=\frac{1}{4}$
ให้ m+n=a และ m-n=b จะได้ a เป็นจำนวนเต็มบวก,b เป็นจำนวนเต็ม
$(a-\frac{1}{2})(b-\frac{1}{2})=\frac{1}{4}$
$2ab=a+b$
$b=\frac{a}{2a-1}$
เนื่องจาก b เป็นจำนวนเต็ม ดังนั้น $\frac{a}{2a-1}$ ต้องเป็นจำนวนเต็ม
$\therefore a=0,1$
$m=0,1$
$x=0,1$

ให้ความยาวด้านทั้งสามของสามเหลี่ยมคือ $x-d,x,x+d$
จากทฤษฏีบทพิธากอรัส
${(x-d)}^2+x^2={(x+d)}^2$
${(x-d)}^2-{(x+d)}^2=-x^2$
$-4xd=-x^2$
$d=\frac{x}{4}$
ดังนั้นด้านทั้งสามยาว $\frac{3}{4}x,x,\frac{5}{4}x$
อัตราส่วนของด้านทั้งสามคือ $\frac{3}{4}x:x:\frac{5}{4}x=3:4:5$

ให้เลขโดดสองหลักคือ x และ y โดย x อยู่ในหลักสิบและ y อยู่ในหลักหน่วย จะได้สมการคือ
$x+y=12$------(1)
$(10x+y)+36=(10y+x)$----->$x-y=-4$------(2)
แก้ระบบสมการได้ $x=4,y=8$
ดังนั้นเลขสองหลักนี้คือ $48$

ให้เลขสามหลักคือ $xyz$ จากโจทย์จะได้สมการ
$100z+10y+x=2(100x+10y+z)+66$------>$98z-10y-199x=66$----(1)
$100y+10x+z=100x+10y+z-180$-------->$x-y=2$-------(2)
$100x+10z+y=100x+10y+z+63$--------->$z-y=7$------(3)
แก้ระบบสมการได้ $x=4,y=2,z=9$
ดังนั้น เลขสามหลักนี้คือ $429$

ให้ x เป็นจำนวนบวก และ y เป็นจำนวนลบ จะได้สมการ
$x-y=2$------>$x=y+2$-----(1)
$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=1$----->$x+y=xy$-----(2)
แทน (1) ใน (2)
$2y+2=y^2+2y$
$y=-\sqrt{2}$
$x=2-\sqrt{2}$
ดังนั้นจำนวนทั้งสองคือ $2-\sqrt{2},-\sqrt{2}$

ให้ปัจจุบัน วิมลมีอายุ x ปี และ มาลีมีอายุ 32 ปี
สมมุติว่าเมื่อ y ปีที่แล้ว มาลีมีอายุเท่ากับวิมลในปัจจุบัน
ดังนั้น จะได้สมการ
$32-y=x$---->$x+y=32$-----(1)
$x-y=\frac{1}{2}x$---->$x-2y=0$----(2)
จาก (1) และ (2)
$x=21\frac{1}{3}$ ดังนั้นวิมลอายุ 21 ปี 4 เดือน

ให้ x,y,z เป็นอายุปัจจุบันของฉัน พ่อ และลูก
สมมุติให้ อีก d ปีข้างหน้า ฉันมีอายุเท่ากับพ่อ จะได้สมการ
$x+d=y$---(1)
$z+d=x+7$---(2)
$x+y+z=100$---(3)
(1)-(2):$y+z=2x+7$---(4)
แทน (4) ใน (3)
$x+2x+7=100$
$x=31$
ดังนั้น ปัจจุบันฉันอายุ 31 ปี

ให้จำนวนทั้งสองคือ a,b จะได้สมการ
$(a+b)(a^2+b^2)=5500$
$a^3+b^3+ab(a+b)=5500$-----(1)
$(a-b)(a^2-b^2)=352$------(*)
$a^3+b^3-ab(a+b)=352$------(2)
ให้ $a^3+b^3=x$ และ $ab(a+b)=y$ แทนใน (1) และ (2) จะได้
$x+y=5500$
$x-y=352$ แก้ระบบสมการได้ $x=2926,y=2574$--->$3y=7722$
$x+3y={(a+b)}^3=10648=22^3$
$a+b=22$---->$b=22-a$ แทนใน (*) จะได้
$(2a-22)(44a-484)=352$
${(a-11)}^2=4$
$a-11=\pm2$
$a=13,9$
$b=9,13$
ดังนั้นจำนวนทั้งสองคือ $9,13$

