|
TMO 15 Discussion
Day 1
1. ให้วงกลมแนบในของ $\Delta ABC$ สัมผัส $BC, CA, AB$ ที่จุด $D, E, F$ ให้ $P, Q$ เป็นจุดกึ่งกลาง $DF, DE$ ให้ $PC$ ตัด $DE$ ที่จุด $R$ และ $BQ$ ตัด $DF$ ที่จุด $S$. (ก) จงแสดงว่า $B, C, P, Q$ อยู่บนวงกลมเดียวกัน (ข) จงแสดงว่า $P, Q, R, S$ อยู่บนวงกลมเดียวกัน 2. จงแสดงว่าไม่มีฟังก์ชัน $f : \mathbb{R}\to\mathbb{R}$ ที่ทำให้ $f(x+f(y)) = f(x) + y^2$ สำหรับทุก $x,y\in\mathbb{R}$. 3. แม่หญิงการะเกดแจกแฟลชไดรฟ์ที่บันทึกข้อมูลลับทางประวัติศาสตร์ ชนิดความจุ $1,2,4,8,16$ และ $32$ GB ชนิดละ $3$ แท่ง ให้บ่าว $6$ คน คนละ $3$ แท่ง โดยแต่ละคนได้รับแฟลขไดรฟ์ชนิดความจุแตกต่างกันทั้งสามแท่ง เพื่อนำไปมอบให้แก่เจ้าเมืองนครราชสีมาเก็บรักษาไว้ในปราสาทหินต่างๆ จงแสดงว่า มีความจุสองชนิดซึ่งบ่าวแต่ละคนได้รับแฟลชไดรฟ์เพียงชนิดใดชนิดหนึ่งเท่านั้น หรือผลบวกความจุดแฟลชไดรฟ์ทั้งสามแท่งของบ่าวแต่ละคนมีค่าแตกต่างกันหมด 4. ให้ $a,b,c$ เป็นจำนวนจริง ที่ไม่เท่ากับ $0$ ซึ่ง $a+b+c=0$ จงหาค่ามากสุดของ $$\frac{a^2b^2c^2}{(a^2+ab+b^2)(b^2+bc+c^2)(c^2+ca+a^2)}$$ 5. จงหาค่าน้อยสุดของ $a+b$ ซึ่ง $a$ และ $b$ เป็นจำนวนเต็มบวกที่หารด้วย $5$ ไม่ลงตัว แต่ $a^5+b^5$ หารด้วย $5^5$ ลงตัว Day 2 6. ให้ $A$ เป็นเซตของสามสิ่งอันดับ $(x,y,z)$ ของจำนวนนับที่ทำให้ $2x^2 = 3y^3 + 4z^4$. (ก) จงแสดงว่าถ้า $(x,y,z)\in A$ แล้ว $x,y,z$ หารด้วย $6$ ลงตัว (ข) จงแสดงว่า $A$ เป็นเซตอนันต์ 7. มีสี $25$ สี นำมาระบายสมาชิกแต่ละตัวของเซต $S=\{1,2,...,61\}$ ต้วละหนึ่งสี โดยไม่จำเป็นต้องใช้ครบทุกสี ให้ $m$ คือจำนวนสับเซตที่ไม่ใช่เซตว่างของ $S$ ที่สมาชิกทุกตัวในสับเซตนี้มีสีเดียวกันหมด จงหาค่าน้อยสุดที่เป็นไปได้ของ $m$ 8. สลาก $2n+1$ ใบ มีจำนวนเต็มบวกที่แตกต่างกันเขียนกำกับไว้ใบละหนึ่งจำนวน โดยผลบวกของจำนวนที่เขียนกำกับสลากทุกใบมีค่ามากกว่า $2330$ แต่ผลบวกของจำนวนที่เขียนกำกับสลาก $n$ ใบใดๆ มีค่าไม่เกิน $1165$ จงหาค่ามากสุดที่เป็นไปได้ของ $n$ 9. ให้วงกลมแนบในของ $\Delta ABC$ สัมผัส $AB$ ที่จุด $D$ ให้ $P$ เป็นจุดบนส่วนของเส้นตรง $BC$ ที่ไม่ใช่จุด $B, C$ ให้ $K, L$ เป็น incenter ของ $\Delta ABP, \Delta ACP$ ตามลำดับ ถ้าวงกลมล้อมรอบรูป $\Delta KPL$ ตัด $AP$ อีกครั้งที่ $Q$ จงแสดงว่า $AD=AQ$ 10. ให้ $a,b,c$ เป็นจำนวนจริงที่ไม่เท่ากับศูนย์ จงแสดงว่าถ้าฟังก์ชัน $f,g : \mathbb{R}\to\mathbb{R}$ สอดคล้องกับ $af(x+y)+bf(x-y)=cf(x)+g(y)$ สำหรับทุกจำนวนจริง $x,y$ ซึ่ง $y>2018$ แล้วจะมีฟังก์ชัน $h:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ ซึ่ง $f(x+y) + f(x-y) = 2f(x) + h(y)$ สำหรับทุกจำนวนจริง $x,y$ |
ดูซอฟท์ลงมากจริงๆครับ
|
วันที่สองมาแล้วนะครับ เชิญทำได้ตามสบายเลยครับ
|
ข้อ 6,
(ก) ชัดเจนว่า $2\mid y$ ทำให้ได้ว่า $y=2k$ สำหรับ $k\in \mathbb{Z}$ ทำไปเรื่อยๆ จะได้ $2\mid x$ นั่นคือ $x=2l$ , $l\in \mathbb{Z}$ และ $2\mid z$ จะได้ $z=2m$ , $m\in \mathbb{Z} $ พิจารณา $2x^2=3y^3+4z^4$ จะได้ $8l^2=24k^3+64m^4$ $\Rightarrow$ $l^2=3k^3+8m^4$ พิจารณาทั้งสองฝั่งในมอดุโล 3 จะได้ $l^2 \equiv 0,1 \pmod{3}$ แต่ $8m^4+3k^3 \equiv 0,2 \pmod{3}$ ทำให้สรุปได้ว่า $l^2 \equiv 8m^4+3k^3 \equiv 0 \pmod{3} \Rightarrow 3\mid l \Rightarrow 6\mid x$ แทนค่าตัวแปรไปเรื่อยๆ จะสรุปได้ว่า $6\mid y$ และ $6\mid z$ ตามต้องการ (ข) แทนค่า $x=54\cdot 6^6\cdot n^6$ $y=6^5\cdot n^4$ $z=6^4\cdot n^3$ จะได้ว่าสมการเป็นจริงทุก $n\in \mathbb{Z} $ จึงได้ $(x,y,z)$ มีไม่จำกัดและ A เป็นเซตอนันต์ตามต้องการ |
ข้อ6. โจทย์เขาบอกว่าสามสิ่งอันดับของจำนวนเต็มครับ
- - ข้อข.) แทน$x=0 ,y=6(-2k^4), z=6(k^3)$ ก็จะได้เช่นเดียวกัน |
เอาไปทำเล่นสนุกๆ ครับ เผื่อมีคนบอกว่าวันแรกยังไม่ยากพอ :)
Day 1 Hell's Edition 1. ให้วงกลมแนบในของ $\Delta ABC$ สัมผัส $BC, CA, AB$ ที่จุด $D, E, F$ ให้ $P, Q$ เป็นจุดกึ่งกลาง $DF, DE$ ให้ $PC$ ตัด $DE$ ที่จุด $R$ , $BQ$ ตัด $DF$ ที่จุด $S$ และ $PC$ ตัด $BQ$ ที่จุด $X$. (ก) จงแสดงว่า $P, Q, R, S$ อยู่บนวงกลมเดียวกัน (ข) จงแสดงว่า วงกลมล้อมรอบสามเหลี่ยม $PQX$ สัมผัสกับวงกลมแนบในสามเหลี่ยม $ABC$ 2. จงแสดงว่าไม่มีฟังก์ชัน $f : \mathbb{R}\to\mathbb{R}$ ที่ทำให้ $$f(x+f(y)) = f(x) + y^{2.018}$$ สำหรับทุก $x,y\in\mathbb{R}$ และ $y>0$ . 