มาช่วยกันเฉลยเถอะครับ
ผม Hint ให้เฉพาะข้อที่ผมส่งแล้วกัน Olympiad Section ! ข้อ 6 - สมมติให้ $x=\max\{x,y,z\}$ แล้วใช้เรื่องฟังก์ชันเข้าช่วย - ท่าทางจะยากไป ใครมีวิธีสวยกว่านี้ก็มาลงได้นะครับ ข้อ 7 - $\log 2$ is irrational. ข้อ 8 - Ptolemy's Theorem ข้อ 9 - ลองเมื่อ $k=3$ หรือ $k=4$ ข้อ 10 - Hyperbolas intersection. ข้อ 5 สวยดีนะครับ :happy: |
ที่ผมทำส่งนะครับ
ระดับประถม 1. (3 คะแนน) จงหาค่าของ $(0^3-738)(1^3-737)(2^3-736)\cdots (736^3-2)(737^3-1)(738^3-0)$ วิธีทำ $(0^3-738)(1^3-737)(2^3-736)\cdots (736^3-2)(737^3- 1)(738^3-0)$ = $(0^3-738)(1^3-737)(2^3-736)\cdots (9^3-729)\cdots (736^3-2)(737^3-1)(738^3-0)$ = $(0^3-738)(1^3-737)(2^3-736)\cdots (0)\cdots(736^3 -2)(737^3-1)(738^3-0)$ = 0 ANS |
ที่ผมทำส่งนะครับ
ระดับประถม อ้างอิง:
วิธีทำ ลำดับที่กำหนดให้ เป็นอนุกรม 3 ชุดซ้อนกันอยู่ 1 3 5 a 9 11 1 3 6 b 15 21 1 3 7 c 21 31 1 3 5 7 9 11 1 3 6 10 15 21 1 3 7 13 21 31 1,1,1,3,3,3,5,6,7,7,10,13, 9,15,21,11,21,31,... a = 7, b = 10, c= 13 a-2b+c = 0 ANS |
ที่ผมทำส่งนะครับ
ระดับประถม อ้างอิง:
วิธีทำ เนื่องจากโจทย์ไม่ได้กำหนดว่า เด็กแต่ละคนต้องผ่านประตูอย่างน้อยหนึ่งครั้ง ดังนั้น ให้เด็ก 24 คนอยู่นอกบ้าน ไม่เข้าบ้านเลย แต่มีเด็กคนเดียวเท่านั้นที่เข้าๆออกๆ 2552 ครั้ง 2552 เป็นเลขคู่ ดังนั้นสุดท้ายเด็กคนนี้จะออกมานอกบ้าน จึงเป็นไปได้ที่มีเด็ก 25 คนอยู่นอกบ้านและไม่มีเด็กอยู่ในบ่าน (คำตอบข้อ1)ANS ข้อ 2 ให้เด็กทั้ง 25 คนเข้าไปในบ้าน ซึ่งเท่ากับ 25 ครั้ง เหลืออีก 2552-25 = 2527 ครั้ง ให้ 24 คน เล่นในบ้าน มีคนเดียวที่เข้าๆออกๆ 2527 ครั้ง เป็นเลขคี่ สุดท้ายเด็กคนนี้จะอยู่นอกบ้าน ดังนั้นจึงเป็นไปไม่ได้ที่จะมีเด็ก 25 คนอยู่ในบ้านและไม่มีเด็กอยู่นอกบ้าน (คำตอบข้อ2) ANS |
ที่ผมทำนะครับ
ระดับมัธยม อ้างอิง:
ก่อนอื่นต้องหาอัตราส่วน BF : FE (ในห้องส่งคำตอบ รูปผมหาย) ABC เป็นสามเหลี่ยม โดยที่ AE=EC ให้ G เป็นจุดกึ่งกลาง BC ลาก EG แล้วต่อไปถึง H ให้ GH = GE, ลาก BH และ AH จะได้ ABHE เป็นสี่เหลี่ยมด้านขนาน มี EB, AH เป็นเส้นทแยงมุม ตัดกันที่ F จะได้ F เป็นจุดกึ่งกลางของด้าน EB (เส้นทแยงมุมตัดกัน แบ่งครึ่งซึ่งกันและกัน) มีคำถามว่า แล้วจะรู้ได้อย่างไรว่า จุด D ทำให้ CD = 2DB (ตามที่โจทย์กำหนด) ลากเส้น FG จะได้ว่า (สามเหลี่ยมEBH) มี BH = 2 FG (ลากเส้นเชื่อมจุดแบ่งครึ่งด้าน จะขนานและเป็นครึ่งหนึ่ง) (ในห้องส่งคำตอบ รูปผมหาย) สามเหลี่ยม$FGD$ คล้าย สามเหลี่ยม $DBH$ $\frac{FG}{BH} = \frac{GD}{BD} = \frac{FD}{DH} = \frac{1}{2}$ ดังนั้น $BD = 2GD$ นั่นคือ BD เป็นครึ่งหนึ่งของ CD (G แบ่งครึ่งBC) จากรูป สามเหลี่ยม EBC จะได้ BF:FE = 1 :1 (จากที่พิสูจน์ข้างต้น) และ BD:CD = 1 : 2 (จากโจทย์) ขออนุญาตใช้สูตรที่ผมเคยพิสูจน์มาแล้วในเว็บนี้ http://www.mathcenter.net/forum/showthread.php?t=7200 จะได้ $\frac{สามเหลี่ยมBFD}{สามเหลี่ยมBCE}$ = $\frac{1\cdot 1}{(1+1)(1+2)} =\frac{1}{6}$ ดังนั้นอัตราส่วนของพื้นที่รูปสี่เหลี่ยม EFDC ต่อพื้นที่สามเหลี่ยม BFD = $5 :1$ ANS |
ที่ผมทำนะครับ
มัธยม อ้างอิง:
ให้ 2009 = A $(1)(2009)+(2)(2010)+(3)(2011)+\dots+(543)(2551)$ = $(1)(A)+(2)(A+1)+(3)(A+2)+\dots+(543)(A+542)$ = $(1A)+(2A+2)+(3A+6)+\dots+(543A+542\cdot 543)$ =$ (1A+2A+3A+\dots+543A) + (1\cdot 2+2\cdot 3 +3\cdot 4 +...+542\cdot 543)$ = $A(1+2+3+4+....+543) + \frac{n(n+1)(n+2)}{3}$ = $2009(\dfrac{(543)(543+1)}{2}) + \dfrac{542(542+1)(542+2)}{3}$ =$181\cdot 272\cdot 7111$ = $2^4\cdot 13\times 17\times 181\times 547$ ดังนั้นมีตัวประกอบ $(4+1)(1+1)(1+1)(1+1)(1+1) = 5 \times 2\times 2\times 2\times 2 = 80 $ จำนวน หมายเหตุ จงแสดงว่า $1\cdot 2+2\cdot 3 +3\cdot 4 +...+n\cdot (n+1) = \frac{n(n+1)(n+2)}{3} ; n \in N$ ให้ p(n) แทนข้อความ $1\cdot 2+2\cdot 3 +3\cdot 4 +...+n\cdot (n+1) = \frac{n(n+1)(n+2)}{3}$ (1) การแสดงว่า p(1) เป็นจริง $\because 1\cdot 2 = 2 = \frac{1(1+1)(1+2)}{3} $ $\therefore p(1) $เป็นจริง (2) การแสดงว่า p(k) เป็นจริง $\therefore 1\cdot 2+2\cdot 3 +3\cdot 4 +...+k\cdot (k+1) = \frac{k(k+1)(k+2)}{3}$ $\because 1\cdot 2+2\cdot 3 +3\cdot 4 +...+k\cdot (k+1)+(k+1)(k+2) $ $ = \dfrac{k(k+1)(k+2)}{3} + (k+1)(k+2) $ $= (k+1) (k+2)[\dfrac{k}{3}+1] $ =$\dfrac{(k+1)(k+2)(k+2)}{3}$ $\therefore p(k+1) $เป็นจริง สรุปโดยหลักอุปมัยเชิงคณิตศาสตร์จะได้ว่า p(n) เป็นจริงทุกค่า n เพราะฉะนั้น $1\cdot 2+2\cdot 3 +3\cdot 4 +...+n\cdot (n+1) = \dfrac{n(n+1)(n+2)}{3} ; n \in N$ |
