EMIC 2011 ช่วยกันคิดครับ
 

1. For any two numbers a and b, a*b means $a+b-\frac{2011}{2}$.
Calculate: $1*2*3*...*2010*2011$.
ผมคิดว่าตอบ 2011 ครับ

2. Suppose 11 coconuts have the same cost as 14 pineapples, 22 mango have the same cost as 21 pineapples, 10 mango have the same cost as 3 bananas, and 5 oranges have the same cost as 2 bananas. How many coconuts have the same cost as 13 oranges?
ผมคิดว่าตอบ 13 ครับ

3. A girl calculates $\frac{1+2}{3}+\frac{4+5}{6}+...+\frac{2011+2012}{2013}$ and a boy calculates $1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{671}$. What is the sum of their answers?
ผมคิดว่าตอบ 1342 ครับ

4. What is the first time between 4:00 and 5:00 that the hour hand and the minute hand are exactly 10° apart?
ผมคิดว่าตอบ 4:20 ครับ

5. Two squirrels, Tim and Kim, are dividing a pile of hazelnuts. Tim starts by taking 5 hazelnuts. Thereafter, they take alternate turns, each time taking 1 more hazelnut than the other in the preceding turn. If the number of hazelnuts to be taken is larger than what remains in the pile, then all remaining hazelnuts are taken. At the end, Tim has taken 101 hazelnuts. What is the exact number of hazelnuts at the beginning?
ผมคิดว่าตอบ 215 ครับ

6. In how many ways can we pay a bill of 500 dollars by a combination of 10 dollar, 20 dollar and 50 dollar notes?
ผมคิดว่าตอบ 146 ครับ

7. The least common multiple of the numbers 16, 50 and A is 1200. How many positive integers A have this property?
ผมคิดว่าตอบ 15ครับ

8. In the figure below, $\frac{AM}{MB}=\frac{BN}{NC}=\frac{CP}{PA}=\frac{1}{2}$ and $\frac{MQ}{QN}=\frac{NR}{RP}=\frac{PS}{SM}=\frac{1}{2}$. If the area of $\bigtriangleup ABC$ is $360 cm^2$, what is the area of $\bigtriangleup QRS$, in $cm^2$?
Attachment 6030
ผมคิดว่าตอบ 40 ครับ

เดี๋ยวมีต่อนะครับ :happy:

ทำไมข้อ 1 ผมถึงได้คำตอบ 0 ครับ

ข้อ 2 ผมก็ได้คำตอบ 13 ครับ

คุณกระบี่ทะลวงด่าน อาจจะต้องคิดข้อ 1 ใหม่อีกรอบนึงนะครับ. :laugh:

ข้อสอบนี้คุณ mobius เอามาจากไหนหรือครับ

#3 อ๋อลืมบวก 2011 ไปครับขอบคุณครับ

1)

$1*2010 = 2*2009 = ... = 1005*1006 = \frac{2011}{2}$

$\frac{2011}{2}*\frac{2011}{2} = \frac{2011}{2}$

จะได้

$ \frac{2011}{2}*2011 = 2011$

7)

หรม ของ 16, 50 คือ $2^4 x 5^2$ มีตัวประกอบ 15 ตัว

$1200 = 2^4 x 5^2 x 3$ มีตัวประกอบ 30 ตัว

A ที่เป็นไปได้ทั้งหมด = 30 - 15 = 15 ตัว

$ \triangle PMN = \frac{1}{3} \triangle ABC $

$ \triangle SRQ = \frac{1}{3} \triangle PMN = \frac{1}{9} \triangle ABC = \frac{1}{9} \times 360 = 40 \ $ตารางเซนติเมตร

ตัด 2011 ออกไปก่อน เหลือ

$1*2*3*...*2010$

จับคู่ 1*2010, 2*2009 ... ได้ 1005 คู่

1*2010 = $1+2010 -\frac{2011}{2} = 2011 - \frac{2011}{2} = \frac{2011}{2} $

2*2009 = $2+2009 -\frac{2011}{2} = 2011 - \frac{2011}{2} = \frac{2011}{2} $

ก็จะได้ $\frac{2011}{2}*\frac{2011}{2}*\frac{2011}{2}*...*2011$

จับคู่เดิม $\frac{2011}{2}*\frac{2011}{2} = \frac{2011}{2}$

ยุบไปเรื่อยๆ สุดท้ายเหลือ $\frac{2011}{2}*2011$ จะได้

$\frac{2011}{2}+2011 - \frac{2011}{2} =2011$

$11c = 14p, \ \ 22m = 21p, \ \ 10m = 3b, \ \ 5\odot = 2b, $

ใช้วิธีย้อนกลับ
$5\odot = 2b$

$13\odot = \dfrac{2 \times 13}{5}b$

$3b = 10m$

$ \dfrac{2 \times 13}{5}b = \dfrac{10}{3} \times \dfrac{2 \times 13}{5}m$

$22m = 21p$

$ \dfrac{10}{3} \times \dfrac{2 \times 13}{5}m = \dfrac{21}{22} times \dfrac{10}{3} \times \dfrac{2 \times 13}{5}p$


$14p = 11c$

$ \dfrac{21}{22} \times \dfrac{10}{3} \times \dfrac{2 \times 13}{5}p = \dfrac{11}{14} \times \dfrac{21}{22} \times \dfrac{10}{3} \times \dfrac{2 \times 13}{5}c = 13c$

13 coconuts have the same cost as 13 oranges Ans.

