2011 Primary Math World Contest Tryouts Problems
 

รู้สึกว่าจะห่างหายไปจากห้องประถมปลายไปนานเลย เดี๋ยวแปลข้อสอบฉบับTryout มาลงให้ลองอ่านลองทำกัน

เครื่องหมาย *** คือเฉลยไปแล้ว และถ้าไม่มีการท้วงอะไรแสดงว่าเฉลยถูกตามพวย

ข้อสอบมีทั้งหมด 20 ข้อ 50 คะแนน ให้เวลา 45 นาที

ตอนที่1..ข้อ 1ถึง5 ข้อละ 1 คะแนน

1.*** $2011$ เป็นจำนวนเฉพาะหรือไม่

2.*** จากรูปที่กำหนดให้้ สองแถวล่างสุดมีตัวเลขเขียนไว้ครบแล้ว จงเติมตัวเลขลงในช่องว่างที่เหลือทั้งหมด



3.*** ถ้าต้องการสร้างรูปตามภาพนี้ จะต้องใช้ลูกบาศก์เล็กๆทั้งหมดจำนวนเท่าไหร่




4.*** จากแผนภาพที่ให้มา จงหาว่าจะมีรูปสี่เหลี่ยมสีขาวทั้งหมดกี่รูปในลำดับที่20



5. *** สังเกตว่า $\frac{1}{2}+\frac{2}{4} =1 $ จงหาจำนวนเต็ม $N$ ที่ทำให้ $\frac{7}{8}+\frac{8}{N} =1 $

ตอนที่2..ข้อ 6-10 ข้อละ 2 คะแนน

6.*** มีเหรียญสี่ชนิดแตกต่างกันและมีหมายเลขสี่หมายเลขแตกต่างกันอย่างเช่น $1,2,4,8$ ตามรูปข้างล่าง จงหาว่าจะมีผลรวมของตัวเลขที่เกิดจากเหรียญ 1 เหรียญ,2 เหรียญ ,3 เหรียญ หรือ 4 เหรียญ ได้กี่จำนวน
(ไม่มั่นใจจะแปลโจทย์ถูกไหมเลยแปะเนื้อความเดิมไว้ด้วย)

Four different coins with four different amounts (i.e., 1, 2, 4, 8) are shown below.
How many different amounts can be made using any 1, 2, 3, or 4 of these four coins?




7.*** $66.66\times 666.7+9999\times 2.222$

8.*** มีรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้ากี่รูปในรูปนี้



9.*** เมื่อนำเก้าอี้มาเรียงเป็นวงกลม แล้วนำหมายเลขมาติดตามเข็มนาฬิกา อย่างเช่นเริ่มด้วย 1,ตามด้วย2,3,4,...ไปเรื่อยๆ พบว่าเก้าอี้ตัวหนึ่งถูกติดด้วยหมายเลข $14$ ในการติดหมายเลขรอบแรก และเก้าอี้ตัวเดียวกันนี้ ถูกติดด้วยหมายเลข $41$ ในการติดหมายเลขรอบ จงหาว่ามีเก้าอี้ทั้งหมดกี่ตัว

10.*** เมื่อนำวันที่ที่เป็นวันพุธในเดือนที่มี $31$ วัน มาบวกกัน จงหาว่าผลบวกที่มีค่าน้อยที่สุดที่เป็นไปได้คือเท่าไหร่

ที่เหลืออีก 10 ข้อจะมาทยอยลงให้วันพรุ่งนี้ครับ

ตอนที่3...ข้อ 11-15 ข้อละ 3 คะแนน

11.*** สิงโตมักจะพูดปดในวันจันทร์,อังคารและวันพุธ แล้วพูดจริงในวันที่เหลือ.ม้ายูนิคอร์นมักพูดปดในวันพฤหัสบดี,ศุกร์,และวันเสาร์ และพูดจริงในวันที่เหลือ.วันนี้ทั้งสิงโตและม้ายูนิคอร์นต่างก็บอกเราว่า"ฉันพูดปดไปเมื่อวานนี้".จงหาว่าวันนี้เป็นวันอะไร

12.*** จงหาพื้นที่แรเงาของทางเดินในรูป โดยทางเดินในรูปมีความกว้าง 1 หน่วย และช่องว่างสีขาวก็มีความกว้าง 1 หน่วย
เช่นกัน



13.*** นำตัวเลข $1,2,3,4$ มาสร้างจำนวนเต็มสี่หลักที่มีตัวเลขแต่ละหลักไม่ซ้ำกัน จงหาว่ามีตัวเลขสี่หลักกี่จำนวนที่หารด้วย $11$ ลงตัว