3. แม่หญิงกาลกิณีแจกแฟลชไดรฟ์ที่บันทึกวิดิโอลับทางประวัติศาสตร์ ชนิดความจุ $1,\sqrt[3]{2} ,\sqrt[3]{2^2},2,\sqrt[3]{2^4} $ และ $\sqrt[3]{2^5} $ GB ชนิดละ $3$ แท่ง ให้บ่าว $6$ คน คนละ $3$ แท่ง โดยแต่ละคนได้รับแฟลขไดรฟ์ชนิดความจุแตกต่างกันทั้งสามแท่ง เพื่อนำไปมอบให้แก่เจ้าของวิดิโอเพื่อเก็บรักษาไว้ในปราสาทหินต่างๆ จงแสดงว่า มีความจุสองชนิดซึ่งบ่าวแต่ละคนได้รับแฟลชไดรฟ์เพียงชนิดใดชนิดหนึ่งเท่านั้น หรือผลบวกความจุแฟลชไดรฟ์ทั้งสามแท่งของบ่าวแต่ละคนมีค่าแตกต่างกันหมด 4. ให้ $a,b,c$ เป็นจำนวนจริง ที่ไม่เท่ากับ $0$ ซึ่ง $a+b+c=0$ จงหาค่ามากสุดของ $$(1+\frac{a^3}{b^3})(1+\frac{b^3}{c^3})(1+\frac{c^3}{a^3})$$ 5. จงหาค่าน้อยสุดของ $a+b$ ซึ่ง $a$ และ $b$ เป็นจำนวนเต็มบวกที่หารด้วย $2018$ ไม่ลงตัว แต่ $a^5+b^5$ หารด้วย $2018^{2018}$ ลงตัว ไม่ได้เรียงยาก-ง่ายนะครับ ผมกับเพื่อนผม(จิรายุส)เป็นคนดัดแปลงโจทย์พวกนี้ครับๆ |
แม่หญิงกาลกิณี 555555
(ปล.ถ้าพิสูจน์ว่าชุดที่ไม่เหมือนกันมันบวกกันไม่เท่ากันเสมอ ที่เหลือก็ง่ายเลยครับ) _____________________ ฉันวอนให้สายลมพัดลอยผ่านไป |
Hell Edition P1 แทบจะใช้ความรู้ทุกเรื่องใน สสวท 2 แนะนำว่าอย่าอ่านจะดีกว่าครับ
Let $\omega$ be the incircle of $\Delta ABC$. Let $T$ be the point which $\odot(BTC)$ touches $\omega$. Let $M, N$ be the midpoint of $BC, DI_A$ resp., where $I_A$ is the $A$-excenter of $\Delta ABC$. Notice that $MN\perp BC$. Thus $NB=NC$. Moreover, by taking homothety ratio $0.5$ at $D$, we see that $I_AE=I_AF\implies NP=NQ$ thus $N$ is the center of $BCPQ$. Let $K = BC\cap PQ$. It's well known that $PQ$ is the radical axis of $\odot(BIC)$ and $\omega$. Thus $K$ is the radical center of $\omega, \odot(BIC)$ and $\odot(ABC)$. Thus $KB\cdot KC = KD^2$. Moreover, by radical axis on $\odot(BTC), \odot(ABC), \omega$, we deduce that $KT$ touches $\omega$. Now we are ready to prove that $T, P, Q, X$ are concyclic. We invert around $\omega$, which sends $P\to B$, $Q\to C$, $X\to \odot(BIQ)\cap\odot(CIP) = Y$, which is the Miquel Point of self-crossing quadrilateral $BQCP$. Thus $Y$ is the foot from $I$ to $KN$. We have to show that $BTCY$ is cyclic. By ISL 2002 G7, $T$ lies on $DI_A$. Moreover, by homothety, $TD$ bisects $\angle BTC$. Thus $BTCN$ is cyclic. Moreover, note