ระหว่างเวลา 4:00 และ 5:00 น. เวลาใดที่เข็มสั้นและเข็มยาวทำมุมกัน 10 องศา

Attachment 6033

ให้เวลาผ่านไป x นาที เข็มสั้นเข็มยาวทำมุม 10 องศา

120 + 0.5x = 6x +10

x = 20

4:20 Ans.

ต่อครับ :)

9. In a 2×3 table, there are 10 rectangles which consist of an even number of unit squares.

Attachment 6032

How many rectangles are there in a 6×9 table which consist of an even number of unit squares?

Attachment 6034
ผมคิดว่าตอบ 645 ครับ

10. Find the smallest positive common multiple of 4 and 6 such that each digit is either 4 or 6, there is at least one 4 and there is at least one 6.
ผมคิดว่าตอบ 4644 ครับ

11. We have two kinds of isosceles triangles each with two sides of length 1. The acute triangle has a 30^{\circ} angle between the two equal sides, and the right triangle has a right angle between the two equal sides. We place a sequence of isosceles triangles around a point according to the following rules. The n-th isosceles triangle is a right isosceles triangle if n is a multiple of 3, and an acute isosceles triangle if it is not. Moreover, the n-th and (n+1)-st isosceles triangles share a common side, as shown in the diagram below. What is the smallest value of n>1 such that the n-th isosceles triangle coincides with the 1-st one?
Attachment 6035
ผมคิดว่าตอบ 23 ครับ

12. When the digits of a two-digit number are reversed, the new number is at least 3 times as large as the original number. How many such two-digit numbers are there?
ผมคิดว่าตอบ 6 ครับ

13. In the quadrilateral ABCD, AB=CD, $\angle BCD=57^{\circ}$, and $\angle ADB + \angle CBD = 180^{\circ}$. Find the value of $\angle BAD$.
Attachment 6036
ข้อนี้ผมคิดไม่ออกครับ:mad:

14. Squares on an infinite chessboard are being painted. As shown in the diagram below, three squares (lightly shaded) are initially painted. In the first step, we paint all squares (darkly shaded) which share at least one edge with squares already painted. The same rule applies in all subsequent steps. Find the number of painted squares after one hundred steps.
Attachment 6037
ผมคิดว่าตอบ 403 ครับ

15. The rows of a 2011×4024 chessboard are numbered from 1 to 2011 from bottom to top, and the columns from 1 to 4024 from left to right. A snail starts crawling from the cell on row 1 and column 1 along row 1. Whenever it is about to crawl off the chessboard or onto a cell which it has already visited, it will make a left turn and then crawl forwards in a straight line. Thus it follows a spiraling path until it has visited every cell. Find the sum of the row number and the column number of the cell where the path ends. (The answer is 3+2=5 for a 4×5 table.)
Attachment 6038
ผมคิดว่าตอบ 2013 ครับ

4464 น้อยกว่านะครับ. :rolleyes:

:kaka:ลืมนึกไป:kaka:

ตอบ 945 ครับ

คิดอย่างไรครับ ผมคิดได้ 645 ครับ

ขออภัยลืมดูโจทย์ว่า even number of unit squares.

เดี๋ยวไปดูใหม่ครับ



สี่เหลี่ยมมุมฉากมีทั้งหมด 945 รูป

ตัดสี่เหลี่ยมที่สีจัตุรัสเป็นจำนวนคี่ออก
1รูป = 1x1 มี 54 รูป
3 รูป= 1x3 มี 42 รูป
3 รูป= 3x1 มี 36 รูป
9 รูป = 3x3 มี 28 รูป
9 รูป = 9x1 มี 6 รูป
15 รูป = 5x3 มี 20 รูป
15 รูป = 3x5 มี 14 รูป
21 รูป = 7x3 มี 12 รูป
27 รูป = 9x3 มี 4 รูป
5 รูป = 1x5 มี 30 รูป
5 รูป = 5x1 มี 18 รูป
25 รูป = 5x5 มี 10 รูป
7 รูป = 7x1 มี 18 รูป
35 รูป = 7x5 มี 6 รูป
45 รูป = 9x5 มี 2 รูป


รวม 300 รูป

เหลือ 945 - 300 = 645 รูป

9.