14.***สมมุติว่าอุณหภูมิในห้าวันที่ติดกันเป็นจำนวนเต็ม และค่าเฉลี่ยของอุณหภูมิในห้าวันเท่ากับ $2$ และผลคูณของอุณหภูมิทั้งห้าวันเท่ากับ $500$ จงหาอุณหภูมิทั้งห้าวันนี้

15.*** มีสามเหลี่ยมทั้งหมดกี่รูปในภาพนี้



ตอนที่ 4....ข้อ16-20 ข้อละ 4 คะแนน

16.*** จงหาค่าของ

$1-\frac{2}{1\times (1+2)} -\frac{3}{(1+2)\times (1+2+3)}-\frac{4}{(1+2+3)\times (1+2+3+4)}-...-\frac{10}{(1+2+3...+9)\times (1+2+3+...+10)}$

17.***โยนเหรียญเที่ยงตรงหนึ่งเหรียญทั้งหมด 8 ครั้ง จงหาความน่าจะเป็นที่ออกหัวอย่างน้อย 4 ครั้ง

18.*** $ABC$ เป็นสามเหลี่ยมด้านเท่าที่มีความยาวด้านละ $2$ หน่วย.ส่วนโค้ง $BC$ มีจุดศูนย์กลางที่จุด $A$ และส่วนของเส้นตรง $CD$ สัมผัสกับส่วนโค้ง$BC$ ที่จุด $C$ และส่วนเส้นตรง $CD$ เป็นรัศมีของส่วนโค้ง $BD$...จงหาว่าพื้นที่ส่วนแรเงาเท่ากับกี่ตารางหน่วย



19.*** จงหาตัวเลขหลักหน่วยของ $7^{7^{7^7}}$

20.*** ต้องการทาสีรูปหกเหลี่ยมในแผนภาพนี้ด้วยสีแดง,เขียวและน้ำเงิน โดยไม่ให้มีรูปหกเหลี่ยมที่ติดกันสองรูประบายด้วยสีเดียวกัน จงหาว่าจะระบายสีได้ทั้งหมดกี่วิธี



ขอให้สนุกกับการแก้โจทย์นะครับ มีตรงไหนแปลผิดพลาดก็บอกกันด้วยแล้วกันครับ

ขอบคุณคุณกิตติมากๆครับ

ขอบคุณครับ จะได้เอาไปติวหลาน:D


ข้อ 7. ถามอะไรครับ

ข้อ 6. เข้าใจว่าอย่้างนี้ครับ

มีเหรียญ 4 ราคา คือ 1, 2, 4, 8 อย่างละหนึ่งเหรียญ จะเอามาประกอบเป็นมูลค่าที่แตกต่างกันได้กี่แบบ โดยจะใช้ 1เหรียญ, 2 เหรียญ, 3 เหรียญ หรือทั้ง 4 เหรียญก็ได้

ข้อ7....น่าจะให้หาผลสำเร็จ คือเท่ากับเท่าไหร่

Attachment 5939

พื้นที่แรเงา = $\frac{30^{\circ}}{360^{\circ}} \pi \cdot 2^2 - (\frac{60^{\circ}}{360^{\circ}} \pi \cdot 2^2 - \frac{\sqrt{3} }{4}\cdot 2^2)$

$ = -\frac{1}{12} \pi 2^2 + \frac{\sqrt{3} }{4}\cdot 2^2$

$ = 4 ( \frac{\sqrt{3} }{4} - \frac{1}{12} \pi ) \ $ตารางหน่วย

$1-\frac{2}{1\times (1+2)} -\frac{3}{(1+2)\times (1+2+3)}-\frac{4}{(1+2+3)\times (1+2+3+4)}-...-\frac{10}{(1+2+3...+9)\times (1+2+3+...+10)}$


$ = 1 - (\frac{2}{1 \times 3}) - (\frac{3}{3 \times 6}) - (\frac{4}{6 \times 10}) - ... - (\frac{10}{45 \times 55}) $

$ = 1 - \left((\frac{2}{1 \times 3}) + (\frac{3}{3 \times 6}) + (\frac{4}{6 \times 10}) + ... + (\frac{10}{45 \times 55}) \right) $

$ = 1 - \left((\frac{1}{1} - \frac{1}{3}) + (\frac{1}{3} - \frac{1}{6}) +(\frac{1}{6} - \frac{1}{10}) + ... + (\frac{1}{45} - \frac{1}{55}) \right) $

