Nice problem ม.ต้น
 

เหมือน ม.ต้นไม่ค่อยมีคนเล่น มาเพิ่มโจทย์3ข้อ

1.มีจำนวนเต็มบวกที่น้อยกว่า10,000กี่จำนวนที่ผลบวกเลขโดดเป็น25
2.ทอดลูกเต๋า10ลูกพร้อมกัน1ครั้ง จงหาจำนวนวิธีที่จะขึ้นแต้มครบทุกแต้ม
3.มีเก้าอี้10ตัว วางเป็นวงกลม จะจัดสามี-ภรรยา5คู่นั่งเก้าอี้ โดนไม่มีสามีภรรยาคู่ไหนที่นั่งติดกันเลย ได้กี่วิธี

ข้อ 2 ลองให้ $k_{i}$ เป็นจำนวนลูกเต๋าที่ขึ้นแต้ม $i$ จะได้ว่า $k_{1}+k_{2}+...+k_{6}=10$

#3

ข้อ 3. ลองใช้เพิ่มเข้าตัดออกดูครับ

2. ทอดลูกเต๋า 10 ลูกพร้อมกัน 1 ครั้ง จงหาจำนวนวิธีที่จะขึ้นแต้มครบทุกแต้ม

$\binom{6}{1}+\binom{6}{2}+2\binom{6}{2}+\binom{6}{4}+\binom{6}{1}\binom{5}{2}=126$

3.มีเก้าอี้10ตัว วางเป็นวงกลม จะจัดสามี-ภรรยา5คู่นั่งเก้าอี้ โดนไม่มีสามีภรรยาคู่ไหนที่นั่งติดกันเลย ได้กี่วิธี

$\frac{9!}{2}-(\frac{4!2!2!2!2!2!}{2})$



ปล. ไม่แน่ใจครับ เฉลยเท่าไรครับ

ข้อ2ผมงงอ่าาTT

ข้อ2 ผมว่าก็เหมือนกับเราเล่นแค่4ลูกแต่ให้คำนึงถึงเงื่อนไขโจทย์

แต่บอกแล้วว่าไม่แน่ใจทั้ง2ข้อ
ขอให้ดูผู้เชี่ยวชาญเรื่องการเสี่ยงทายอีกทีดีกว่า
แล้วจขกท มีเฉลยรึเปล่า

@9

ผมคิดว่าน่าจะถือว่าเป็น1วิธีรึเปล่าครับ

เหตุผล เพราะเป็นการทอดพร้อมกันในครั้งเดียว ดังนั้นจึงไม่มีการเรียงลำดับ

ไม่ว่าจะ 123456 หรือ 213456 ฯลฯ ก็เป็น 1-6 เหมือนกันครับ หรืออีกนัย ดูเป็นกลุ่มไม่ได้เรียงแถวครับ

ผิดถูกอย่างไรลองแย้งดูนะครับ

ข้อ 1 ขออธิบายเต็มได้ไหมครับ

1.ไม่ค่อยแน่ใจนะครับ

เหมือนไม่ค่อยมีใครเล่นครับ:)มาเพิ่มโจทย์
เป็นTMOครั้งแรกครับ(คิดว่าไม่ยากสำหรับคนบอร์ดนี้ครับ:))

#13 คิดว่ามันไม่ยากสำหรับคนในบอร์ดหรอกครับ แต่คิดว่ามันยากเกินบอร์ด ม.ต้นน่ะสิครับ หรือว่าผมคิดไปเอง

ข้อ6.

