Domain & Range T_T
 

I have just studied relations : Domain and Range Mr. Metree Sritongtae

Find Domain and Range

1. $r= \left\{\,\right. (x,y) \in R \times R \left|\,\right. y= \frac{1}{\sqrt{4-9x^2} } \left.\,\right\} $

2. $r=\left\{\,\right. (x,y) \in R \times R \left|\,\right. \left|\,\right. x\left|\,\right. + \left|\,\right. y\left|\,\right. = 1 \left.\,\right\} $

3.$ r = \left\{\,\right. (x,y) \in R \times R \left|\,\right. y = \frac{1}{x^2-2x-3} \left.\,\right\} $

4.$ r = \left\{\,\right. (x,y) \in R \times R \left|\,\right. y= \frac{3}{4-\left|\,\right. x\left|\,\right. } \left.\,\right\} $

5. $ r = \left\{\,\right. (x,y) \in R \times R \left|\,\right. y=\sqrt{x^2+16}\left.\,\right\} $

6. $ r = \left\{\,\right. (x,y) \in R \times R \left|\,\right. \sqrt{x+1}+\sqrt{y-1} = 3 \left.\,\right\} $

7. $ r = \left\{\,\right. (x,y) \in R \times R \left|\,\right. y=\frac{-4}{\sqrt{9-\left|\,\right. x\left|\,\right. } }\left.\,\right\} $

8.$ r = \left\{\,\right. (x,y) \in R \times R \left|\,\right. y=\frac{3x\left|\,\right. x\left|\,\right. }{x^2}\left.\,\right\}$

ไม่แน่ใจเหมือนกันครับ

จาก $\sqrt{a} > 0$ (เฉพาะส่วน)
$y^2 = \frac{1}{\sqrt{4-9x^2} }$
$4-9x^2 > 0$
$\frac{1}{(3x-2)(3x+2)} < 0$
$(3x-2)(3x+2) <0$ $(x \not= \frac{2}{3} , \frac{-2}{3})$
$D_r=(\frac{-2}{3},\frac{2}{3})$

หา $R_r$
ได้ว่า $\frac{4y^2-1}{y^2} > 0$
$y^2 \not= 0$
$R_r = (\frac{1}{2},\infty )$ :sweat::sweat:

$\left|\,\right. a \left|\,\right. \geqslant 0$
$\left|\,\right. y\left|\,\right. = 1-\left|\,\right. x\left|\,\right. $
$1-\left|\,\right. x\left|\,\right.
\left|\,\right. x\left|\,\right. \geqslant 0$
$x = [-1,1]$
$y = [-1,1]$

$D_r = R_r$

ข้อสองอ่ะคับ

ถ้าลองวาดกราฟแล้วจะได้ จุดตัดแกน x คือ (1,0) กับ (-1,0) จุดตัดแกน y คือ (0,1) กับ (0,-1) จะได้กราฟรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสช่ายป่ะ

ถ้างั้นโดเมนก้อน่าจะเปน ปิด-1,1 เรนจ์ก้อเท่ากับโดเมน

ยังงั้นป่ะ

ถ้าผิดอย่าว่ากันนะ

From$x^2-2x-3 \not= 0$
$(x-3)(x+1) \not= 0$
$x \not= 3,-1$

$D_r = R-(\left\{\,\right. 3\left.\,\right\} \cup \left\{\,\right. -1\left.\,\right\} )$

หา $R_r$

$\frac{1+3y}{y}= x^2-2x$
$\frac{1+3y}{y}+1 = (x-1)^2$
$\frac{1+4y}{y} \geqslant 0$
$y(4y+1) \geqslant 0$ $y \not= 0$
$(-\infty ,\frac{-1}{4}] \cup (0,\infty )$

4. $D_r=\mathbb{R} -\left\{-4,4\right\},R_r=\mathbb{R}-\left\{0\right\} $
5. $D_r=\mathbb{R},R_r=\left[4,\infty\right)$
6. $D_r=\left[-1,8\right] ,R_r=\left[1,10\right] $
7. $D_r=\left(-9,9\right) ,R_r=\left(-\infty,-12\right] $
8. $D_r=\mathbb{R}-\left\{0\right\},R_r=\left\{-3,3\right\} $