สมมุติให้ตัดผ้ายาวไป $x$ ชิ้น ผ้าสั้นจะมี $50-x$ ชิ้น ถ้าตัดผ้ายาวเท่าๆกันได้ $50$ ชิ้น สมมุติยาวชิ้นละ $y$ หลา ดังนั้นผ้าทั้งหมดจะยาว $50$y หลา
ผ้ายาวจะยาว $y+2$ หลา ผ้าที่สั้นจะยาว $y-\frac{1}{2}$ หลา
ดังนั้นจะได้สมการ
$x(y+2)+(50-x)(y-\frac{1}{2})+10=50y$
$xy+2x+50y-25-xy+\frac{1}{2}x+10=50y$
$x=6$
ดังนั้นตัดผ้ายาวไป $6$ ชิ้น

สมมุติจ้างคนงาน x คนด้วยค่าแรง y บาท/คน/วัน
สัปดาห์หนึ่งทำงาน 6 วัน จะต้องจ่ายค่าแรงทั้งหมดคือ $6xy$ ดังนั้น $6xy=3600$---->$xy=600$
แต่ถ้าเพิ่มค่าแรงอีกคนละ 5 บาทต่อวันเป็นวันละ y+5 บาท/คน/วัน และลดคนงานเหลือ x-4 คน จะต้องจ่ายทั้งหมด $6(x-4)(y+5)=3600$
ดังนั้น $xy+5x-4y-20=600$---->$5x-4y=20$
แทนค่า $y=\frac{600}{x}$ แล้วจัดรูปจะได้สมการ
$x^2-4x-480=0$
$(x-24)(x+20)=0$
$\therefore x=24$
ดังนั้นเดิมเดชชาติได้จ้างคนงาน 24 คน

ขอลองทำขอ้15ดูแล้วกันไม่รู้จะถูกใจเปล่าเพราะเป็นมือใหม่หัดพิมพ์
มาดูกันเลย
prove
พิจารณา$1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+...+\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n}$
ซึ่งจะเท่ากับ$(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{2n-1}+\frac{1}{2n})$-$2(\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+...+\frac{1}{2n})$....(1)
แล้วก็จัดรูปจะได้สมการที่(1) เท่ากับ$\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\frac{1}{n+3}+...+\frac{1}{2n}$
แล้ว$1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+...+\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n}+\frac{1}{2n}=\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\frac{1}{n+3}+...+\frac{1}{2n}+\frac{1}{2n}$
จะได้$1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+...+\frac{1}{2n-1}=\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\frac{1}{n+3}+...+\frac{1}{n}$
ซึ่งจะเท่ากับโจทย์ตามต้องการอาจจะพิมพ์ผิดนะนี่เป็นข้อความแรกที่เรื่มพิมพ์

ให้ $x+y=A$ และ $xy=B$ จะได้สมการใหม่คือ
$A+B=71$
$AB=880$ ดังนั้นจะได้ว่า $A,B$ เป็นรากของสมการ
$t^2-71t+880=0$
$(t-16)(t-55)=0$
$t=16,55$
ดังนั้น $A=16,B=55$ หรือ $A=55,B=16$
$x^2+y^2={(x+y)}^2-2xy=A^2-2B$
เมื่อ $A=16,B=55$ $\ \ \ x^2+y^2=16^2-2(55)=146$
เมื่อ $A=55,B=16$ $\ \ \ x^2+y^2=55^2-2(16)=2993$
หลังๆเริ่มยากครับ ขอบคุณคุณ prophet สำหรับข้อที่ 15 ครับ

สังเกต $S_1=1\ \ ,S_2=-1\ \ S_3=2\ \ ,S_4=-2\ \ ,S_5=3\ \ ,S_6=-3\ \ ,S_7=4,...$
$S_2+S_3=1$
$S_4+S_5=1$
$S_6+S_7=1$
.
.
.
ดังนั้น $S_{2000}+S_{2001}=1$