$f_{(x)}=\frac{x^7-1}{x-1}$

$f_{(x^7)}=(x^7)^6+(x^7)^5+(x^7)^4+(x^7)^3+(x^7)^2+x^7+1$

$x^7\equiv 1 mod(x^7-1)$

$(x^7)^n\equiv 1^n mod(x^7-1)$

$\therefore $ เศษ $=(6\times 1)+1=7$

4.
$$x=\sqrt{x-\frac{1}{x} } +\sqrt{1-\frac{1}{x} } $$
$$x-\sqrt{x-\frac{1}{x} } =\sqrt{1-\frac{1}{x} } $$
$$x^2+x-\frac{1}{x} -2x\sqrt{x-\frac{1}{x} } =1-\frac{1}{x} $$
$$x^2+x-1=2x\sqrt{x-\frac{1}{x} }$$
$$x-\frac{1}{x}+1=2\sqrt{x-\frac{1}{x} }$$
ให้ $\sqrt{x-\frac{1}{x} }=A$
$$A^2-2A+1=0$$
$$A=1$$
$$\sqrt{x-\frac{1}{x} }=1$$
$$x-\frac{1}{x} =1$$
$$x^2-1=x$$
$$x^2-x-1=0$$
$$x=\frac{1\pm \sqrt{5} }{2}$$
จากเงื่อนไข $x\geqslant 0 $ , $x-\frac{1}{x} \geqslant 0$ และ $1-\frac{1}{x} \geqslant 0$

สามารถใช้ $x=\frac{1+ \sqrt{5} }{2}$ ได้ค่าเดียว

บรรทัด 4 ไป 5 มายังไงเหรอครับ
เอา x หารตลอดแล้ว ทำไมรูทหายได้เหรอครับ

แก้ไขแล้วครับ

Attachment 14012

จาก $cos4A=2cos^{2}2A-1=\frac{1}{3}$

$cos2A=\sqrt{\frac{2}{3}}$

$cos^{8}A-sin^{8}A=(cos^{4}A-sin^{4}A)(cos^{4}A+sin^{4}A)$

$\quad\quad\quad\quad\quad\quad\,\,\,\,=(cos^{2}A-sin^{2}A)(cos^{2}A+sin^{2}A)[cos^{4}A+(1-cos^{2}A)^2]$

$\quad\quad\quad\quad\quad\quad\,\,\,\,=cos2A[2cos^{4}A-(2os^{2}A-1)]$

$\quad\quad\quad\quad\quad\quad\,\,\,\,=cos2A[2(\dfrac{cos2A+1}{2})^2-cos2A]$

$\quad\quad\quad\quad\quad\quad\,\,\,\,=cos2A(\dfrac{cos^{2}2A+1}{2})$

$\quad\quad\quad\quad\quad\quad\,\,\,\,=\sqrt{\frac{2}{3}}(\frac{5}{6})=\frac{5\sqrt{6}}{18} $

เลขไม่สวยเลย

ข้อ2.ให้$x=\frac{a^2}{b^2}$

แล้วได้สมการมาให้แก้$2 x^{12}-21x^8+24x^4-1$

แทนกลับหาค่า$a^4$ และ $b^4$ ได้

แต่ใครมีวิธีที่มันง่ายกว่านี้ไหม

ข้อ3.คิดได้ไม่หมด คือ $ x^3-74x^2+?x-27=0$

ใครรู้บ้างว่าตรงเครื่องหมาย?คือตัวเลขอะไร

อนึ่งข้อสอง นั้นหากแก้ระบบสมการตรงๆ อาจะพบว่า ไม่มีค่า aและ b ที่เป็นจำนวนจริงที่สอดคล้อง

เข้าใจว่าผู้ออกข้อสอบอาจตกหล่นไป

ส่วนวิธีโกงๆหน่อยก็ตามเอกลักษณ์นี้ค่ะ
$(a^6-3a^2b^4)^2+(b^6-3b^2a^4)^2=(a^4+b^4)^3$

คนตั้งโจทย์อาจตั้งมาจากเอกลักษณ์นี้ก็ได้ครับ :great: แต่อาจจะพลาดตรงแทนค่าตัวเลข

สุดยอดครับเป็นวิธีที่ง่ายขึ้นเยอะเลย

คำตอบได้ $ a^4+b^4=3$ พอดี

ข้อ3.ได้เป็น$x^3-74x^2-89x-27=0$


ปล.ไม่ค่อยมั่นใจ

ข้อ 3 ทำยังไงเหรอครับ
ผมใช้สูตร สมการกำลัง 3 น่ะครับ ยาวมากเลย
ได้ $x^3-74x^2-104x-27=0$ ไม่ค่อยมั่นใจครับ