ช่วยเช็คกันให้ด้วยนะครับ :please:

ขอบคุณมากเลยครับ ตอนนี้ผมได้หมดแล้ว

ข้อ 3 อ่ะคับ
เรนจ์ผมก้อก้อได้เหมือนกันกับน้อง คือ ต้องไม่เปน 0

ลองดูกราฟจาก GSP และกัน



คือ เรนจ์จากกราฟมันจาเข้าใกล้ 0 ทุกที ก้อแสดงว่ามันคงมีโอกาสเป็น 0 ช่ายมั้ย

แต่ตอนผมคิดแบบพีชคณิตนะ คือ วายเท่ากับเศษหนึ่งส่วนอารายไม่รุ้ มันไม่มีโอกาสเปน 0

ก้อเรยเอาส่วนนี้ออกแต่ทำไมกราฟมันออกมาแบบนี้ล่ะครับ

ผู้รู้ช่วยตอบทีเหอะ

ผมไม่ค่อยเข้าใจการเขียนกราฟความสัมพันธ์ิอะครับ

อ่านแล้วยังงงๆ

ช่วยหน่อยครับ

1.$ r = \left\{\,\right. (x,y) \in R \times R \left|\,\right. y \leqslant x^2 และ x+y \leqslant 3 \left.\,\right\} $

2. $ r = \left\{\,\right. (x,y) \in R \times R \left|\,\right. x^2+y^2 \leqslant 9 และ x^2-y^2 \geqslant 1 \left.\,\right\} $

3. $ r = \left\{\,\right. (x,y) \in R \times R \left|\,\right. \left|\,\right. x\left|\,\right. +\left|\,\right. y\left|\,\right. \leqslant 2 และ \left|\,\right. x\left|\,\right. -\left|\,\right. y\left|\,\right. \leqslant 1 \left.\,\right\}$

4.$ r = \left\{\,\right. (x,y) \in R \times R \left|\,\right. y\leqslant \sqrt{x} $

กำหนดให้ $n(A) = 3$ และ$ n(B) = 4$

(1.2) จำนวนความสัมพันธ์จาก A ไป B ที่โดเมนเป็น A มีทั้งหมดกี่เซต เฉลยตอบ ($153$) เซต
(1.3) จำนวนความสัมพันธ์จาก B ไป A ที่โดเมนเป็น B มีทั้งหมด กี่เซต เฉลยตอบ($2401$) เซต
(1.4) จำนวนความสัมพันธ์ภายใน A ที่โดเมนเป็น A มีทั้งหมด กี่เซต เฉลยตอบ ($343$) เซต

กำหนดให้ $A = {a_1, a_2, a_3, ..., a_m} , B = {a_1, a_2, a_3, ..., a_k}$ โดยที่ $m < k$
ถ้า $(A × B)∩(B × A) = (A ∩ B)×(B ∩ A)$ แล้ว$ n [(A × B)∪(B × A)] $มีเท่าใด

$ r = \left\{\,\right. (x,y) \in R \times R \left|\,\right. x^2+y^2 -6x+4y - 3 =0\left.\,\right\} $
หา โดเมน และเรนจ์
ช่วยหน่อยครับ ขอด่วน เลยครับ ขอวิธีคิดหน่อยครับ
เหอๆ

ผมขอโทดคับ เรื่องกราฟ
โทรถามจานมามะกี้เขาบอกว่า มันแค่เข้าใกล้ 0 แต่ไม่เปน 0 เพราะถ้ามันเป็นศูนย์ มันก้อต้องเลยมาเรื่อยๆจิงมั้ย

