โจทย์ Inequality
 

ผมอยากจะลองหาโจทย์ inequality มาลองฝึกทำดูน่ะครับ หาได้จากเว็บไหนหรือครับ

ไม่ทราบว่าต้องการแบบไหนอะครับ

ลองดู Strategies มีอสมการนิดหน่อย

แบบที่ให้พิสูจน์น่ะครับ...

แปะให้สามข้อละกัน ไม่รู้ว่าเคยเห็นรึยัง

1. ให้ $a_1,a_2,\dots,a_n$ เป็นจำนวนจริงบวก ให้ $S=a_1+a_2+\dots+a_n$ โดยที่ $n>1$

จงแสดงว่า
$$(1+a_1)(1+a_2)\dots(1+a_n)<1+S+\dfrac{S^2}{2!}+\dots+\dfrac{S^n}{n!}$$

2. สำหรับจำนวนจริงบวก $a\,b\,c$ จงแสดงว่า $(a+b)(a+c) \ge 2\sqrt{abc(a+b+c)}$

3. กำหนดให้ $x,y$ เป็นจำนวนจริงบวกและ $x+y=1$ จงแสดงว่า $(1+\dfrac1x)(1+\dfrac1y)\ge 9$

ลองเข้าไปดูที่นี่ครับ
Inequality Marathon
มีโจทย์ให้ทำเยอะพอสมควร แต่หลังๆกระทู้ตกไปเพราะไม่มีคนเล่นครับ ว่างๆผมก็จะขุดขึ้นมาเล่นเป็นครั้งคราว :D

อีกอันคือที่นี่
Mathlink
ถ้าทำในนี้ได้หมดก็เป็นเซียนอสมการได้เลยครับ :great:

ยังไม่เคยเลยครับ

ทำได้แต่ข้อ 3 ครับ ใช้ Am-Gm ได้ $ \frac{1}{xy}\ge4 $
กระจายวงเล็บดูแล้วเอาไปแทนค่าก็ได้ มากกว่าหรือเท่ากับ 9 ครับ

โจทย์ของน้อง Mastermander ค่อนข้างจะโหดไปนิดนึงสำหรับผู้เริ่มต้นครับ อย่างข้อ 1 นี่เป็นข้อสอบ APMO 1989 มาก่อน ถ้าสนใจอยากทำจริงๆเดี๋ยวผมไปขุดกระทู้ inequality marathon ขึ้นมาให้อีกรอบครับ :D

Latex มันจะไม่ทำงานเมื่อมี UBB Code อยู่ข้างใน

มากกว่าหรือเท่ากับใช้โค้ด \ge

น้อยกว่าหรือเท่ากับ \le

โจทย์เยอะมากๆเลยครับ :yum: ตอนนี้ผมทะยอยทำไปเรื่อยๆ ใครสนใจอยากรู้ข้อไหนก็บอกมาละกันครับ

ขอใส่ข้อที่ทำได้ไว้ก่อนนะครับ แล้วจะเข้ามาเติมเรื่อยๆ

24 25 42 49 55
56 58 62 63 64
68 70 74 81 82
83 85 86 92 94
99

100 101 102 107 108
115 116 117 119 120
124 125 126 127 134
146 147 148 149 150
152 153 155

เพิ่มอีกหกข้อ :yum:

7 13 26 31 46 50

เติมรอบสอง :yum:

3 4 10 13 22 33 40 50 57

เติมรอบสาม

2 23 38 45 60 106 137 142

Comment : โจทย์ข้อ 2 พิมพ์ผิดครับ อสมการทางขวามือต้องเปลี่ยน 1 เป็น 2

ผมอยากรู้เฉลยข้อ 82,24,107,125,155,40
ข้อ 46. ผมคิดว่าโจทย์น่าจะผิดครับ

ช่วยส่งเฉลยมาที่ penguin_follower@hotmail.com

ตอนนี้ผมเขียนโจทย์ใส่เศษกระดาษไว้ครับ ขอเอามาลงไว้ที่นี่ละกันครับ คนอื่นจะได้ศึกษาวิธีคิดไปด้วย หรือไม่ก็ช่วยจับผิดให้ผมด้วยครับ

46. Let $x=\sqrt{a},y=\sqrt{b},z=\sqrt{c}$. Then $x^4+y^4+z^4=1$.

The inequality is equivalent to

$$\frac{x^2}{y^4+1}+\frac{y^2}{z^4+1}+\frac{z^2}{x^4+1}\geq \frac{3}{4}\Big(x^3+y^3+z^3\Big)^2.$$
By Cauchy-Schwarz inequality we get
$$\begin{array}{rcl} \displaystyle{ \frac{x^2}{y^4+1}+\frac{y^2}{z^4+1}+\frac{z^2}{x^4+1} } & = & \displaystyle{ \frac{x^6}{x^4y^4+x^4}+\frac{y^6}{y^4z^4+y^4}+\frac{z^6}{z^4x^4+z^4} } \\ & \geq & \displaystyle{ \frac{(x^3+y^3+z^3)^2}{(x^4y^4+y^4z^4+z^4x^4)+(x^4+y^4+z^4)} } \\ & \geq & \displaystyle{ \frac{(x^3+y^3+z^3)^2}{\frac{1}{3}(x^4+y^4+z^4)^2+(x^4+y^4+z^4)} } \\ & = & \displaystyle{ \frac{3}{4} \Big(x^3+y^3+z^3\Big)^2. }\end{array}$$

ขอโทษครับสงสัยผมจะจำผิดข้อ :nooo:
ข้อที่โจทย์ผิดคือข้อ 21,5,32,79,140(มีคนบอกมา)
คุณ nooonuii ลองทำข้อ 1,97,161 ดูสิครับยากดี

24. Applying Cauchy - Schwarz inequality we have

$a\sqrt{b} + b\sqrt{c} + c\sqrt{a}$

$= \sqrt{a}\cdot\sqrt{ab} + \sqrt{b}\cdot\sqrt{bc} +\sqrt{c}\cdot\sqrt{ca}$
$\leq \sqrt{(a+b+c)(ab+bc+ca)}$
$\leq \sqrt{\frac{1}{3}(a+b+c)(a+b+c)^2}$
$= \frac{1}{\sqrt{3}}$

40. We have to prove two inequalities separately. First, we use Cauchy - Schwarz inequality to get

$abc(a+b+c)$
$ = ab\cdot ca + bc\cdot ab + ca\cdot bc$
$\leq a^2b^2 + b^2c^2 + c^2a^2$

Adding $2abc(a+b+c)$ to both sides we get

$3abc(a+b+c) \leq (ab+bc+ca)^2$

This is equivalent to

$a+b+c \leq \frac{1}{3} \Big(\frac{1}{a} +\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\Big)(a^2+b^2+c^2).......(1)$

Next, we use AM-GM inequality to get

$(a^2+b^2+c^2)(ab+bc+ca)^2\geq 27a^2b^2c^2$

which is equivalent to

$\sqrt{a^2+b^2+c^2}\leq \frac{1}{3\sqrt{3}} \Big(\frac{1}{a} +\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\Big)(a^2+b^2+c^2)........(2)$

(1) + (2) gives the required inequality.

ที่เหลือเดี๋ยวมาต่อให้พรุ่งนี้ครับ :tired:

Inequlities
หนังสืออสมการของ Hojoo Lee

ขอบคุณคุณnooonuii มากครับ

คำตอบของข้อที่เหลือผมย้ายไปอีกกระทู้นึงละกันครับ เพื่อความสะดวกในการหา :)