#23
ให้ใช้หลักเรื่องความสัมพันธ์ของรากและสัมประสิทธิ์ของพหุนามครับ

ดูจากค่าที่ได้น่าจะมาถูกทางแล้วแต่อาจจะบวกลบเลขผิดตรงสปส.ของxนะครับ

ผมคิดซ้ำดูแล้วได้-89x เท่าเดิมครับ

อ่า โทษครับๆแทนเลขผิด

ท่านคิดวิธีนี้รึเปล่าครับ
$a+b+c= 5
,ab+bc+ac=4,
abc=3$
(ขี้เกียจใส่วงเล็บ)
$ab^3+bc^3+ac^3 = (ab+bc+ac)(ab^2+bc^2+ac^2)-(a+b+c)(abc)(ab+bc+ac)+3(abc)^2$
$ab^3+bc^3+ac^3 = (4)(-14)-(5)(3)(4)+3(9)$
$= -56-60+27$
ผมไปหาสูตรมา ผมจำไม่ได้ซะด้วย มีวิธีง่ายกว่านี้ไหมครับ

#25
แบบนั้นแหละครับ

Newton's Identity

Shareโจทย์TMCซักข้อครับ
$เขียนเลข1,2,...,99ติดกันเป็น123456789101112...จงหาเศษจากการหารเลขนี้ด้วย45(ผมตอบ9ไม่รู้จะถูกหรือเปล่าครับ)$

คำตอบถูกต้องแล้วครับ

$\because 45=9\cdot 5$

แยกพิจารณา

$123456789101112...9899$ เห็นได้ชัดว่าหารด้วย $5$ เหลือเศษ $4$

จึงได้ว่า $123456789101112...9890$ หารด้วย 5 ลงตัว



$1+2+...+99=4950$ หารด้วย $9$ ลงตัว

$123456789101112...9899$ หารด้วย $9$ ลงตัว

หารด้วย $123456789101112...9890$ หารด้วย $9$ ลงตัว

$\therefore 123456789101112...9890$ หารด้วย $45$ ลงตัว

จึงได้ว่า $123456789101112...9899$ หารด้วย $45$ เหลือเศษ $9$

ข้อนี้เป็นของ ชั้น มัธยม ไหนครับ

แล้วก็มีข้อสอบอีกมั้ยครับ ช่วยเอาลงหน่อยครับ

ผลรวมของเลขโดดของ $123456789101112...9899=10(2\sum_{n = 1}^{9})=900 $

ผลรวมของเลขโดดของ$900=9$ ดังนั้น $123456789101112...9899$ หารด้วย9ลงตัว

จะได้ผลลัพธ์ลงท้ายด้วย1 เมื่อหารด้วย5จะเหลือเศษ1 ซึ่ง1นี้เป็น1ที่มาจากการหารด้วย9มาแล้ว

ดังนั้นเศษที่เกิดจากการหารจำนวนข้างต้นด้วย45จึงเท่ากับ1×9=9 ถูกต้องแล้วครับ:great::great:

หนูสอบของม.1ก็มีข้อนี้ โจทย์ที่จำได้:
$1)\, 2^n=(2+1)(2^2+1)(2^4+1)(2^8+1)...(2^{32}+1)+1,\, n=?$
$2)$หาผลคูณของเลขสองหลักสุดท้ายของค่า $1!+2!+3!+...+2013!$
$3)\,P_1(x)=2x^2-6x+3$ โดย รากคำตอบของ $P_n(x)$ มีค่าเป็น2เท่าของรากคำตอบของ $P_{n-1}(x)$
$\,\,\,\,P_7(x)=x^2-bx+c$ จงหา $b+c$

$1)\, 2^n=(2+1)(2^2+1)(2^4+1)(2^8+1)...(2^{32}+1)+1,\, n=?$

คูณ $(2-1)$ ทั้งสองข้าง

$2^n(2-1)=(2^2-1)(2^2+1)(2^4+1)(2^8+1)...(2^{32}+1)+1=2^{64}-1+1=2^{64}$

$n=64$

$2)$หาผลคูณของเลขสองหลักสุดท้ายของค่า $1!+2!+3!+...+2013!$

1!=1

2!=2

3!=6

4!=24

5!=120

6!=720

7!=5040

8!=40320

9!=362880

10!=3628800

สังเกตว่า $5!,6!,...$ มีเลขหลักสุดท้ายเป็น $0$

จะได้ว่า เลขหลักสุดท้าย$(1!+2!+3!+...+2013!)=$เลขหลักสุดท้าย$(1!+2!+3!+4!)=3$

สังเกตว่า $10!,11!,...$ มีเลขหลักสิบเป็น $0$

เลขหลักสิบ$(1!+2!+3!+...+2013!)=$เลขหลักสิบ$(1!+2!+3!+...+9!)=2+2+2+4+2+8+1=1$

(หลักหน่วยผลบวกมากกว่า 10 จึงเพิ่มหลัก 10 เข้า 1)