จำนวนสี่เหลี่ยม

$\sum_{1}^{6} i (\sum_{1}^{9} j) - (2+4+6)(1+3+5+7+9) $ = 645 รูป

ลองเลื่อนจุด B ไปตามแนว CB จนกระทั่งมุม DBC เป็นมุมฉากดูครับ.

โดยที่เงื่อนไข $AB = CD$ และ $\angle BCD=57^{\circ}$ ยังคงเป็นจริงอยู่. :laugh:

ผมนับได้แค่ 106 แบบ

ผมตีความว่า "by a combination of 10 dollar, 20 dollar and 50 dollar notes" ต้องมีครบ ทั้ง 3 ชนิด

10 อย่างเดียว หรือ 10 กับ 20 สองอย่างไม่ได้

สาวน้อยคำนวน $\frac{1+2}{3}+\frac{4+5}{6}+...+\frac{2011+2012}{2013}$ และหนุ่มน้อยก็คำนวน $1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{671}$.ถ้านำผลลัพธ์ที่ได้มารวมกัน จะเป็นเท่าไร

$(\frac{1+2}{3}+\frac{4+5}{6}+...+\frac{2011+2012}{2013}) + (1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{671}$

$(\frac{3}{3}+\frac{3}{2}+ \frac{5}{3} + ...+\frac{1341}{671}) + (1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{671}$

จับคู่บวกกันได้
(2+2+2++...+2) จำนวน 671 จำนวน

2 x 671 = 1342

ช่วยแปลให้หน่อยครับ

5. Two squirrels, Tim and Kim, are dividing a pile of hazelnuts. Tim starts by taking 5 hazelnuts. Thereafter, they take alternate turns, each time taking 1 more hazelnut than the other in the preceding turn. If the number of hazelnuts to be taken is larger than what remains in the pile, then all remaining hazelnuts are taken. At the end, Tim has taken 101 hazelnuts. What is the exact number of hazelnuts at the beginning?

จำนวน 2 หลักกี่จำนวนที่เมื่อสลับหลักกันแล้ว จำนวนใหม่มีค่าเป็น3เท่าหรือมากกว่า 3 เท่าของจำนวนเดิม

ตอบ 6 จำนวนคือ
15, 16, 17, 18, 19 และ 29

พอรู้เรื่องไหม

กระรอก 2 ตัว Tim กับ Kim ทำการแบ่งกองฮาเซลนัท โดย Tim เริ่มหยิบก่อน 5 เมล็ด จากนั้นก็จะสลับกันหยิบ โดยแต่ละครั้งจะต้องหยิบฮาเซลนัทมากกว่าครั้งที่หยิบก่อนหน้าอยู่ 1 เมล็ด ถ้าจำนวนฮาเซลนัทที่ต้องหยิบมีมากกว่าจำนวนฮาเซลนัทที่เหลืออยู่ในกอง ก็ให้หยิบเท่ากับที่มีเหลือทั้งหมด หลังจากหยิบหมดแล้วปรากฏว่า Tim ได้ฮาเซลนัท 101 เมล็ด อยากทราบว่าตอนเริ่มต้นมีจำนวนฮาเซลนัทกี่เมล็ด

ขอบคุณครับ

แต่ก็ยังไม่เคลียร์เท่าไร
"each time taking 1 more hazelnut than the other in the preceding turn"

ผมแปลว่า ทุกครั้งที่หยิบ ต้องหยิบมากกว่าอีกฝ่าย 1 เม็ด

ก็เลยเป็นดังนี้ ติ๋ม้ริมที่ 5 คิ้มก็เริ่ม 6 ......