$n+h(1)+h(2)+h(3)+...+h(n-1)=n+[1+(1+\frac{1}{2})+(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3})+...+(1+\frac{1}{2}+...+\frac{1}{n-1})$
$=n+[1\cdot(n-1)+\frac{1}{2}(n-2)+\frac{1}{3}(n-3)+...+\frac{1}{n-2}(n-n+2)+\frac{1}{n-1}(n-n+1)]$
$=n+[n(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{n-1})-(1+1+1+...+1)(n-1 ตัว)]$
$=n+n(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{n-1})-n+1$
$=1+n(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{n-1})$
$=n(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{n-1}+\frac{1}{n})$
$=nh(n)$

จากที่กำหนด จะได้ว่า
$n=1\ \ ,f(3)=1$
$n=2\ \ ,f(6)=2+f(3)=3$
$n=3\ \ ,f(9)=3+f(6)=6$
$n=4\ \ ,f(12)=4+f(9)=10$
.
.
.
จะได้ลำดับ $a_n=\frac{n^2+n}{2}$
$2547=3(850)-3$ ดังนั้น $f(2547)=a_{850}=361675$
ที่ติดอยู่คิดไม่ออกคือข้อ 11 และ 12 ครับ
ข้อ 11 ผมคิดว่าไม่น่าจะหาระยะทางได้ครับ ส่วนข้อ 12 ไปไม่เป็นครับ
รบกวนผู้รู้ทีครับ:please:

ข้อ 12 ผมได้ $2,8,16,18$

แต่วิธีคิดยาวสุดลูกหูลูกตาเลยครับ :D

อายุอยู่ในช่วง 2-16 ปีไม่ใช่หรือครับ
คำตอบน่าจะเป็น $3,7,10,12$

โจทย์บอกว่าทั้ง 4 คนมีอายุอยู่ในช่วง 2-16 ปีไม่ใช่เหรอครับ:confused:

อ่า...
ขอแนวคิดด้วยได้มั้ยครับ ท่านหยินหยาง
ผมตั้งสมการ 4 ตัวแปร 2 สมการแล้วไปไม่ถูกครับ:please:

ผมคงแก่แล้วจริงๆ สายตาฝ้าฟาง

ผมอ่านโจทย์เป็น ทั้งสี่คนมีผลต่างอายุในช่วง $2$ ถึง $16$ ปี

มิน่าทำไมยากจัง แต่ก็ดีครับได้โจทย์เพิ่มมาอีกข้อนึง :laugh:

ผมยังคิดวิธีสวยๆ ไม่ออกครับ เพียงแต่ดูเงื่อนไขของสมการแล้วก็แทนค่าเอา ยาวเอาการอยู่เหมือนกัน
แนวคิดคือ
ให้ $a,b,c,d$ เป็นอายุของพี่น้องทั้ง 4 คนเมื่อปี่ที่แล้ว โดยที่ $ 1\leqslant a < b < c < d \leqslant 15$
$a^2+b^2+c^2= d^2 .......................................1$

$(b+2)^2+(c+2)^2= (a+2)^2+(d+2)^2 .................2$

แก้สมการจะได้ว่า
$a^2 = 2(b+c-a-d)$ จะได้ว่า $a$ ต้องเป็นจำนวนคู่
ต่อจากนั้นก็แบ่งกรณีเอา ถ็า $a = 2$แล้ว b, c,d ควรเป็นค่าอะไรบ้าง คู่หรือคี่ โดยดูเงื่อนไขจากโจทย์และสมการที่ให้มา
วิธีที่สั้นและสวยยังไม่มีเวลานั่งคิด เพราะกลัวคิดไม่ออก :D:D

จะบ้าตาย ผมอ่านโจทย์ข้อนี้ผิดไปคนละเรื่องเลย นี่คือโจทย์ข้อนี้ที่เรียบเรียงตามความเข้าใจของผม