$ = 1 - (\frac{1}{1} - \frac{1}{55} )$

$= \frac{1}{55}$

มีได้ 15 จำนวนคือ

1 = 1
2 = 2
3 = 1+2
4 = 4
5 = 1+4
6 = 2+4
7 = 1 +2 + 4
8 = 8
9 = 1+8
10 = 2 +8
11 = 1+2+8
12 = 4+8
13= 1+4+8
14 = 2+4+8
15 = 1+2+4+8

เพราะว่า 1+2+3+4 = 10 ซึ่งหารด้วย 11 ไม่ลงตัว

ดังนั้นจึงไม่มีตัวเลขสี่หลักที่หารด้วย 11 ลงตัว

ข้างบนผิดครับ ผมสับสนเอง :haha:

ไม่แน่ใจครับ ตอบ 75 รูป
Attachment 5940

$11 \left|\,\right. 1243$

$7^7=4a+3$

$7^{7^7}=7^{4a+3}=4b+3$

$7^{7^{7^7}}=7^{4b+3}$

เนื่องจาก $7^4 \equiv 1 \pmod{10}$

$7^{7^{7^7}} \equiv 7^{4b+3} \equiv 7^3 \equiv 3 \pmod{10}$

ข้างบนผิดครับ ผมสับสนเอง :haha:

มาแก้ใหม่ครับ

ผลต่างของ ผลรวมเลขโดดตำแหน่งคู่กับตำแหน่งค่ีเท่ากับ 0 หรือ 11 หรือพหุคูณของ 11 จำนวนนั้นหารด้วย 11 ลงตัว

1243
1342

2134
2431

3124
3421

4213
4312

ตอบ 58

Attachment 5945

ตอบ วันพฤหัสบดี

Attachment 5946

คิดแบบเดียวกับการนับเวลา
(เช่น 3 นาฬิกา กับ 15 นาฬิกา จำนวนตัวเลขคือ 15 - 3 = 12)

41 - 14 = 27

ตอบ 27 ตัว

ตอบ เป็นจำนวนเฉพาะ

ตามรูปที่แสดง

Attachment 5947

$ 4 ^3 - 1^2 - 2^2 - 3^2 = 50$

stage 1 มีสีขาว 1

stage 2 มีสีขาว 1+2

stage 3 มีสีขาว 1+2+3

stage 4 มีสีขาว 1+2+3+4
.
.
.

stage 20 มีสีขาว 1+2+3+...+20 = 210

รูปที่ 20 ได้

$(1+3+5+...+39)-(1+2+3+...+19)=20^2-190=210$

อ้าวโดนชิงไปซะแล้ว โทษทีครับ

$\frac{7}{8}+\frac{8}{N} =1 $

$N = 64$

$66.66\times 666.7+9999\times 2.222 = 44,442.222 + 22,217.778 = 66,660$

$7. 66.66\times 666.7+9999\times 2.222 = ?$

A=1111

$\dfrac{1}{1000}[6A(6A+1)+9A \times 2A]=\dfrac{1}{1000}[54A^2+6A]$

$=(9A+1)6A\dfrac{1}{1000}$

$=(10000)(6666)\dfrac{1}{1000}$

$=66660$

a+b+c+d+e = 2x5 = 10

axbxcxdxe = 500

หนึ่งในคำตอบคือ -1, -4, +5, +5, +5

อย่าหักโหมมากครับลุงBanker...นอนดึกไม่ดีกับสุขภาพของลุงนะครับ
กำลังจะแซวเรื่องข้อ 13....ลุงมาแก้คำตอบเสียก่อน

เรียกลุงเเบบนี้มันก็ไม่ดีต่อสุขภาพจิตของคุณ banker เหมือนกันนะครับ
เเซวเล่นครับ = =

เรียกลุง เรียกน้าไม่เป็นไร อย่าเรียกป้าก็แล้วกัน :haha:



ลูกคนโตผมก็รุ่นหลังคุณกิตติ 4 -5 ปี ศิริราช 107 ตอนนี้ก็เป็น fellow infertile จบปีหน้าแล้ว

ส่วนคนรอง ศิริราช 116 เพิ่งรับปริญญาไปเมื่อต้นเดือนนี้

จะเรียกลุงเรียกปู่ ก็ไม่ว่ากัน ตอนนี้ก็ว่างๆ ทำเลขเล่นสนุกๆไปวันๆ (ไม่ทำอะไรเดี๋ยวสมองฝ่อ) :haha:

