IJSO ครั้งที่ 11 2557
เฉลย IJSO คณิตศาสตร์ 2557
1. C 2. D 3. A 4. B 5. D 6. B 7. C 8. A 9. B 10. B 11. B 12. B 13. B 14. D 15. A 16. A 17. D 18. D 19.B 20. B 21. C 22. A 23. C 24. ไม่แน่ใจ 25. B ลองดูนะครับ ไว้ค่อยเฉลยเป็นข้อๆ |
เอาข้อ 14 ก่อนแล้วกันนะครับ
พท ของเซ็คเตอร์ = \frac{A}{360}*\pi *r*r ดัวนั้น มุม A = พท ของเซ็คเตอร์*360/(\pi *r^2) จะได้ 3 สมการ A = a*360/(\pi *2^2); B =b*360/(\pi *3^3), C =c*360/(\pi *6^6) มุมภายในสามเหลี่ยมรวมกันได้ 180 องศา 180 = A + B + C = 360*(a/(\pi *4) +b/(\pi*9) + c/(\pi*36)) 1 = 2*(a/(\pi *4) +b/(\pi*9) + c/(\pi*36)) 1 = 2*(9*a + 4*b + c)/36*\pi ดังนั้น 9*a + 4*b + c = 36*\pi /2 = 18*\pi ตอบข้อ D |
มีตัวข้อสอบหรือเปล่าครับ :)
|
13 ไฟล์และเอกสาร
มีข้อสอบนะคะ...แต่เอาลงไม่เป็น.... - -"
เริ่มได้แหล่ะ!!!...แต่ยังขนาดใหญ่ไปอีก!!! |
12 ไฟล์และเอกสาร
ส่วนสุดท้ายค่ะ...^__^ ดีใจทำได้สำเร็จ!!!
|
ขอบคุณคุณกบแง้มกะลา สำหรับข้อสอบครับ. :great:
ข้อ 24. เนื่องจาก $A + B > \frac{\pi}{2} \Rightarrow A > \frac{\pi}{2} - B > 0$ แต่เนื่องจากในจตุภาคที่ 1 ค่าของไซน์เป็นฟังก์ชันเพิ่ม ดังนั้น $\sin A > \sin(\frac{\pi}{2} - B)$ หรือ $\sin A > \cos B$ จึงตอบ ข้อ ง. ครับ. |
รบกวนท่านผู้รู้ทั้งหลาย ช่วยเฉลย ข้อ 12 ให้หน่อยครับผม
|
อ้างอิง:
|
อ้างอิง:
|
1 ไฟล์และเอกสาร
เมื่อ $a= sin44.5\,^{\circ}$ ดังนั้น $a= cos45.5\,^{\circ}$
ดังนั้น $a^2 + b^2 = 1$ (สมบัติของ $sin^2{a} + cos^2{a} = 1$) $\frac{(a+b)(1+a^4+b^4)}{2(1+ab)}$ $=\frac{(a+b)(1+(a^2+b^2)^2-2a^{2}b^2)}{2(1+ab)}$ $=\frac{(a+b)(2-2a^{2}b^2)}{2(1+ab)}$ $=\frac{2(a+b)(1+ab)(1-ab)}{2(1+ab)}$ $=(a+b)(1-ab)$ $=(a+b)({a^2}-ab+b^2)$ $=a^3 + b^3$ |
เฉลย IJSO คณิตศาสตร์ 2557(Dr. Scimath)
1. C 2. D 3. A 4. B 5. D 6. B 7. C 8. A 9. B 13. B 14. D 19.B 21. C 22. A 23. C 25. B มีข้อที่คิดได้ไม่ตรงกันดังนี้ 10. A (หา h, k แล้วพิจารณา ตามความเห็นที่ #15) 11. C (ตามความเห็นที่ #13 ด้านล่างครับ) 12. D (ต้องวาดรูป ตามความเห็นที่#12) 15. B เส้นทะแยงมุมที่ยาว คือ 2.cos (360/4n) เมื่อ n เป็นจำนวนคี่ (วาดรูปให้ดูแล้วตามความเห็นที่#12) 16. D อัตราส่วน คือ 27 : (125-27) : (216-125) = 27 : 98 : 91 17. C (ต้องวาดรูป) 18. A ข้อนี้แปลกๆ ถ้าจะให้ตอบขอเลือกข้อ A เพราะว่า -> h = 0, จะได้พื้นที่ผิวเป็น $\pi r^2$ -> h = r, จะได้พื้นที่ผิวครึ่งทรงกลมเป็น $2\pi r^2$ จะให้ใช้วิธีอินทิเกรทหาพื้นที่ผิวคงไม่เหมาะสำหรับมอต้นนะครับ(ไม่ได้ใช้มา 27-28 ปีแล้ว) -ได้ลงวิธีทำให้แล้วตามความเห็นที่#14 มันลืมเกือบหมดแล้ว 20. A (ส่วนที่พ้นน้ำรองรับมุม 90°, แล้วคิดพื้นที่หน้าตัด ตามความเห็นที่#12) 24. D (ตามที่คุณ gon เฉลย#6) |