ขอโทดคับ

ชอบสำเร็จความคิดด้วยตัวเองอีกแล้วเรา
อิอิ

โจทย์จากe-bookนี่ครับ ลองดูโจทย์ดีๆครับ เขาถามว่าข้อไหนถูกครับ

1.2 เซต$A$มีสมาชิก 3ตัว ส่วนเซต$B$มีสมาชิก 4 ตัว ความสัมพันธ์จาก$A$ไป$B$มีได้ 12 คู่ลำดับ($3\times 4$)
ความสัมพันธ์เริ่มตั้งแต่มีสมาชิก1คู่ลำดับจนถึง12 คู่ลำดับ
1คู่ลำดับมีได้ 12 เซต
2คู่ลำดับมีได้ 66 เซต.....ถ้าเอาความรู้เรื่องวิธีการนับก็เท่ากับ $C_{12,2} = \frac{12!}{2!10!} $
3คู่ลำดับมีได้$C_{12,3} =\frac{12!}{3!9!} =220$แบบ
ทำแบบนี้จนได้ครบ12คู่ลำดับ..แล้วเอาจำนวนแบบมาบวกกันมันมีสูตรครับว่า ความสัมพันธ์จาก$A$ไปยัง$B$ เท่ากับ$2^{n(A\times B)}$ มันแปลงจากสูตรทวินามที่ว่า$2^n=C_{n,0}+C_{n,1}+C_{n,3}+...+C_{n,n}$
$n(A\times B)=n(A)\times n( B)$
ข้อนี้ต้องตอบว่ามีได้$2^{12}$
1.3จำนวนความสัมพันธ์จาก B ไป A $n(B\times A)=n(B)\times n( A) = 3\times 4 =12$
ข้อนี้ตอบ$2^{12}$
1.4 $n(A\times A)=n(A)\times n( A) = 3\times 3 =9$
จำนวนความสัมพันธ์ภายใน A เท่ากับ$2^9$

จำนวนสมาชิกของ$A$น้อยกว่า$B$ แสดงว่า$A\subset B$ ดังนั้น$A\cup B=B$ และ$A\cap B=A=B\cap A$
ถ้า $(A × B)∩(B × A) = (A ∩ B)×(B ∩ A)$ แล้ว$(A × B)\cup (B × A) = (A \cup B)×(B \cup A) =B\times B$
จำนวนสมาชิกของ$B\times B$ =$n(B)\times n(B) = k^2$.....น่าจะสรุปแบบนี้ใช่ไหม...แต่ผมว่าไม่ใช่
$A = \left\{\,\right. a_1, a_2, a_3, ..., a_m\left.\,\right\} $
$B = \left\{\,\right. a_1, a_2, a_3, ...,a_m,$ $\overbrace{a_{m+1},...,a_k}^{k-m จำนวน}$ $\left.\,\right\} $
ดังนั้น$A\times B$ และ $B\times A$ มีสมาชิกซ้ำกันเท่ากับ$m^2$ ต้องนำไปลบออก เพราะมันถูกนับซ้ำ ลองนึกถึงเรื่องเซต
$n(A\cup B)=n(A)+n(B)-n(A\cap B)$
$ n [(A × B)∪(B × A)] =n(A × B)+n(B × A)-n((A × B)∩(B × A)) =2mk-m^2$
$n[(A × B)∩(B × A)] = n[(A ∩ B)×(B ∩ A)]$ $\rightarrow n(A\cap B)=n(B\cap A)= n(A)=m$
จริงไหมครับ.....

จริงๆข้อนี้เป็นสมการวงกลมครับ
$ x^2+y^2 -6x+4y - 3 =0$
$ x^2-6x+y^2 +4y - 3 =0$
$ x^2-2(3)x+3^2+y^2 +2(2)y+2^2 - 3-3^2-2^2 =0$
$(x-3)^2+(y+2)^2 = 16 =4^2 $

สมการวงกลมนี้มีจุดศูนย์กลางที่จุด(3,-2) มีรัศมี 4 หน่วย
ดังนั้นจะได้
โดเมนคือ $\left[\,\right. -1,7\left.\,\right] $
เรนจ์คือ $\left[\,\right. -6,2\left.\,\right] $
ถ้าจะทำอีกแบบก็ได้คือหาโดเมนด้วยการเขียน$y$ในรูปของ$x$
$y^2+4y+(x^2-6x-3) = 0$ สมการนี้จะหาค่า$y$เมื่อ $16-4(x^2-6x-3)\geqslant 0$
$4-(x^2-6x-3)\geqslant 0$ $\rightarrow x^2-6x-7 \leqslant 0$
$(x-7)(x+1)\leqslant 0$ $\rightarrow -1\leqslant x\leqslant7 $
หาเรนจ์ด้วยการเขียน$x$ในรูปของ$y$
$x^2-6x+(y^2+4y-3)=0$ สมการนี้จะหาค่า$x$เมื่อ $36-4(y^2+4y-3)\geqslant 0$
$9-(y^2+4y-3)\geqslant 0$ $\rightarrow y^2+4y-12 \leqslant 0$
$(y+6)(y-2)\leqslant 0$ $\rightarrow -6\leqslant y\leqslant2 $
โดเมนคือ $\left[\,\right. -1,7\left.\,\right] $
เรนจ์คือ $\left[\,\right. -6,2\left.\,\right] $
เท่ากันไหมครับ...