ที่ผมทำนะครับ
มัธยม อ้างอิง:
วิธีทำ ให้รูปทรงสี่เหลี่ยมมุมฉากรูปนี้ มีความกว้าง, ยาว, สูง เป็น x, y, z ตามลำดับ ให้ปริมตารรูปทรงนี้ $xyz = 100$ .................(1) ถ้าความกว้างเพิ่มขึ้น 1 หน่วย ปริมาตรจะเพิ่มขึ้น 75% จะได้ $(x+1)yz = 175$ .................(2) ถ้าความยาวเพิ่มขึ้น 1 หน่วย ปริมาตรจะเพิ่มขึ้น 50% จะได้ $(y+1)xz = 150$ .................(3) ถ้าความสูงเพิ่มขึ้น 1 หน่วย ปริมาตรจะเพิ่มขึ้น 25% จะได้ $(z+1)xy = 125$ .................(4) จาก (2) จะได้ $xyz + yz = 175$ $ \because (xyz=100)$ จะได้ $yz = 75 $ ...............(5) จาก (3) จะได้ $xyz + xz = 150$ $ \because (xyz=100)$ จะได้ $xz = 50 $ ...............(6) จาก (4) จะได้ $xyz + xy = 125$ $ \because (xyz=100)$ จะได้ $xy = 25 $ ...............(7) $\frac{(1)}{(5)}$ จะได้ $x = \frac{100}{75} = \frac{4}{3}$ .............(8) $\frac{(1)}{(6)}$ จะได้ $y = \frac{100}{50} = 2 $..............(9) $\frac{(1)}{(7)}$ จะได้ $z = \frac{100}{25} = 4 $..............(9) พื้นที่ผิวของรูปทรงสี่เหลี่ยมมุมฉาก = $2(xy+xz+yz)$ = $2(\frac{4}{3}\times 2+ \frac{4}{3}\cdot 4 + 2\cdot 4)$ = $2(\frac{8}{3} + \frac{16}{3} +8)$ = 32 ตอบ พื้นที่ผิวของรูปทรงสี่เหลี่ยมมุมฉาก = 32 ตารางหน่วย |
ที่ผมทำนะครับ
มัธยมต้น อ้างอิง:
ให้ $ \ \ \ \ A = \sqrt[3]{(X+3)} $ $A^3 = X+3 $ $A^3 - 4 = X-1$ $\sqrt{A^3 - 4} =\sqrt{(X-1)} $ แทนค่า ใน $\sqrt{x-1} +\sqrt[3]{x+3} = 4 $ จะได้ $\sqrt{A^3 - 4} + A = 4 $ จะได้ $\sqrt{A^3 - 4} = 4 - A $ จะได้ $A^3 - 4 = 16 - 8A + A^2 $ $A^3 -A^2 +8A = 20$ $ A(A^2 -A+8) = 20$ $ A(A^2 -A+8) = (2\times 10), \ \ (-2)\times (-10), \ \ (1\times 20), \ \ (-1)\times (-20), \ \ (4)\times (5), \ \ (-4\times -5)$ . . . . ซึ่งจะได้ A ที่เป็นจำนวนเต็ม คือ $\pm 1, \ \ \pm 2, \ \ \pm 4, \ \ \pm 5, \ \pm 10, \ \ \pm 20, \ \ 3 $ และ A ที่ไม่เป็นจำนวนเต็มคือ $\frac{1}{2} (1\pm 3 i \sqrt{3}), \ \ \frac{1}{2} (1\pm i \sqrt{35}), \ \ \frac{1}{2} (1\pm i \sqrt{71}), \ \ \frac{1}{2} (1\pm i \sqrt{23}), \ \ \frac{1}{2} (1\pm i \sqrt{39}), \ \ $ $ \frac{1}{2} (1\pm i \sqrt{111}), \ \ \frac{1}{2} (1\pm i \sqrt{15}), \ \ \frac{1}{2} (1\pm i \sqrt{47}), \ \ \frac{1}{2} (1\pm i \sqrt{11}), \ \ \frac{1}{2} (1\pm i \sqrt{51}), \ \ $ ทุกกรณีข้างต้น เมื่อแทนค่า A ในสมการ $A^3 = X+3 $ แล้ว $x = 5 $ เท่านั้นที่ทำให้ สมการ $\sqrt{x-1} +\sqrt[3]{x+3} = 4 $ เป็นจริงตามเงื่อนไขที่โจทย์กำหนด (จำนวนเต็ม) ดังนั้น $X = 5 $ |
ที่ผมทำนะครับ
มัธยมปลาย อ้างอิง:
วิธีทำ ลำดับ 1,3,5,3,5,7,5,7,9,... เป็นอนุกรม 3 ชุดซ้อนกันอยู่ แต่ละชุด มี $\frac{696}{3} = 232$ จำนวน คือ $1, 3, 5, 7, 9. 11,.............,463$ (พจน์สุดท้ายหาได้จาก 2n-1) ................(1) $ \ \ \ 3, 5, 7, 9. 11,.............,465$ (พจน์สุดท้ายหาได้จาก 2n+1) ................(2) $ \ \ \ \ \ \ 5, 7, 9. 11, .............,467$ (พจน์สุดท้ายหาได้จาก 2n+3) ................(3) ใช้สูตร ผลรวมเลขคี่ $1 + 3 + 5 + 7 +.........+ n = \frac{(n+1)^2}{4}$ ผลรวมชุดแรกจาก(1) ได้ $= \frac{(463+1)^2}{4} = 53824 $ .........(4) ผลรวมชุดที่สองจาก(2) ได้ $= \frac{(465+1)^2}{4} -1 = 54288$ .........(5) ผลรวมชุดที่สองจาก(3) ได้ $= \frac{(467+1)^2}{4} -4 = 54752$ .........(6) ค่าเฉลี่ย = $\frac{53824+54288+54752}{696} = 234$ ANS พิสูจน์สูตร ผลรวมเลขคี่ $1 + 3 + 5 + 7 +.........+ n = \frac{(n+1)^2}{4}$ พิสูจน์สูตร $1= 1= \frac{(1+1)^2}{4}$ $1 + 3 = 4= \frac{(3+1)^2}{4}$ $1 + 3 + 5 = 9= \frac{(5+1)^2}{4}$ $1 + 3 + 5 +7 = 16= \frac{(7+1)^2}{4}$ . . . . . $1 + 3 + 5 + 7 +9 +.....+ n = \frac{(n+1)^2}{4}$ |
ข้อ 9 ระดับโอลิมปิก ลืมคำว่า has real solutions - มุมวัดในระบบ Rad ครับผม
(แอบมาพิมพ์ครับ :)) |
อ้างอิง:
$=5(x+\frac{3}{2})^2+\frac{11}{4}$ $=\frac{5}{4}((2x+3)^2+11)$ .....(*) พิจารณา $(6y^2+8y+4) = 6(y^2+\frac{4}{3}y+\frac{2}{3})$ $=6((y+\frac{2}{3})^2+\frac{2}{9})$ $=\frac{6}{9}((3y+2)^2+2)$.........(**) พิจารณา $(5z^2+2z+2)=5(z^2+\frac{2}{5}z+\frac{2}{5})$ $=5((z+\frac{1}{5})^2+\frac{9}{25})$ $=\frac{1}{5}((5z+1)^2+9)$.........(***) นำ (*),(**),(***) ไปแทนค่า ได้ สมการใหม่คือ $\frac{5}{4}\cdot \frac{6}{9}\cdot \frac{1}{5}((2x+3)^2+11))((3y+2)^2+2)(5z+1)^2+9)=33$ $((2x+3)^2+11))((3y+2)^2+2)(5z+1)^2+9)=2 \cdot 3^2\cdot 11 $ ได้ $x=\frac{-3}{2},y=\frac{-2}{3},z=\frac{-1}{5}$ $\frac{-xy}{z}=5$ Ps. ผมเกิดคิดว่า Contest ม.ต้นปีนี้ ตอบ 5 กันหลายข้อจัง... |