กลับมาที่โจทย์จริงๆ ถ้าใช้อสมการจะทำให้แยกกรณีได้น้อยลงครับ

จากเงื่อนไขโจทย์เราจะได้ว่า

$1\leq a\leq 12$

$2\leq b\leq 13$

$3\leq c\leq 14$

$4\leq d\leq 15$

ดังนั้น

$4+\dfrac{a^2+2a}{2}\leq d+\dfrac{a^2+2a}{2}=b+c\leq 27$

ซึ่งจะได้ว่า $a=2,4$ เท่านั้น

Case 1 $a=2$ ได้ระบบสมการ

$b+c=d+4$

$b^2+c^2+4=d^2$

จะได้ $(b,c,d)=(5,14,15),(6,9,11)$

Case 2 $a=4$ ได้ระบบสมการ

$b+c=d+12$

$b^2+c^2+16=d^2$

แต่อันนี้ไม่มีคำตอบ

สรุปว่า อายุของทั้งสี่คนมีได้สองแบบคือ $(3,6,15,16),(3,7,10,12)$

#12

ถ้าจะให้สมบูรณ์ ต้องพิสูจน์ด้วยนะครับว่า $a_n=n^2$

ลองพิสูจน์ดูนะครับ^^

ขอบคุณทุกท่านครับ ไม่ไหวจริงๆครับข้อ 12 รอเวลาเผื่อปิ๊งวิธีดีๆละกันครับ
คือผมลองแทนค่าดูแล้วก็ได้ $\{a_n\}=0,1,4,9,16,...$ ก็จะเห็นได้ง่ายๆว่า $a_n=n^2$
ถ้าคุณ LightLucifer จะกรุณาพิสูจน์ให้ดูจะขอบคุณมากเลยครับ

ขอลงโจทย์เพิ่มเลยละกันนะครับ
แบบฝึกหัด 1.3
จงหารากของสมการในข้อต่อไปนี้
1) $x^4-13x^2+36=0$
2) $\sqrt{x}=x-6$
3) $3y-53\sqrt{y}-18=0$
4) $x^2-\frac{a+b}{ab}x+\frac{1}{ab}=0$
5) $x+\frac{1}{x}=2$
6) $\sqrt{2x+7}-\sqrt{x}=2$
7) $x^2-5x+2\sqrt{x^2-5x+3}=12$
8) $\sqrt{2x^2-7}-x=3$
9) $5a^2+2a+\sqrt{3a^2-4a-6}=2(a^2+3a+9)$
10) $\sqrt{3x^2-7x-30}+\sqrt{2x^2-7x-5}=x+5$
11) $\sqrt{4x^2-7x-15}-\sqrt{x^2-3x}=\sqrt{x^2-9}$
12) $\sqrt{x^2+4x-4}+\sqrt{x^2+4x-10}=6$
13) $\sqrt{\frac{x}{1-x}}+\sqrt{\frac{1-x}{x}}=2\frac{1}{6}$
14) $\sqrt{\frac{a+x}{b+x}}-\sqrt{\frac{b+x}{a+x}}=\frac{3}{2}$
15) $\frac{\sqrt{x+1}+\sqrt{x-1}}{\sqrt{x+1}-\sqrt{x-1}}=\frac{4x-1}{2}$
16) $\sqrt{9x+4}-2\sqrt{x}=\frac{5}{\sqrt{9x+4}}$
17) $\sqrt{2x^2+1}+\sqrt{2x^2-1}=\frac{2}{\sqrt{3-2x^2}}$
18) $\frac{3x-6}{5-x}+\frac{11-2x}{10-4x}=3\frac{1}{2}$
19) ${(x^2+3x-4)}^3+{(2x^2-x-1)}^3={(3x^2+2x-5)}^3$
20) ${(4x^2+x-5)}^3-{(x^2+3x-4)}^3={(3x^2-2x-1)}^3$
ลงไว้ก่อน ช่วงนี้ยังไม่ค่อยว่างเท่าไหร่
ใครพร้อมลุยได้เลยนะครับ:sung:

ขอลองทำข้อง่ายๆแล้วกัน

$(x-3)(x+3)(x-2)(x+2)=0$
$x = \pm 2,\pm 3$

$x-\sqrt{x}-6=0$
$(\sqrt{x}-3)(\sqrt{x}+2)=0$
$\sqrt{x}-3=0 \rightarrow \sqrt{x}=3$
$x=9$

$(3\sqrt{y}+1)(\sqrt{y}-18)=0$
$\sqrt{y}-18=0 \rightarrow y=324$