that $\angle BYI = 180^{\circ}-\angle BPX = 180^{\circ}-\angle CQX = \angle CYI$. So $YN$ is the external bisector of $\angle BTC$. Hence $BTCYN$ is cyclic as claimed. Finally, notice that $KT^2 = KB\cdot KC = KP\cdot KQ$. Thus $KT$ is tangent to both of $\omega$ and $\odot(TPQX)$ thus both circles are tangent at $T$ is desired. |
มาทยอยลง Solution (แบบปกติ)
(ก) ให้ $I$ เป็น incenter ของ $\Delta ABC$ เห็นได้ชัดว่า $P\in BI, Q\in CI$ และ $$IP\cdot IB = ID^2 = IQ\cdot IC\implies BCPQ\textrm{ concyclic}$$ ตามต้องการ (ข) จาก $BP\perp DF$ และ $CQ\perp DE$ จะได้ว่า $$\angle SPR = \angle BPC - 90^{\circ} = \angle BQC - 90^{\circ} = \angle SQR \implies PQRS\textrm{ concyclic}$$ ตามต้องการ ให้ $P(x,y)$ แทนข้อความ $f(x+f(y)) = f(x)+y^2$ $P(0,0)\implies f(f(0)) = f(0)$ ทำให้ $P(0,f(0))\implies f(0)=0$ $P(0,y)\implies f(f(y)) = y^2$ เพราะฉะนั้น $f(y^2) = f(y)^2$ $P(x,f(y))\implies f(x+y^2) = f(x) + f(y^2)$ เมื่อแทน $x$ ด้วย $-y^2$ จะพบว่า $f$ เป็นฟังก์ชันคี่ จึงสรุปได้ว่า $f(x+y) = f(x)+f(y)$ สำหรับทุก $x,y\in\mathbb{R}$ แต่ $f(y^2) \geqslant 0$ เพราะฉะนั้น $f(x) = cx$ สำหรับบางค่าคงที่ $c$ ซึ่งขัดแย้ง สังเกตว่า flash drive ที่บ่าวแต่ละคนได้ จะสอดคล้องกับการกระจายเลขฐานสองของผลบวกความจุที่ตัวเองได้รับ เพราะฉะนั้น สมมติให้มีสองคน $P_1, P_2$ ที่ผลบวกความจุเท่ากัน จะพบว่า ทั้งสองคนต้องได้ flash drive เป็นเซตเดียวกัน เราดูขนาดความจุอันหนึ่ง ซึ่งทั้งสองคนมีเหมือนกัน ให้ $P_3$ เป็นอีกคนที่ถือ flash drive ขนาดเท่านี้ สังเกตว่า จะต้องมี flash drive แบบนึงที่ $P_1, P_2, P_3$ ไม่มี (เพราะใช้ไปแค่ $5$ แบบ) ดังนั้น เงื่อนไขแรกของโจทย์จึงต้องเป็นจริงตามต้องการ สังเกตว่าเปลี่ยน $(a,b,c)$ เป็น $(-a,-b,-c)$ ไม่เกิดการเปลี่ยนแปลงใดๆ เพราะฉะนั้น WLOG $a,b>0$ แต่ $c<0$ จากเงื่อนไข $a+b+c=0$ จะได้ $a^2+ab+b^2 = b^2+bc+c^2 = c^2+ca+a^2$ เพราะฉะนั้น $$\begin{align*} \frac{a^2b^2c^2}{(a^2+ab+b^2)(b^2+bc+c^2)(c^2+ca+a^2)} &= \frac{(ab(a+b))^2}{(a^2+ab+b^2)^3} \\ &\leqslant \frac{(ab(a+b))^2}{\left(\frac{3}{4}(a+b)^2\right)^3} \\ &\leqslant \frac{\frac{(a+b)^6}{16}}{\frac{27}{64}(a+b)^6} \\ &= \frac{4}{27} \end{align*}$$ Equality Case เกิดเมื่อ $(a,b,c) = (1,1,-2)$ ทำให้คำตอบคือ $\boxed{\frac{4}{27}}$ จะแสดงว่า $5^5\mid a^5+b^5\iff 625\mid a+b$ เห็นได้ชัดว่า $5\mid a^5+b^5\implies 5\mid a+b$ ต่อไปจัดรูป $$\begin{align*} a^5+b^5 &= (a+b)(a^4-a^3b+a^2b^2-ab^3+b^4) \\ &= (a+b)((a+b)(b^3-2ab^2+3a^2b-4a^3) + 5a^4) \end{align*}$$ สังเกตว่า $b^3-2ab^2+3a^2b-4a^3\equiv 10b^3\equiv 0\pmod 5$ ดังนั้น $25\mid (a+b)(b^3-2ab^2+3a^2b-4a^3)$ แต่ $25\nmid 5a^4$ ดังนั้น $a^4-a^3b+a^2b^2-ab^3+b^4$ หารด้วย $5$ ลงตัว แต่หารด้วย $25$ ไม่ลงตัวเสมอ เพราะฉะนั้น $5^5\mid a^5+b^5\iff 625\mid a+b$ ตามต้องการ นั่นคือคำตอบคือ $\boxed{625}$ |
ขอลง Hint ทุกข้อไว้นะครับ [แบบปกติ]
ปีนี้ข้อสอบง่ายกว่าเดิมเยอะเลย (ยกเว้นข้อ 10 นะ) DAY1 ไล่มุม มีหลายวิธี แต่วิธีที่ผมทำนะ - $f$ onto - $f(x+f(y)) \ge f(x)$ จำนวนเต็มทุกตัวจะมี presentation ใน base 2 เพียงแบบเดียว $c = -a-b$ $5 \mid a^4-a^3b+a^2b^2-ab^3+b^4$ but $25 \nmid a^4-a^3b+a^2b^2-ab^3+b^4$ DAY 2 ก. check $\mod 2,3,4,8$ ข. $(x,y,z) \in A \rightarrow (6^{6}x,6^{4}y,6^{3}z) \in A$ สมมติว่าเป็นการจัดที่ได้ค่าน้อยที่สุด แล้วใช้ $2^{n+1}+2^{n-1} > 2^n + 2^n$ $A$ คือผลบวก $n+1$ ใบที่น้อยที่สุด $B$ คือผลบวก $n$ ใบที่มากที่สุด จะได้ว่า $A>B$ หาค่าต่ำสุดของ $a_1$ เมื่อ $a_1$ เป็นไพ่ใบที่น้อยที่สุด $\angle KPL = 90^\circ$, ไล่ด้าน 10 ติดปัญหาหน่อย เดี๋ยวลบก่อนครับ |
Solution 6-9
(ก) ขั้นแรกจะแสดงว่า $3\mid x,y,z$ สังเกตว่า $3\mid 2x^2-4z^4\implies z^4\equiv 2x^2\pmod 3$ ซึ่งเกิดขึ้นได้ก็ต่อเมื่อ $3\mid x, z$ เพราะฉะนั้น $9\mid 2x^2-4z^4=3y^3\implies 3\mid y$ ตามต้องการ ต่อไป จะแสดงว่า $2\mid x,y,z$ สังเกตว่า $2\mid 2x^2-4z^4 =3y^3\implies 2\mid y$ เพราะฉะนั้น $4\mid 3y^3+4z^4 = 2x^2\implies 2\mid x$ ดังนั้น $8\mid 2x^2+3y^3 = 4z^4\implies 2\mid z$ ตามต้องการ (ข) สังเกตว่า $(54t^6, 6t^4, 6t^3)\in A$ เพราะฉะนั้น $A$ เป็นเซตอนันต์ตามต้องการ ให้สีที่ $i$ ปรากฎในตัวเลข $a_i$ ตัว เพราะฉะนั้น $a_1+a_2+...