1 ไฟล์และเอกสาร
แนบรูปมาให้ดูประกอบครับ
Attachment 15606 $[AOC] = 40$ ตร.หน่วย, $[AOB] = 24$ ตร.หน่วย และ $[APQ]=15 $ ตร.หน่วย ให้ $RO : AO = m : 1$ จะได้ $RO = m×AO$ จะได้ว่า $[ROC] = m×[AOC] = 40m$ และ $[BOR] = m×[AOB] = 24m$ ดังนั้น $[BOC] = [BOR]+[ROC] = 40m+24m = 64m$ และ $ [ABC] = [AOB]+[AOC]+[BOC] = 24+40+64m = 64+64m$ จะได้อัตราส่วน $\frac {AQ}{AB} = \frac {[AOC]}{[AOC]+[BOC]} = \frac {40}{(40+64m)}= \frac {5}{(5+8m)} $ และ $\frac {AP}{AC} =\frac {[AOB]}{[AOB]+[BOC]} = \frac{24}{(24+64m)} = \frac {3}{(3+8m)}$ ดังนั้น $ [APQ] = 15 = [ABC]×(\frac{5}{5+8m})(\frac{3}{3+8m}) = \frac {15(64+64m)}{(5+8m)(3+8m)}$ $(5+8m)(3+8m) = (64+64m)$ --> $64 m^2 = 49$ --> $m = \frac{7}{8}$ ดังนั้น $[BOC] = 64m = 64×7/8 = 56$ ตารางหน่วย |
11. ต้องตอบc ครับ ทั้งหมดมี11รูปดังนี้
5,3,4 10,6,8 13,12,5 15,12,9 17,15,8 20,12,16 25,15,20 25,24,7 26,24,10 29,21,20 30,24,18 |
1 ไฟล์และเอกสาร
ข้อ.18 ให้โดมนี้เป็นส่วนหนึ่งของครึ่งทรงกลมรัศมี R ดังนั้น
$R^2 = (R-h)^2+ r^2 = R^2 - 2Rh + h^2 + r^2$ $2hR = h^2+ r^2 $ --- (1) พื้นที่ผิวด้านนอกของโดมนี้คือ $A = \int_{0}^{\theta _r}2\pi (Rsin \theta)?R\,d\theta = -2\pi R^2 cos \theta [^{cos\theta = (\frac {R-h}{R})}_{\cos\theta = 1} $ $A = -2\pi R^2 (\frac {R-h}{R}-1) = 2\pi R^2 (\frac{h}{R}) = 2 hR \pi = \pi(h^2+ r^2)$ มีรูปประกอบด้านล่าง แต่เขาใช้ a แทน r Attachment 15634 |
ข้อ 10. จากสมการ $y = ax^2 + (2a-1)x + a$
สามารถจัดรูปได้เป็น $y = a(x+\frac{2a-1}{2a})^2 + \frac { 4a-1}{4a}$ จะได้ $h = - \frac{2a-1}{2a} = \frac{1-2a}{2a} \not= -1 $ และ $k = \frac{4a-1}{4a}\not= 1 $ A. ผิดครับ B. $2k+ h = 1$ --> B ถูก C. $(h+1)^2 = h^2+2h+1> 0$ , เพราะ $h \not= -1$ --> C ถูก D. $(k-1)^2 = k^2-2k+1> 0$ , เพราะ $h \not= 1$ --> D ถูก |
1 ไฟล์และเอกสาร
|
รบกวนข้อ 21 ด้วยครับ
1 ไฟล์และเอกสาร
รบกวนท่านผู้รู้อธิบายข้อ 21 ด้วยครับ
|
อ้างอิง:
$$tan 89.9^\circ = \frac{sin(\frac{\pi }{2}-\frac{\pi }{1800}) }{cos(\frac{\pi }{2}-\frac{\pi }{1800})} $$ ประมาณด้วยค่าเชิงอนุพันธ์ $$f(x) = sin x \Rightarrow \acute f (x) = cos x$$ $$f(x) \approx f(x_0) + \acute f (x_0)dx$$ $$sin \frac{\pi }{2} + (cos \frac{\pi }{2})(\frac{-\pi }{1800}) = 1$$ $$g(x) = cos x \Rightarrow \acute g (x) = -sin x$$ $$g(x) \approx g(x_0) + \acute g (x_0)dx$$ $$cos \frac{\pi }{2} + (-sin \frac{\pi }{2})(\frac{-\pi }{1800}) = \frac{\pi }{1800}$$ $$\therefore \frac{sin(\frac{\pi }{2}-\frac{\pi }{1800}) }{cos(\frac{\pi }{2}-\frac{\pi }{1800})} = \frac{1}{\frac{\pi }{1800}} = \frac{1800}{\pi }$$ |