ข้อนี้นึกไม่ออกจะอธิบายให้เด็กประถมปลายที่ยังไม่ได้เรียนเรื่องความน่าจะเป็นยังไง เพราะหลักสูตรปกติเรียนตอนม.3 และถ้าจะสอนให้เขียนแผนภาพต้นไม้ รับรองเด็กเลิกทำก่อนแน่ๆ เพราะจะเขียนได้ต้อง $2^8$ ชุด....ตั้ง $256$ แบบ มือหงิกไปก่อน ถ้าจะเฉลยผมคงต้องหาคำตอบแบบม.ปลาย คือ หาความน่าจะเป็นที่ไม่ออกหัวเลย,ออกหัว 1ครั้ง,ออกหัว 2ครั้ง,และ ออกหัว 3ครั้ง

ไม่ออกหัวเลย คือออกก้อยหมด ได้ $1$ วิธี

ออกหัว 1ครั้ง คือที่เหลือออกก้ิอย 7 ครั้ง เหมือนเอาเหรียญออกหัวไปวางแทรกในแถวที่เรียงเหรียญหน้าก้อยไว้ เลือกลงได้ $8$ วิธี

ออกหัว 2ครั้ง คือที่เหลือออกก้ิอย 6 ครั้ง คิดเหมือนขั้นแรก แต่แตกออกไปว่า วางทีละเหรียญ กับวางทีละสองเหรียญ
วางทีละเหรียญ เลือกลงได้ $21$ วิธี และวางทีละสองเหรียญได้ $7$ วิธี เนื่องจากเป็นวิธีการทำงานที่ขั้นตอนแยกกัน เอามารวมกันได้ $28$ วิธี

ออกหัว 3ครั้ง คือที่เหลือออกก้ิอย 5 ครั้ง คิดเหมือนขั้นแรก แต่แตกออกไปว่า วางทีละเหรียญ ,วางทีละสองเหรียญกับ วางทีละสามเหรียญ
วางทีละเหรียญ เลือกได้ $20$ วิธี ,วางทีละสองเหรียญ เลือกได้ $30$ วิธี และ วางทีละสามเหรียญ เลือกได้ $6$ วิธี
รวมเกิดได้เท่ากับ $56$ วิธี

รวมจำนวนวิธีที่ออกหัวน้อยกว่า 4 ครั้งเท่ากับ $1+8+28+56$ เท่ากับ $93$ วิธี
รวมจำนวนวิธีที่ออกหัวอย่างน้อย4 ครั้งเท่ากับ $256-93$ เท่ากับ $163$
ความน่าจะเป็นที่ออกหัวอย่างน้อย 4 ครั้ง เท่ากับ $\frac{163}{256} =0.637$
ตอบติดในรูปเศษส่วนก็น่าจะโอเค
ใครนึกวิธีอธิบายง่ายๆให้เด็กได้ ช่วยแชร์วิธีหน่อยครับ ผมตันเรื่องอธิบายจริงๆ

ตอบ 77 ตารางหน่วย

Attachment 5949

ลูกลุงBankerเก่งกันทุกคนเลยครับ เพราะได้DNAความเก่งจากลุงBankerไปนี่เอง.....ถ้าผมอายุเท่าลุง ผมว่าผมคงหง่อมยิ่งกว่าลุงแน่ๆเลย
ผมว่าลุงไม่มีทางเป็นอัลไซเมอร์แน่นอน เพราะวิจัยทางฟากญี่ปุ่นบอกว่าให้ผู้สูงวัยได้คิดเลขทุกวัน ช่วยป้องกันได้ แค่บวกเลขง่ายๆหลักสองหลักก็ได้ ฝรั่งบอกให้เล่นไพ่เล่นบริจ ในห้องนี้ถ้าขาดลุงไปคน ห้องประถมกับมัธยมคงเหงาไปมาก และเทคนิคแก้โจทย์ของลุงนี่สุดยอดครับ เรียนฟรี ถามได้ ไม่มีรำคาญ ถ้าในบอร์ดมีใครสักคนที่คอยกระตุ้น คนอื่นถึงจะเข้ามาร่วม ผมเรียกไม่ถูกว่าอะไร แต่เป็นคนสำคัญมากๆให้บอร์ดแอคตีพตลอด ผมยกนิ้วให้ลุงครับ ไม่ได้ยอนะ เป็นความจริง.เมื่อคืนเป็นห่วงจริงๆครับ ดึกๆดื่นๆแล้วยังช่วยตอบโจทย์ อยากให้พักผ่อนมากๆหน่อยครับ