+a_{25}=61$ เห็นได้ชัดว่า $$m = (2^{a_1}-1) + (2^{a_2}-1) + ... + (2^{a_{25}}-1)$$ ต่อไปจะใช้เทคนิค smoothing พิสูจน์ว่าค่าต่ำสุดของ $m$ จะเกิดขึ้นก็ต่อเมื่อ $(a_1,a_2,...,a_{25})$ มีแค่ $2$ และ $3$ เท่านั้น สังเกตว่าถ้ามี $a,b\in \{a_1,a_2,...,a_{25}\}$ ที่ $a-b\geqslant 2$ แล้ว เราสามารถเปลี่ยน $(a,b)$ เป็น $(a-1, b+1)$ ซึ่งทำให้ค่า $m$ เปลี่ยนเป็น $$\begin{align*} m' &= m + (2^{a-1}-2^a) + (2^{b+1}-2^b) \\ &= m -2^{a-1} + 2^b \\ &< m \end{align*}$$ ซึ่งน้อยกว่าเดิม เพราะฉะนั้น การที่ $m$ จะน้อยสุดนั้น ทุกสองพจน์ใดๆ ของลำดับ $a_1,a_2,...,a_{25}$ จะต้องต่างกันไม่เกิน $1$ แต่ผลบวกต้องเป็น $61$ เพราะฉะนั้น ลำดับนี้ต้องประกอบไปด้วย $2,3$ เท่านั้น แก้สมการได้ไม่ยากว่าต้องมี $2$ ทั้งหมด $14$ ตัว และ $3$ ทั้งหมด $11$ ตัว เพราะฉะนั้น คำตอบคือ $14\cdot 2^2 + 11\cdot 2^3 - 25 = \boxed{119}$ คำตอบคือ $n=10$ ซึ่งสามารถสร้างได้โดยใช้ $101,102,...,121$ ต่อไปจะแสดงว่ามากสุด ให้หมายเลขสลากเป็น $a_1 > a_2 >... > a_{2n+1}$ สังเกตว่า $ a_{n+i+1}\leqslant a_i- n+1$ สำหรับทุก $i$ เพราะฉะนั้น $$\begin{align*} 2331 &\leqslant (a_1+a_2+...+a_n) + (a_{n+1}) + (a_{n+2}+a_{n+3} +...+a_{2n+1}) \\ &\leqslant a_{n+1} + (a_1+a_2+...+a_n) + [(a_1-(n+1)) + (a_2-(n+1)) +...+ (a_n -(n+1))] \\ &= a_{n+1} + 2(a_1+a_2+...+a_n) - n(n+1) \\ &\leqslant a_{n+1} + 2330 - n(n+1) \end{align*}$$ เพราะฉะนั้น $a_{n+1} \geqslant n(n+1)$ ดังนั้น $a_{n+1-i}\geqslant n(n+1) + i$ สำหรับทุก $i=1,2,...,n$ เพราะฉะนั้น $$\begin{align*} 1165 &\geqslant a_1+a_2+...+a_n \\ &\geqslant (n(n+1)+1) + (n(n+1)+2) + (n(n+1)+3) + ... + (n(n+1)+n) \\ &= \frac{(n(2n^2+3n+1)}{2} \end{align*}$$ เพราะฉะนั้น $n\leqslant 10$ ตามต้องการ ให้ $X, Y$ เป็น projection จาก $K, L$ ลง $AP$ ให้ $Q'$ เป็นจุดบน $AP$ ที่ทำให้ $PX = Q'Y$ จะแสดงว่า $Q=Q'$ จาก $\angle KPL = 90^{\circ}$ จะได้ $$\begin{align*} \Delta KPX\sim \Delta PLY &\implies \frac{KX}{PY} = \frac{PX}{LY} \\ &\implies \frac{KX}{Q'X} = \frac{Q'Y}{LY} \\ &\implies \Delta KQ'X \sim\Delta Q'LY \end{align*}$$ เพราะฉะนั้น $\angle KQ'L = 90^{\circ}\implies Q'=Q$ ตามต้องการ สุดท้ายนี้ สังเกตว่า $$\begin{align*} AQ &= AP - PX - PY \\ &= AP - \frac{AP+BP-AB}{2} - \frac{AP+CP-AC}{2} \\ &= AP- \frac{2AP + BC - AB- AC}{2} \\ &= \frac{AB+AC-BC}{2} \end{align*}$$ ดังนั้น $AQ=AD$ ตามต้องการ |