ติ๋ม 5+7+9+11+13+15+17+19 = 96

คิ้ม 6+8+10+12+14+16+18+20 = 104

หยิบตัวละ 8 ครั้งเท่ากัน ติ๋มได้ 96 คิ้มได้ 104

ครั้งต่อไป ติ๋มต้องหยิบ 21 แต่เหลือแค่ 5 ดังนั้นติ่มหยิบหมดเลย

ติ๋มได้ไป101 คิ้มได้ 104

เดิมลูกนัทมี 101+104 = 205 เม็ด

4n-1

3+7+11+15+...+403

= 4(1)-1 + 4(2) -1 + 4(3) -1 + ... 4(101)-1

= 4(1+2+3+...101) - 101 = 20503

มีสีเทาที่ระบายอยู่ก่อน 3 รูป จึงมีทั้งหมด 20,503 -3 = 20,500 รูป

ข้อ 7
ตัวคูณร่วมน้อยของ 16,50 คือ 400 และ 1200 = Ax3 แต่ 16,50 ไม่มี 3 เป็นตัวประกอบ ดังนั้น A ต้องเป็นตัวประกอบของ 1,200 ที่มี 3 เป็นตัวประกอบ ทำให้ A =3xb สำหรับแต่ละจำนวนเต็มบวก b ที่เป็นตัวประกอบของ 400 ดังนั้นจำนวนของ A ที่เป็นไปได้ทั้งหมดจึงเท่ากับตัวประกอบของ 400 = $2^4 x 5^2$ และจำนวนตัวประกอบ =5x3 = 15 ตัวได้แก่ 1,2,4,5,8,10,16,20,25,40,50,80,100,200,400 ดังนั้น A ที่เป็นไปได้ทั้งหมดได้แก่ 3,6,12,15,24,30,48,60,75,120,150,240,300,600,1200

**ข้อสอบ pmwc2011
http://www.chiuchang.org.tw/modules/...it.php?lid=333

ตารางหมากรุกขนาด 2011 x 4024 มีหมายเลขกำกับช่องจากแถว 1 ถึง แถว2011 จากล่างขึ้นบน และคอลัมน์ 1 ถึง 4024 จากซ้ายไปขวา
ทากตัวหนึ่งเริ่มคลานจากช่อง แถว 1 คอลัมน์ 1 ไปตามแถว 1 (ไปทางขวา)
เมื่อไรก็ตามเมื่อมันคลานมาถึงขอบกระดานหรือไปถึงช่องที่เคยคลานผ่านมาแล้ว มันจะเลี้ยวซ้าย แล้วคลานตรงไปเรื่อยๆ
ดังนั้นมันจะคลานเป็นรูปเกลียวก้นหอยดังรูปตัวอย่าง จนมันผ่านทุกช่องจึงหยุด
จงหาผลบวกของหมายเลขแถวและคอลัมน์ที่มันหยุด

สำหรับ row จุดจบต้องจบที่rowกึ่งกลาง คือ row ที่ $\frac{2011+1}{2} = 1006$

ส่วน column ถ้าเป็นตาราง

1 x 4024 จะจบที่ column 4024
3 x 4024 จะจบที่ column 4023
5 x 4024 จะจบที่ column 4022
7 x 4024 จะจบที่ column 4021
9 x 4024 จะจบที่ column 4020
(ลองวาดรูปดูครับ)
.
.
.
2011 x 4024 จะจบที่ column 3019

ดังนั้นจุดจบคือ 1006+3019 = 4024 4025

สี่เหลี่ยม ABCD มีด้าน AB = CD, $\angle BCD=57^{\circ}$, และ $\angle ADB + \angle CBD = 180^{\circ}$. จงหาค่าของ $\angle BAD$.

Attachment 6283
Attachment 6286

$ \angle BAD = 57^\circ $

วิธีทำแบบทางการคือ
Attachment 6297

ต่อ AD ไปทาง D ถึง E ทำให้ DE = BC ลาก EB
จะได้สามเหลี่ยม DEB เท่ากันทุกประการกับสามเหลี่ยม BCD (ด.ม.ด.)
ทำให้ สามเหลี่ยม ABE เป็นสามเหลี่ยมหน้าจั่ว AB = BE และ มุม BAD = มุม BEA = 57 องศา

มีสามเหลี่ยมหน้าจั่วสองแบบ ด้านที่เท่ากันยาวด้านละ 1 หน่วย
สามเหลี่ยมหน้าจั่วมุมแหลม มีมุมระหว่างด้านเท่ากาง 30 องศา
สามเหลี่ยมหน้าจั่วมุมฉาก มีมุมฉากระหว่างด้านที่เท่ากัน
ถ้าเราจัดสามเหลี่ยมหน้าจั่วตามลำดับรอบจุดจุดหนึ่งตามกฏดังนี้
สามเหลี่ยมรูปที่ n จะเป็นสามเหลี่ยมหน้าจั่วมุมฉากถ้า n เป็น 3 หรือพหุคูณของ 3
แต่ถ้า n ไม่เป็นพหุคูณของสาม ก็จะเป็นสามเหลี่ยมหน้าจั่วมุมแหลม
สามเหลี่ยมหน้าจั่วรูปที่ n และ n+1 มีด้านร่วมกัน ดังรูป
n ที่น้อยที่สุด (n > 1) ที่สามเหลี่ยมหน้าจั่วรูปที่ n จะมาบรรจบกับสามเหลี่ยมหน้าจั่วรูปแรก


Attachment 6295

Attachment 6296


ตอบ n = 23

#28 must be 4025

ขอบคุณครับ แก้แล้วครับ

http://www.taimc2012.org/problem/2011-EMIC-Answer.pdf
ไปเจอเฉลยมาค่ะ

เฉลยครับ แปะไว้ในนี้ก่อน