ข้อนี้ผมมีวิธีแบบไล่เอาว่า ไล่ไปทีละquadrant ตามข้อกำหนดที่ว่า$\left|\,\right. x\left.\,\right| = x,x>0$ และ$\left|\,x\right| = -x,x<0$
1.$x>0,y>0$ ...$Q_1$จะได้สมการเป็น$x+y=1$ เป็นสมการเส้นตรงมีจุดตัดแกน$x$คือ$(0,1)$และจุดตัดแกน$y$คือ$(1,0)$
2.1.$x<0,y>0$...$Q_2$ จะได้สมการเป็น$x-y=-1$ เป็นสมการเส้นตรงมีจุดตัดแกน$x$คือ$(0,1)$และจุดตัดแกน$y$คือ$(-1,0)$
3.$x>0,y<0$...$Q_3$ จะได้สมการเป็น$x-y=1$ เป็นสมการเส้นตรงมีจุดตัดแกน$x$คือ$(0,-1)$และจุดตัดแกน$y$คือ$(1,0)$
4.$x<0,y<0$...$Q_4$ จะได้สมการเป็น$x+y=-1$ เป็นสมการเส้นตรงมีจุดตัดแกน$x$คือ$(0,-1)$และจุดตัดแกน$y$คือ$(-1,0)$
จะได้โดเมนคือ$\left[\,-1,1\right] $
เรนจ์คือ$\left[\,-1,1\right] $

จริงเหรอครับ

จำนวนสมาชิกของAน้อยกว่าB แสดงว่าA⊂B....เฉพาะในโจทย์

หมายความว่าในโจทย์กำหนดให้$A = \left\{\,\right. a_1, a_2, a_3, ..., a_m\left.\,\right\} , B = \left\{\,\right. a_1, a_2, a_3, ..., a_k\left.\,\right\} $ โดยที่ $m < k$.........$B = \left\{\,\right. $ $\overbrace{a_1, a_2, a_3, ...,a_m}^{สมาชิกในเซต A} $,..., $ a_k\left.\,\right\} $
ผมใช้คำผิด จริงๆแล้ว ถ้า A⊂Bแล้ว จำนวนสมาชิกของ$A$ $\leqslant $ จำนวนสมาชิกของ$B$
ขอบคุณครับที่ช่วยเตือน ไม่งั้นผมได้ทำบาปด้วยการบอกอะไรผิดๆครับ :please::please::please:

เงื่อนไขแรกสุดเลยคือ$x\geqslant -1$และ$y\geqslant 1$
จาก$\sqrt{x+1}+\sqrt{y-1} = 3$ $\rightarrow \sqrt{x+1} = 3-\sqrt{y-1} $
จับยกกำลังสองทั้งสองข้างแล้วย้ายข้างจัดรูปจะได้สมการว่า
$x^2+y^2-2xy-14x-22y+85=0$
จัดได้เป็น$x^2-(2y+14)x+(y^2-22y+85)= 0$ ใช้หาเรนจ์ตามสูตรคำตอบของสมการกำลังสองที่ว่าสมการมีคำตอบเมื่อ$b^2-4ac\geqslant 0$ จะได้$y\geqslant1$ แต่เงื่อนไขแรกคือ$y\geqslant 1$ นำมาอินเตอร์เซกกันได้$y\geqslant 1$
เช่นกันเมื่อจัดหน้าตาเป็น$y^2-(2x+22)y+(x^2-14x+85)=0$ แก้แล้ว$x\geqslant -1$ นำมาอินเตอร์เซกกับ$x\geqslant -1$ ได้ $ x\geqslant -1 $