ดังนั้น ผลคูณ เป็น $3$

ข้อ Bonus:
ให้ $a_n=1234...n$
Ex. $a_3=123$, $a_{10}=12345678910$
และ $b_n=\overline{a_1a_2a_3...a_n}$
Ex.$b_3=112123$, $b_4=1121231234$
ถามว่า $b_{64}$ เป็นเลขที่มีกี่หลัก

$3)\,P_1(x)=2x^2-6x+3$ โดย รากคำตอบของ $P_n(x)$ มีค่าเป็น2เท่าของรากคำตอบของ $P_{n-1}(x)$
$\,\,\,\,P_7(x)=x^2-bx+c$ จงหา $b+c$

ผลบวกราก $P_1(x)=3$

จากความสัมพันธ์ $P_n(x)$ มีค่าเป็น2เท่าของรากคำตอบของ $P_{n-1}(x)$

จะได้ว่า

ผลบวกราก $P_2(x)=6$

ผลบวกราก $P_3(x)=12$

ผลบวกราก $P_4(x)=24$

ผลบวกราก $P_5(x)=48$

ผลบวกราก $P_6(x)=96$

ผลบวกราก $P_7(x)=192$


ผลคูณราก$P_1(x)=1.5$

จากความสัมพันธ์ $P_n(x)$ มีค่าเป็น2เท่าของรากคำตอบของ $P_{n-1}(x)$

แสดงว่าผลคูณรากย่อมเป็น $4$ เท่า จะได้ว่า

ผลคูณราก $P_7(x)=1.5(4^6)=6144$

$b+c=192+6144=6336$

$b_{64}=a_1+a_2+...+a_{64}$

$a_1=1$

$a_2=2$

...

$a_9=9$

$a_{10}=11$

$a_{11}=13$

...

$a_{64}=9+2(64-9)=9+110=119$

$b_{64}=a_1+a_2+...+a_{64}=(1+2+...+9)+(11+13+...+119)=45+[\frac{64-10+1}{2} ](11+119)=45+(27.5)(130)=3620$

$a_n=1234...n$ เช่น $a_{10}=12345678910$
$b_n\not= a_1+a_2+a_3+...+a_n$ แต่ $b_n=\overline{a_1a_2a_3...a_n}$

$4)$จงทำให้ $\displaystyle{\frac{a-b}{a+b}+\frac{b-c}{b+c}+\frac{c-a}{c+a}+\frac{(a-b)(b-c)(c-a)}{(a+b)(b+c)(c+a)}}$ อยู่ในรูปอย่างง่าย
$5)$ $k$ เป็นจำนวนจริงที่ทำให้ $k(x^2+x+1)+x^2+3x+1=0$ มีรากคำตอบเพียงค่าเดียว k มีได้กี่ค่า?

ทำแบบนี้ได้ไหมครับ แต่ทำไมคำตอบไม่ตรง

$b_{3} = 112123$ มีเลข 1+2+3 ตัว
$b_{4} = 1121231234$ มีเลข 1+2+3+4 ตัว
.
.
$b_{64} = 112123$ มีเลข 1+2+3+...+64 ตัว

$5)$ $k$ เป็นจำนวนจริงที่ทำให้ $k(x^2+x+1)+x^2+3x+1=0$ มีรากคำตอบเพียงค่าเดียว k มีได้กี่ค่า

$(k+1)x^2+(k+3)x+(k+1)=0$

มีรากเดียวแสดงว่า $b^2-4ac=0$

$(k+3)^2-4(k+1)^2=0$

$k^2+6k+9-4(k^2+2k+1)=0$

$-3k^2-2k+5=0$

$3k^2+2k-5=0$

$(3k+5)(k-1)=0$

ดังนั้น $k=-\frac{5}{3} ,1$

ขอโทษค่ะ หนูเข้าใจผิดเอง :blood:

อันนี้ไม่ได้ เพราะ$b_{10}$จะไม่ใช่ 1+2+3+...+10 แต่จะเป็น 1+2+3+...+9+11 (10มีเลขโดด2ตัว)