Solution ข้อ 10 แก้ใหม่แล้ว
$$af(x+y)+bf(x-y)=cf(x)+g(y); y > 2018 \quad ...(0)$$ $$af(x+2y)+bf(x-2y)=cf(x)+g(2y) \quad ...(1)$$ ได้ไม่ยากว่า $$a^2f(x+2y)+b^2f(x-2y)=(c^2-2ab)f(x)+g(y)(a+b+c) \quad ...(2)$$ จาก (1),(2) $$(a^2-ab)f(x+2y)=(c^2-2ab-ac)f(x)+h_1(y) \quad ...(3)$$ เมื่อ $h_1(y) = g(y)(a+b+c)-g(2y)$ $$(a^2-ab)f(x+4y)=(c^2-2ab-ac)f(x)+h_2(y) \quad ...(4)$$ เมื่อ $h_2(y) = h_1(2y)$ จาก (3),(4) $$(a^2-ab)(f(x+4y)-f(x+2y))=h_2(y)-h_1(y)$$ Case 1. If $a \neq b$ then $$f(x+4y)-f(x+2y)=h_3(y)$$ เมื่อ $h_3(y) = \dfrac{h_2(y)-h_1(y)}{a^2-ab}$ จะได้ไม่ยากว่า $$ f(x+2y)+f(x-2y)=2f(x)+h_4(y)$$ เมื่อ $h_4(y)=2h_3(y)$ Case 2. If $a=b$ พิจารณาสมการที่ 3 $$0=(c^2-2a^2-ac)f(x)+h_1(y)$$ $c=2a$ or $c=-a$ or $f(x)$ is constant Case 2.1 If $c=2a$ พิจารณาสมการที่ 1 $$f(x+2y)+f(x-2y)=2f(x)+h_5(x)$$ เมื่อ $h_5(x)=\dfrac{g(2y)}{a}$ Case 2.2 If $c=-a$ พิจารณาสมการที่ 1 $$f(x+6y)=f(x)$$ จะได้ว่า $f(x)$ is constant Case 2.3 $f(x)$ is constant -> trivial Conclusion ดังนั้นตอนนี้เราได้ว่า $$f(x+y)+f(x-y)=2f(x)+h(y)$$ สำหรับ $y > 4036$ แล้ว ขยายเป็น $y \in \mathbb{R}$ ไม่ยากแล้วครับ |
อ้างอิง:
ไอเดียตรงส่วนนั้นมันมีปัญหาอะไร เพราะเหมือนว่า solution นี้ไม่ได้ใช้ lemma อันนั้นแล้ว |
โทษทีครับ ติดงานที่มหาลัย ;_; อาจจะง่ายกว่าวันแรกครับ 555
Day 2 Hell's Edition 6. ให้ $p,q,r$ เป็นจำนวนเฉพาะที่แตกต่างกันและ $A$ เป็นเซตของสามสิ่งอันดับ $(x,y,z)$ ของจำนวนนับที่ทำให้ $px^p = qy^q + rz^r$. จงแสดงว่า $A$ เป็นเซตอนันต์ 7. มีสี $25$ สี นำมาระบายสมาชิกแต่ละตัวของเซต $S=\{1,2,...,2561\}$ ต้วละหนึ่งสี โดยไม่จำเป็นต้องใช้ครบทุกสี ให้ $m$ คือจำนวนสับเซตที่มีสมาชิกเป็นจำนวนคู่โดยไม่ใช่เซตว่างของ $S$ ที่สมาชิกทุกตัวในสับเซตนี้มีสีเดียวกันหมด จงหาค่าน้อยสุดที่เป็นไปได้ของ $m$ 8. ให้ $k$ เป็นจำนวนนับ สลากกินแบ่ง $2n+1$ ใบ มีจำนวนเต็มบวกที่แตกต่างกันเขียนกำกับไว้ใบละหนึ่งจำนวน