1.จงหาค่าของ
$(0^3-738)(1^3-737)(2^3-736)\cdots (736^3-2)(737^3-1)(738^3-0)$ วิธีทำ $a^3=b$ $a^3=1ถึง738$ $b=738ถึง0$ จาก$a^3=1ถึง738$ ถอดรากที่3 ของ 738 $จะได้aเป็นจำนวนเต็มจาก1-9$ พิจารณาจาก $(0^3-738)(1^3-737)(2^3-736)\cdots(9^3-729)$ จะทราบ$9^3=729$ $(0^3-738)*(1^3-737)*(2^3-736)...*(0)*...(736^3- 2)*(737^3-1)*(738^3-0)$จึง$=0$ คำตอบของ$(0^3-738)*(1^3-737)*(2^3-736)\cdots (736^3-2)*(737^3-1)*(738^3-0)=0$ $ตอบ 0$ |
อ้างอิง:
ได้ว่า $u+v=\sqrt{2}$ และ $u^4+v^4=4$ จากสมการทั้ง2ให้ $v=\sqrt{2}-u$ ไปแทน ได้ว่า $$u^4+(\sqrt{2}-v)^4=4$$ $$2u^4-4\sqrt{2}u^3+12u^2-8\sqrt{2}u=0$$ $$2u(u-\sqrt{2})(u^2-\sqrt{2}u+4)=0$$ $$\therefore u=0,\sqrt{2}$$ ได้ $(u,v)=(0,\sqrt{2}),(\sqrt{2},0)$ แทนค่า $u=0$ ได้ $x=36$ ใช้ได้ และ $u=\sqrt{2}$ ได้ $\sqrt{x}=-10$ ใช้ไม่ได้ แทนค่า $v=\sqrt{2}$ ได้ $x=36$ ใช้ได้ และ $v=0$ ได้ $\sqrt{x}=-10$ ใช้ไม่ได้ $\therefore x=36$ :happy: |
อ้างอิง:
มาทำโจทย์ที่เหลือครับ วิธีคิด หาความยาวด้านทั้งสามของ XYZ แล้วใช้สูตรหาพื้นที่ heron's formular วิธีทำ $(xz)^2 = 9^2 + 3^2 +3^2$ $xz = \sqrt{99} = 3\sqrt{11} $ $(zy)^2 = 9^2+6^2+6^2$ $zy = \sqrt{153} = 3 \sqrt{ 17} $ $(xy)^2 = 9^2+6^2+3^2$ $xy = \sqrt{126} = 3 \sqrt{ 14}$ พื้นที่ $= \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} $ เมื่อ $S = \frac{a+b+c}{2}$ $s = \frac{3}{2}(\sqrt{11} +\sqrt{14} +\sqrt{17} )$ พื้นที่ $= \sqrt{[ \frac{3}{2}(\sqrt{11} +\sqrt{14} +\sqrt{17} )] [ \frac{3}{2} (\sqrt{14} +\sqrt{17} -\sqrt{11})] [ \frac{3}{2} (\sqrt{11} +\sqrt{17} -\sqrt{14})] [ \frac{3}{2} (\sqrt{11} +\sqrt{14} -\sqrt{17})]} $ พื้นที่ $= \frac{9}{4}\sqrt{(2\sqrt{14 \cdot 17} + 20 )(2\sqrt{14 \cdot 17} - 20 )} $ พื้นที่ $= \frac{9}{4}\sqrt{(2\sqrt{14 \cdot 17})^2 - ( 20 )^2} $ พื้นที่ $= \frac{9}{4}\sqrt{952-400} $ พื้นที่ $= \frac{9}{4}\sqrt{552} $ พื้นที่ $= \frac{9}{4} \cdot 2\sqrt{138} $ พื้นที่ $= \frac{9}{2}\sqrt{138} $ |