ถ้าผมคิดตรงไหนตกหล่นก็ช่วยดูด้วยครับ เพิ่งฟื้นความรู้ไม่นานครับ....ไม่รู้จะคิดผิดหรือเปล่า
เพิ่งคิดออกตอนหลังอาบน้ำเสร็จครับว่า...ไม่เห็นต้องไปยกกำลังสองอะไรให้วุ่นวายเลย
จากตรงนี้$\sqrt{x+1}+\sqrt{y-1} = 3$ $\rightarrow \sqrt{x+1} = 3-\sqrt{y-1} $
จะได้ว่า $3-\sqrt{y-1} \geqslant 0$ $\rightarrow \sqrt{y-1}\leqslant 3 $ $ \rightarrow y-1\leqslant 9 \rightarrow y\leqslant 10 $
แต่เงื่อนไขแรกคือ $y\geqslant 1$ นำมาอินเตอร์เซกกันได้$1\leqslant y\leqslant 10$

$\sqrt{y-1} = 3-\sqrt{x+1} $ $\rightarrow 3-\sqrt{x+1} \geqslant 0$
แก้จนได้ $x\leqslant 8$ เงื่อนไขแรกคือ $x\geqslant -1$ นำมาอินเตอร์เซกกันได้$-1\leqslant x\leqslant 8$
ตามที่น้องSirenคิดน่ะถูกแล้วครับ

ขออภัยครับ เมื่อคืนผมเมา มอง $A$ กับ $B$ มีสมาชิกต่างกัน

ผมว่าวิธีนี้แค่ตรวจสอบว่าสมการมีคำตอบเมื่อไหร่ แต่ไม่ได้ตรวจสอบว่าถ้ามีคำตอบแล้ว คำตอบที่ได้อยู่ในช่วงที่เป็นไปได้หรือไม่

เริ่มแรกได้ว่า $x\geq -1,y\geq 1$

แต่จะได้อีกสองอสมการคือ

$\sqrt{x+1}\leq 3$

$\sqrt{y-1}\leq 3$

จึงได้

$-1\leq x\leq 8$

$1\leq y\leq 10$

แก้แล้วครับ เมื่อกี้อากาศร้อนครับ สมองเลยมึนตื้อๆครับ :please::please::please:

ขอรบกวนถามซักข้อนะครับ
เรนจ์ของ $f(x)=\frac{x^2+x+1}{x^2+1}$ หาได้เท่าไรครับ ขอละเอียดด้วยนะครับ รบกวนผู้รู้ด้วยครับ

น่าจะ $\left[ \frac{1}{2} , \frac{3}{2} \right]$ นะครับ วิธีทำ เดี๋ยวตามมาทีหลัง ตอนเย็นๆ

$y=\frac{\sqrt{3x-4}+12 }{x^2-3x+2}$


$R_r = ...$ :please:

ขอละเอียดเลยได้ไหมครับ

จาก $f(x) = \frac{x^2+x+1}{x^2+1}$ ---> $f(x) = 1+\frac{x}{x^2+1}$ จะได้ง่ายต่อการดิฟ

$f'(x) = \frac{1-x^2}{x^2+1}$ จะรู้ว่า จุดวิกฤติ คือ จุด $x=1,-1$

$f''(x) = \frac{-2x(3-x^2)}{(x^2+1)^3}$

$f''(1) < 0$ และ $f''(-1) > 0$ ดังนั้น Relative Maximum อยู่ที่ $(1,f(1))$ และ Relative Minimum อยู่ที่ $(-1,f(-1))$ หรือก็คือจุด $(1,\frac{3}{2})$ และ $(-1,\frac{1}{2})$ ตามลำดับ

จากนั้น ลอง take lim เข้าใกล้ อินฟินิตี้ทั้งฝั่งลบ และบวกดู จะได้ว่า

$$\lim_{x \to \infty} \frac{x^2+x+1}{x^2+1} = \lim_{x to -\infty} \frac{x^2+x+1}{x^2+1} = 1$$

ลองวาดกราฟดูก็ได้ครับ