โดยผลบวกของจำนวนที่เขียนกำกับสลากกินแบ่งทุกใบมีค่ามากกว่า $x$ แต่ผลบวกของจำนวนที่เขียนกำกับสลากกินแบ่ง $k$ ใบใดๆ มีค่าไม่เกิน $\frac{kx}{2n}$ จงหาค่ามากสุดที่เป็นไปได้ของ $n$ ในรูปของ $x,n$ 9. ให้วงกลมแนบในของ $\Delta ABC$ สัมผัส $AB$ ที่จุด $D$ และ $AC$ ที่ $E$ ให้ $P$ เป็นจุดบนส่วนของเส้นตรง $BC$ ที่ไม่ใช่จุด $B, C$ ให้ $K, L$ เป็น incenter ของ $\Delta ABP, \Delta ACP$ ตามลำดับ ถ้าวงกลมล้อมรอบรูป $\Delta KPL$ ตัด $AP$ อีกครั้งที่ $Q$ ให้ $\Gamma$ เป็นวงกลมล้อมรอบ $QED$ จงแสดงว่า $\Gamma$ และวงกลมล้อมรอบ $KPL$ สัมผัสกัน ก็ต่อเมื่อ วงกลมแนบในของรูปสามเหลี่ยม $ ABP,ACP$ มีรัศมีเท่ากัน 10. เหมือนเดิมครับ มันยากอยู่แล้ว (หมดไอเดียในการทำให้ยากละครับ 55555) |
อ้างอิง:
Let $k=2.018,c=f(0)$ the equation becomes $f(x+f(y))=f(x)+y^k$ $P(x,0):f(x+c)=f(x)\Longrightarrow f(c)=c$ $P(x,c):f(x)=f(x+c)=f(x)+c^k\therefore f(0)=c=0:P(0,x)\Longrightarrow f(f(x))=x^k$ see that $f(f(1))=1$ $$(x+f(y))^k=f(f(x+f(y)))=f(y^k+f(x))=f(y^k)+x^k...(m)$$ replace $x=0$ in the above equation we have $\displaystyle f(y^k)=f(y)^k$ replace $x=1,y=f(1)$ in the equation $(m)$ we have $2^k=2$ which is impossible since $k\not =1$ |
สวัสดีครับ ผมไม่ได้เล่น Mathcenter มานานเลย 555
วันนี้จะมาแนะนำ InfinityDots ให้ชาว Mathcenter รู้จักครับ กลุ่ม InfinityDots เป็นกลุ่มของนักเรียนผู้แทนประเทศไทย และค่ายฟอสซิล (สสวท. 2) ครับ ส่วนใหญ่เราจะ active บนเว็บ AoPS มากกว่า ใครที่เล่น AoPS ด้วยอาจจะรู้จักพวกเราจาก InfinityDots MO ทั้งสองครั้ง ช่วงนี้กลุ่ม InfinityDots ที่ผมเป็นสมาชิก ได้ทำเว็บไซต์ของเราเพื่อลงโจทย์ข้อสอบเก่าในประเทศไทย ลงโจทย์ที่น่าสนใจที่เราเจอ และลงบทความต่างๆ จากพวกเราเอง โดยล่าสุดเราได้เขียนข้อคิดเห็นและวิธีทำของพวกเราสำหรับโจทย์ TMO 15 ครับ ภาษาไทย English ตัวเว็บไซต์ของ InfinityDots ดูได้ที่นี่ครับ ภาษาไทย English ฝากติดตามเว็บไซต์ของพวกเราด้วยนะครับ |
อ้างอิง:
|
| เวลาที่แสดงทั้งหมด เป็นเวลาที่ประเทศไทย (GMT +7) ขณะนี้เป็นเวลา 03:20 |
Powered by vBulletin® Copyright ©2000 - 2024, Jelsoft Enterprises Ltd.
Modified by Jetsada Karnpracha