อ้างอิง:
หารด้วย 3 แล้วเหลือเศษ 1 คุณPlatootod ช่วยเฉลยหน่อยครับ ผมทำแบบประถมนะครับ คือหาเลขท้าย 2 ตัว ของแต่ละจำนวน ดังนี้ 4 เมื่อยกกำลังไปเรื่อยๆ 10 รอบ เลขท้าย 2 ตัวจะเริ่มวน 10 หาร 5555 เหลือเศษ 5 ซึ่งตรงกับเลขท้าย 2 ตัว = 24 นั่นคือ $4^{5555} = .........24$ $10^{5555}$ เลขท้าย 2 ตัว $= 00$ 5 ยกกำลังไปเรื่อยๆ เลขท้าย 2 ตัวจะเป็น 25 ดังนั้น $5^{5555} = ........25$ 2 เมื่อยกกำลังไปเรื่อยๆ 20 รอบ เลขท้าย 2 ตัวจะเริ่มวน 20 หาร 5555 เหลือเศษ 15 ซึ่งตรงกับเลขท้าย 2 ตัว = 68 นั่นคือ $2^{5555} = .........68$ 7 เมื่อยกกำลังไปเรื่อยๆ 4 รอบ เลขท้าย 2 ตัวจะเริ่มวน 4 หาร 5555 เหลือเศษ 3 ซึ่งตรงกับเลขท้าย 2 ตัว = 43 นั่นคือ $7^{5555} = .........43$ ซึ่งเมื่อนำตัวเศษมารวมกัน ก็จะได้ $(.....24) + (....00) + (.....25) - (.....68) - (.....43) - (1) = ..... 37$ $\dfrac{4^{5555}+10^{5555}+5^{5555}-2^{5555}-7^{5555}-1}{3}$ = $\dfrac{(.........37)}{3}$ หารไม่ลงตัว |
อ้างอิง:
ว่าทำไมลงท้ายด้วย 37 แล้วหารด้วย 3 เหลือเศษ 1 อ่าครับ (ตัวอย่างค้าน เช่น 237) |
อ่า ... ใช่ครับ ถ้างั้นก็ต้องหา เลขท้าย 3 ตัว หรือใช้วิธีอื่น :haha:
คุณScylla_Shadow ช่วยเฉลยหน่อยครับ :D |
อ้างอิง:
$\frac{(4-1)(....)+(10-7)(....)+(5-2)(....)}{3}$ $\frac{3(..ก้อน..)}{3}$ $ก้อน$ อ่าครับ |
อ้างอิง:
$$\frac{(3+1)^{5555}+(9+1)^{5555}+(6-1)^{5555}-(3-1)^{5555}-(6+1)^{5555}-1}{3}$$ แล้วจะได้เศษคือ $\frac{1+1-1+1-1-1}{3}=0$ อ่ะครับ |
อ้างอิง:
ขอบคุณอย่างสุดๆ แต่ยังมองไม่ออก ช่วยแสดงตรงนี้ให้หน่อยครับ (ถ้าเคลียร์ตรงนี้ ก็เข้าใจหมดครับ) $10^{5555}-7^{5555} = (10-7)(....)$ |
อ้างอิง:
อันนี้ดูๆไป เหมือนใช้วิธีมดปลวกหรือเปล่าครับ ($\equiv mod$) |
มาจากตรงนี้อ่าครับ
$a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$ $a^5-b^5=(a-b)(a^4+...+b^4)$ $a^7-b^7=(a-b)(....)$ $a^9-b^9=(a-b)(....)$ . . . $a^{5555}-b^{5555}=(a-b)(....)$ อ่าครับ |
อ๋อ ..... ลืมไปครับ
ขอบคุณอีกครั้งครับ |
อ้างอิง:
ปล. ชอบคำนี้จังเลย มดปลวก |
เวลาที่แสดงทั้งหมด เป็นเวลาที่ประเทศไทย (GMT +7) ขณะนี้เป็นเวลา 11:52 |
Powered by vBulletin® Copyright ©2000 - 2024, Jelsoft Enterprises Ltd.
Modified by Jetsada Karnpracha