แบบประถม คงต้องนับสามเหลี่ยมเอา

นับได้ 48 รูป ไม่รู้ครบหรือเปล่า

ผมก็ยังนึกไม่ออกเหมือนกัน


แต่ถ้าเปลี่ยนโจทย์เป็นแบบนี้ จะยังเหมือนเดิมไหม

มีข้อสอบ 8 ข้อ เป็นแบบ มีchoice แค่ ก. ข. ถ้าสุ่มกามั่วๆ จงหาความน่าจะเป็นที่จะตอบถูกต้องอย่างน้อย 4 ข้อ

แล้วจะอธิบายเด็กยังไง

ข้อนี้ก็ยังคิดไม่ออก แต่มองๆแล้วถ้าม้วนๆ มันจะเหมือนลูกบอลไหม ?

และข้อสงสัย สีขาวที่ไม่ทานับเป็นหนึ่งสีไหม (รวมเป็นสี่สี)


แทงหวย 4! 5! 2!= 5760 วิธี

ถ้าไม่รบกวน หลายๆท่านในบอร์ด บางข้อที่พอจะทอนความยากในการอธิบายลงได้ พอจะแนะอะไรให้หนูๆน้องๆหลานๆได้บ้าง เพื่อวิธีคิดที่เข้าใจง่ายๆ แต่บางข้อมันจำเป็นต้องใช้ความรู้เกินระดับก็ต้องพอโอเค อย่างข้อหาเลขหลักหน่วย ขืนใช้modจริง เด็กๆงง หรือเด็กไม่งง ผู้ใหญ่อย่างผมงง

:great::great::great::please::please:

ถ้ามีแค่ 3 สี คือ แดง, เขียว และน้ำเงิน และต้องทาสีทุกรูป (สิีเดียวกันไม่อยู่ติดกัน) จะมีเพียง 6 วิธี ครับ
Attachment 5954
ผมใช้วิธี เขียนอักษร A,B,C ลงในรูปหกเหลี่ยมทุกรูป โดยที่อักษรเดียวกันไม่อยู่ติดกัน เป็น 1 รูปแบบ
แล้วเลือกสีมาทาที่ A ได้ 3 วิธี, และนำสีที่เหลือมาทาที่ B ได้ 2 วิธี = 3x2 = 6 วิธี

หรือเรียงสีใน A,B,C = (ด,ข,นง) (ด,นง,ข) (ข,ด,นง) (ข,นง,ด) (นง,ด,ข) (นง,ข,ด) มี 6 วิธี

เขียนรูปตามแบบคุณPuriwatt แนะนำ

ตรงตำแหน่งสีแดง วางได้ 3 แบบ

แต่ละแบบ สามารถสลับซ้ายขวาได้อีก 2 วิธี

จึงมี 6 วิธี

Attachment 5955

จบการเฉลยเพราะเฉลยครบและเป็นไปตามพวยเฉลยที่แจกมากับปัญหา

:haha::haha: ผมว่าเด็กสมัยนี้ เก่งขนาดนี้น่าจะรู้แล้วล่ะครับ

อย่าเพิ่งจบครับ ติวหลานแล้วโดนแย้ง

ข้อนี้ที่เฉลยว่ามี 75 รูป หมายถึงมีสี่เหลี่ยมมุมฉาก 75 รูป

ถ้าถามสี่เหลี่ยมผืนผ้า ก็ต้องลบสี่เหลี่ยมจัตุรัสออกไปด้วย

ทีนี้ในโจทย์ก็ไม่ได้ระบุว่า ช่องสี่เหลี่ยมเล็กๆนั้นเป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่เท่ากันทุกรูปซะด้วย

ครั้นจะดูจากรูป บางอันก็เป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัส บางอันก็เป็นสี่เหลี่ยมผืนผ้า ทำให้ยากต่อการหา


ผมสรุปว่า โจทย์ข้อนี้ไม่สมบูรณ์ คือขาดคำว่า "ช่องสี่เหลี่ยมเล็กๆนั้นเป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่เท่ากันทุกรูป"

และ คำถาม ต้องถามว่า มีสี่เหลี่ยมมุมฉากกี่รูป ไม่ใช่ถามว่ามีสี่เหลี่ยมผืนผ้ากี่รูป


ท่านอื่นมีความเห็นอย่างไรบ้างครับ