ขอบคุณครับคุณ yellow
|
ข้อ 21 ขอเสริมแบบประมาณค่าง่ายๆ อีกวิธีครับ
tan 89.9° = cot 0.1° = cos 0.1÷ sin0.1 ----(1) เนื่องจากมุม 0.1° = 0.1×$\frac{\pi}{180}$ = $\frac{\pi}{1800}$ มีค่าใกล้ 0° ดังนั้น cos 0.1° ~ 1; sin 0.1° ~ $\frac{\pi}{1800}$ แทนลงในสมการ (1) ได้ tan 89.9° = 1÷ $\frac{\pi}{1800}$ =$\frac{1800}{\pi}$ |
อ้างอิง:
|
อ้างอิง:
จะได้อัตราส่วน $\frac {AQ}{AB} = \frac {40}{(40+64m)}= \frac {5}{(5+8m)} $ และ $\frac {AP}{AC} = \frac{24}{(24+64m)} = \frac {3}{(3+8m)}$ |
อ้างอิง:
หรือพิจารณา $AQ : QB : AB = [AOC] : [BOC] : ([AOC]+[BOC]) = 40 : 64m : (40+64m)$ |
ขอบคุณครับ
รบกวนถามต่อครับ แล้วข้อ 5 นี่ ต้องทำส่วน ในรูป a^2 - b^2 ก่อนรึเปล่าครับ แต่พอคูณเศษด้วย วงเล็บเยอะจนมึนไปเลยครับ |
อ้างอิง:
|
อ้างอิง:
QB ไม่ใช่ด้านบน BOC AB ไม่ใช่ด้านบน AOC+BOC นำมาคิดแบบนี้ได้ด้วยหรือคะ รบกวนคุณ Puriwatt อธิบายเพิ่มเติมอีกนิดค่ะ ขอบคุณค่ะ |
1 ไฟล์และเอกสาร
ข้อ 22 แปลงค่าออกมาได้ตามรูปค่ะ
แต่จะพิจารณาได้อย่างไรว่า ทำไมข้อ A จึงน้อยที่สุด ขอบคุณค่ะ:D:happy: |
อ้างอิง:
เป็นการแปลงจากหลักของยุคลิด ที่ว่าสามเหลี่ยมที่มีความสูงเท่ากัน จะมีขนาดพื้นที่แปรเป็นสัดส่วนโดยตรงตามขนาดของความยาวฐาน ดังนั้นสามเหลี่ยม ACB กับ AOB อยู่บนฐานเดียวกันคือเส้นตรง AB และลากต่อเส้น CO มาตัดกับฐาน AB ที่จุด Q จะสรุปได้ดังนี้ (ให้ความสูงจากจุด C และ O จากเส้นตรง AB เป็น H และ h ตาลำดับ) 1. [AOQ] = AQ×h/2, [ACQ] = AQ×H/2 --> [ACO] = AQ×(H-h)/2 2. [BOQ] = BQ×h/2, [BCQ] = BQ×H/2 --> [BCO] = BQ×(H-h)/2 จะเห็นได้ว่าจะจับคู่ไหนก็ได้อัตราส่วนเดียวกันทั้งหมดครับ |
อ้างอิง:
|
อ้างอิง:
$\frac{a^2(x-b)(x-c)}{(b-a)(c-a)} -\frac{b^2(x-c)(x-a)}{(b-a)(c-b)}+\frac{c^2(x-a)(x-b)}{(c-a)(c-b)}=x^2$ |
อ้างอิง:
ในกรณีที่ $ 0 < a < 1$ นั้น เราพบว่า $a^2 < a < \sqrt{a}$ และ $(1-\sqrt{a}) < (1-a) < (1- a^2)$ และ $ 0 < sin 89° < 1 $ ดังนั้น $ (1 - \sqrt {sin 89°}) < (1- sin 89°) < (1- sin^2 89°)$ และจาก $ 0 < (1-sin^2 89°) < 1$ จะได้ว่า $ (1-sin^2 89°) < \sqrt {1-sin^2 89°} $ |
อ้างอิง:
ความรู้ใหม่เช่นกัน ขอบคุณมากค่ะ |
อ้างอิง:
เก็บเข้าเมโมรี่ทันทีเลย |
ข้อ 6 กรณีไหนที่ข้อ C ไม่เป็นจริงอะครับ
|
อ้างอิง:
|
เวลาที่แสดงทั้งหมด เป็นเวลาที่ประเทศไทย (GMT +7) ขณะนี้เป็นเวลา 12:03 |
Powered by vBulletin® Copyright ©2000 - 2024, Jelsoft Enterprises Ltd.
Modified by Jetsada Karnpracha